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^ J'ai pu rendre le tableau manuscrit plus frappant pour les yeux que ne l’est la tranche horizontale reproduite dans le tableau imprimé qui précède, en divisant le papier r par des lignes équidistantes espacées de 4 en 4 minutes, et en inscrivant chaque angle a la hauteur correspondante a sa valeur. Touf^tefois je n’ai pu réaliser ce plan que d’une manière incomplète, parce que, comme on le comprendra en jetant les yeux sur la tranche imprimée, plusieurs angles auraient dû souvent être inscrits sur la même ligne, d’autres sur des lignes tellement rapprochées fies unes des autres, qu’il y avait impossibilité : écrire sans les superposer. MaiS' l’im-

possibilité même où je me trouvais, d'inscrire rigoureusement les différents angles

à leurs places respectives , a achevé de

mettre en évidence la propriété qui les distingue: c’est qu’ils forment, dans l’étendue d’un quart de circonférence , une série de groupes séparés par des espaces presque vides.

Afln de mettre cette propriété curieuse plus à portée d’être saisie par l’œil, qui est '^l’instrument le plus délicat pour apprécier les relations géométriques, j’ai refait le la- ^bleau d’une manière purement graphique , en construisant d’abord 5 colonnes verticales dans chacune desquelles j’ai tracé un simple

àlà '

trait horizontal à la ptade que chaque valeur A d’angle devait y occuper, et eit ajoutant ensuite une sixième cl)lonne pour réunir, . tous à leurs hauteurs respectives, les 1,050* valeurs d’angles contenues dans les 5 pre- ^ mières Colohnes. Cette construction ellemémen’a pu s’exécuter d’üné'manière abso- ' lument rigoureuse, parce que certains angles des vingt et ün tableaux ayant des valeurs numériques identiques, il aurait fallu quelquefois superposer'2 ou 3 lignes; mais alors ■* j’ai composé avec la nécessité en traçant 2 DU 3 lignes, suivant le besoin^ à des (iîstan- '• •

ces aussi rapprochées qüe possible. ' •

• Mon tabléau graphique manuscrit ayant plus d’un mètre de longueur, je n’ai pu ^ l’insérer dans ce volume; mais afin de donner au lecteur une idée de son aspect, j’en ai reproduit une tranché dans la plan- ^ che IVj qui représente toute la partie com- |

prise entre 52° .30' et 58° 30'; c’est-à-dire ^ dans un intervalle de 6 degrés; oii dans un ] quinzième du quart de la circonférence. Ce ^ quinzième peut donner une idée assez exacte t" du tableau qui représente le quadrant entier. • - -

‘‘ Les ongles figurés'par des*lignès horizon- v laies, dans les' cinq -premières colonnes du tableau, sont de grandeurs également di-

•êT

varscs. Quelques uns sop( d’qa très petit nombre de degrés; d'autres. $ont très voisins de 90 degrés. Le reste est répandu dans toute rétcndqe du quadrant.

Mais on peut remarquer d'abord que les ^petits angles sont un peu moins nombreux dans la cinquième colonne, consacrée aux angles que forment les grands cercles de pornparaison en se coupant mutuellement.

Cela tient à ce que, comme l’ai déjà indiqué p. 862, des grands cercles qui traversent l'Europe, sous des orientations peu di(Tcrentes, et qui, par suite, nerdonnent pour Milfordf pour le Binger-Loch et pour Co^i'hithe, que des angles très petits, vont se couper loin de nos contrées, sous des angles assez»considcrables,pour peu qu’ils traver- ^ sent l’Europe^dans des régions un peu éloi* "gnées l’une de l’autre.

j pn voit, en outre, que dans les 5 colonnes, les angles sont bien loin d’être répartis d’une manière uniforme dans toute l'étendue du quadrant. Ils ne sont répandus avec une certaine égalité que dans quelques* portions peuconsidérablesdecbaquecolonne, et ils semblent avoir une tendance à se masspr^dans certaines parties de là colonne, et à éviter les espaces intermédiaires; chaque colonne présente un. grand nombre^de

Gunes ou d'espaces blancs qui en occupent une partie asséz notable ; dans la cinquième colonne, ces lacunes occupent en tout 20 à 25 degrés, c’est-à-dire environ un quart de la colonne entière. On peut observer de plus que les points du quadrant que les angles' semblent affectionner ou éviter sont à peu près les mêmes dans les cinq colonnes. r

blette dernière circonstance est surtout mise en évidence dans la sixième colonne où les 1,050 angles sont réunis. Dans cette sixième colonne, les angles se massent en majorité autour de 50 ou 60 points, de manière à y former des groupes plus ou moins denses et plus ou moins nettement dessinés. Les autres angles sont répartis entre les groupes d’une manière plus indéterminée, mais qui n’est cependant pas tout à fait livrée au hasard, car la colonne présente aussi une cinquantaine de lacunes ou d’espaces blancs plus ou moins larges, que les angles semblent avoir évité avec autant de soin qu’ils en ont mis à se rapprocher de certains points.

Cela donne à la sixième colonne l’aspect d’une sorte de spectre qui rappelle pour ainsi dire le spectre solaire avec scs bandes diversement colorées, ses lignes de fraue* hofer, etc.

Les angles qui affectent cette distribution é

sériale étant au noinbre de 210 dans chacune des cinq premières colonnes, et au nombre de 1,050 dans la sixième, il m’a paru qu’il serait peu rationnel de chercher à expliquer un pareil phénomène par les seuls effets du hasard; j’ai cru devoir m’occuper d’en découvrir la cause réelle.

On pourrait croire, au premier abord, que cette cause réside simplement dans les relations qui existent entre les angles. Ils sont, en effet, bien loin d’étre indépendants les uns des autres. Les 840 angles des quatre premières colonnes sont, relativement aux 210 angles de la cinquième, dans une dépendance déterminée par les positions de Milfoi'df du Dinger-Loch^ de Corinthe. Les 210 angles de la cinquième colonne sont eux-mêmes des conséquences des données fondamentales qui fixent les positions des grands cercles de comparaison des vingt et un Systèmes de montagnes de l’Europe ^ ^ occidentale.

Ces données fondamentales se réduisent à 42. En effet, chacun des grands cercles coupant successivement les différents méridiens, sa position est déterminée par la latitude à laquelle Hicoupe un méridien quelconque, et par son orientation en ce

point. Deux doonées sont done néeestaires'^ et suffisantes pour fixer .la position de eba>^ que grand. cercle, .et quarante*de«x poue fixer celle des fil-grauds cercles de eompa#'. • raison. *

' De plus, la position de cbacun des trois points, miford, le B'mgefLoeh, et Corin-. lhe, est fixée par deux doouées, sa latitude et sa lorigitude. .

, Qn voit doue que les l,OSO angles dont nous nous occupons dépendent uniquement' de 48 données. Cette circonstance établit^ entr#VI{|g f.OâO angles, une dépendance' mutuetl^et ron pourrait croire, ainsi que je l’ai dit il y a un instant, que la distribU'* tien sériale qu’ils alTeetent n’est autre ehoso que l’expression de celte dépendance *, mais, il est ailé de voir qu’il n’eu est absolument rien.*'' " f *■ .-*

■Considérons, en etfet, l,es 210 angles de la cinquième colonne , ceux qui résultent des intersections des grands cercles de com<~ paraison entre eux. Ces .210 angles dépen*. dent tous uniquemcot des 42 données fondamentales qui fixent les positions des 21 grands cercles de comparaison. Les for-, mules trigonométriques , qui servent à les déterminer, d’après4és 42 données fondamentales, constituent uq système de 210^

• , • équations entre 252 quantités, savoir les

210 angles à déterminer et les 42 données fondamentales. Parmi ces 252 quantités , on peut donner des valeurs arbitraires à 42 , dont 39 peuvehtétrechoisiesd'une manière quelconque , et déterminer les 210 autres d'apres les 210 équations* On ne peut en choisir plus de 39 d'une manière entière* ment arbitraire , parce que 39 quantiiés (angles ou arcs) sufûsent pour fixer les positions relatives de 21 grands cercles ; les trois autres quantités qui complètent le nombre 42 sont nécessaires et suffisent pour fixer sur la sphère la position du ré* seau dont la forme, est déterminée par les 39 premières. On pourrait donc déterminer les 42 données^ fondamentales elles-mêmes d'après la condition de donner, à 39 des 210 angles, telles valeurs qu'on voudrait; seulement les valeurs des 171 autres angles deviendraient des conséquences nécessaires de* celles des 39 preniiers. Les trois quantités restantes fixeraient la position du réseau sur la sphère suivant les valeurs qu'on leur aurait attribuées.

On pourrait, par exemple, choisir dans la cinquième colonne 39 angles consécutifs, occupant une étendue de 15 à 17 degrés; remplacer le^ valeurs gctueUes de çes angles,

qui forment, dans les 45 à 17 degrés qu’ils occupent, un certain nombre de groupes, par d’autres valeurs réparties uniformément, dans le même intervalle de 15 à 17 degrés, h des distances de 25 minutes environ; dé>

' terminer, en remplissant cette condition, les 42 données qui fixent les 21 grands cercles, puis calculer ■ ce que deviendraient les 171-angles restants. . * ^

puelques uns-‘de ces angles viendraient peut-être «lors <sq placer dans l’intervalle de 1 5 à 1,7 degr^, qu’on aurait choisi ; mais' par des têtonnements successifs, on pourrait arriver, si l’on voulait en prendre la peine, à ce qu’il ne restât , dans l’intervalle de 1 5 à 17 degrés qu’on aurait choisi arbitrairement, que 39 angles qui y seraient répartis uniformément, les 171 autres étant placés d’une manière quelconque dans le reste du quadrant. ' • ■ • ^ • .

On pourrait aussi déterminer les 42 données fondamentales de manière que 39 angles fussent égaux entre eux , et tombassent en tel point du quadrant qu’on voudrait. > • • ?

< On pourrait, en un mot, réaliser, par un choix convenable des 42 données fondamentales, une multitude infinie de distribu- « tions des angles caractérisées chacune par la

fiiation arbitraire de 39 angles sur 210, sans qu'aucune de ces distributions ressem* blât à celle que nous présente la cinquième colonne du tableau actuel.

Il est aisé de voir aussi qu'en faisant varier arbitrairement les 6 données qui fixent les 3 points auxquels se rapportent les 4 premières colonnes, on pourrait changer con- , sidérablement les relations qu’elles présentent l’une avec l’autre, et celles qui existent entre elles et la cinquième. Les 4 angles qui, dans les 4 premières colonnes sé rapportent à l’intersection de deux systèmes, s’y trouvent, comme on peut le voir dans le tableau de la page 876, à des hauteurs différentes, et tombent dans des groupes différents. En passant, par exemple, du Binger-Loch à , Corinthe, l’angle Ballons Côte-d’Or franchit l’intervalle de deux groupes ; mais si l’on réduisait de moitié la distance du Binger-^

Loch à Corinthe, en substituant à Corinthe •** un autre point, l’angle Ballons Côte-d’Or de la colonne Corinthe tomberait entre deux groupes; on peut concevoir, d’après cela, qu’en changeant les positions des 3 points auxquels les 3 premières colonnes se rapportent, on pourrait remplacer l’ordonnance assez caractéristique qui se manifeste dans le tableau, surtout dans la sixième colonne.

qui en est le résumé, par un ordre différent, et plus souvent encore par toutes sortes de variétés de confusion. Cependant la dépen>dance mutuelle des différents angles entre eux existerait toujours dans ces dispositions diversement désordonnées. ,

.11 est donc évident que le commencement d'ordre qui se manifeste dans le tableau, tel que nous Tavons construit, n'est pas une conséquence pure et simple dé la dé* pendance qui existe entre les différents an* gles qui le composent. D'ailleurs si cette relation de dépendance mutuelle, qui a lieu entre les différents angles du tableau, était de nature à les grouper, elle ne les grouperait pas d'une manière simplement approximative; elle les grouperait exactement, ce qui n'a pas lieu.

La distributjon sériale des angles formés par la rencontre des grands cercles, et con->^ tenus dans la cinquième colonne, ne peut être attribuée qu'à une corrélation particu-^ Hère qui existe entre les données fondamen^ taies qui fixent les positions des 21 grands cercles de comparaison, à une propriété que l'ensemble de ces chiffres, en partie fort anciens déjà et dont plusieurs ne m'appartiennent pas, possède pour ainsi ^ dire à Vétat latent, comme un bourgeon ren-

fcrine la fleur qui doit ch dclorê uti jour.

L’existence' de la môme loi dans les valeurs des angles déterminés pour Milford, pour le Binger-^Lochet podr Corinthe^ et dans les valeurs moyennes des angles des deux mêmes systèmes en ces trois points, suppose en outre une corrélation toute particulière entre les données qui fixent les positions de ces 3 points, choisis simplement d’après certaines conditions de symétrie, appréciées à l’œil sur la carte, et les données qui fixent les positions des grands cercles eux-mêmes.

J’ai cru devoir considérer d’abord à la %

fois' CCS deux genres de corrélation, parce

que leur existence simultanée rend encore-

plus sensible l’improbabilité' qu’il y aurait

à attribuer au hasard seul le commencement d’ordre qui se manifeste dans le tableau ; > mais j’aurai surtout à m’occuper dans la suite de la corrélation qui existe entre les 21 grands cercles de comparaison, abstraction faite des résultats que nous a donnés le transport des directions à Milfordy au Btnger-Lochy et à Cof'inthe. Il est bon de noter cependant que les angles trouvés pour Milfordy pour le Binger-Loch et pour CorinthCy doivent souvent ’ représenter ce qu’ils sont censés représenter , mieux que ne le font

les intersections des grands cerclés corres* pondants , parce qu'ils sont moins affectés par les erreurs de. position des grands cercles déduits de Tobserva lion ^erreurs qui sont souvent plus fohes que les erreurs d'orientation.

La corrélation des grands cercles de comparaison n'est sans doute indiquée par le ta** bleau des angles que d'une manière un peu vague [et confuse; les angles forment des groupes irréguliers et souvent mal terminés. Mais il ne pouvait .en être autrement pour des angles foamés par des grands cercles dont aucun n'a pu être déterminé de manière à représenter rigoureusement ce qu'il est censé représenter. C'est déjà beaucoup, et. plus peut-être qu'on n'aurait pu attendre, de ne pas trouver ces angles distribués complètement au hasard dans l'étendue d'un quart de circonférence; et en voyant qu'ils se groupent avec une certaine affectation autour de certaines valeurs, on est conduit a concevoir que les grands cercles de comparaison provisoires, dont nous avons été obligés de nous contenter, sont la représentation imparfaite d'autres grands cercles formant sur la sur*foce du gfobe un réseau dans lequel certaines valeurs d'angles se répètent fréquem-

ment en vertu d^une loi déterminée qui les coordonne tous entre eux. Mais cette corrélation n'existe probablement que d'une manière imparfaite entre les données que l'observation a fournies pour fixer les positions des 21 grands cercles , et le tableau ne l'exprime probablement pas avec toute la netteté dont elle est susceptible. En y mettant de la patience on arriverait à déterminer dans les positions et les orientations des 21 grands cercles de comparaison de petits changements qui donneraient aux angles contenus dans la cinquième colonne une distribution sériale plus tranchée et les rassembleraient par groupes plus resserrés.

• L'existence d'une pareille loi de coordination n'était pas pour moi une idée nou-

' velle. J'ai rappelé ci-dessus , p. 804, et j'avais remarqué, il y a près de vingt ans, que des Systèmes de montagnes d'âges différents ont quelquefois des directions à peu près semblables, ou même identiques, et, en signalant plusieurs exemples de ce ^ fait, je l'avais caractérisé par l'expression de récurrence périodique des directions (1).

^i) Voyez Manuel géologique de (\e la Bêche, traduit •

en français par M. Brochont de Villiers, p. 6^6 (i833), et Traité de géognosie de M. d’Aubuisson de Voisins, continué par M. Amédée Burat, t, III, p. 842 (i83i).

Of; en erriployant ainsi le mot récurrence, j’entendais exprimer la conviclion où j’étais que les Syêtèmes de montagnes ne sont pas disposés au hasard, les uns par rapport auxautres , sur la surface du globe; mais qlie la nature, en les produisant, a été contrainte de tourner; pour ainsi dire, dans un circuit fermé de manière à retomber dans les mêmes repères au bout d’un certain temps, et après avoir épuisé un certain nombre de combinaisons. Les remarqués numériques dont je viens de parler ont naturellement reporté nies idées vers cet ordre de considérations, et j’ai pensé qiie si mes angles voulaient bien me laisser pénétrer le secret du caprice apparent qui leur fait affecter une disposition sériale, j’y trouverais l’occasion et les niôyens de donner plus de consistance à mort ancienne idée de la récurrence des directions.

Les personnes qui auront lu le présent volume concevront sans peine que j’ai dû désirer assez vivement la découverte de ce secret, et que j’ai dû recourir immédiatement aux inojèns qui me paraissaient devoir être le plus efGcaces pour y parvenir.

Après quelques tâtonnements arithmétiques sans résultat,* il m’a paru que je n’avais rien de mieux à faire que de mettre

mon imagination en campagne pour lâcher de trouver sur la sphère un réseau systémar tique de grands cercles dont les intersections mutuelles reproduisissent les angles que l’observation m’avait indiqués par -les groupes et par les lacunes qui se dessinent dans le tableau.

Les rapports simples que nous avons remarqués page 822 à 826 , entre les angles formés par les directions des différents sys^» lèmes transportées à Vannées existent aussi, à peu près avec le même degré d’approximation, entre^les valeurs moyennes des groupes d’angles qui se dessinent dans le tableau général. Cependant les essais que j’ai faits m’ont convaincu de l’impossibilité de trour ver entre ces valeurs un. plus grand commiin diviseur, à moins de le prendre très petit. D’ailleurs c’est seulementsur un plan* que les différents angles d’un réseau peuvent présenter exactement des rapports arithmétiques aussi simples : Vcxcès spfiériqud s’oppose généralement a ce qu’une pareille corrélation existe entre les différents angles (l’un réseau tracé pour la sphère. Je devais donc renoncer à généraliser les rapprochements arithmétiques dont les essais faits sur les angles de Vannes avaient fourni quelques çjeinples imparfaits et chercher à imaginer

un réseau dont les angles présentassent les * valeurs elles corrélations qui se manifestent dans l’ensemble, des angles déduits de l’ob* servalion.

La plus remarquable de ces corrélations est la presque égalité fréquente de plusieurs angles entre eux; or dans les réseaux sphériques la répétition des mêmes angles dans diverses parties du réseau est un des symptômes de la symétrie. C’était donc un réseau symétrique que je devais imaginer ; mais un réseau qni aurait simplement présenté des rapports de symétrie entre ses divérses parties sans embrasser d’une manière régulière toute la surface du globe n’aurait pas répondu àl’idée qu’il est naturel de se faire de l’ordonnance générale des choses sur la surface de notre planète.

D’après ces considérations , au lieu d’essayer un réseau symétrique, mais d’une forme arbitraire, dans lequel j’aurais pu introduire quelques uns des angles donnés par l’observation , j’ai d’abord essayé , purement et simplement , l’assemblage de plans qui constitue le système régulier de la cristallographie ; mais je n’en ai rien pu tirer de satisfaisant , et je n’ai pas tardé à l’abandonner. Ce système , qui dérive de (rois plans rectangulaires, est sans doute le

mieux approprié à la division de Tespace solide que remplissent les molécules équidistantes des cristaux réguliers, mais il n’a pas dés avantages aussi décisifs pour la division de l’espace angulaire ni pour celle d’une enveloppe sphérique. Il m’a paru d’ailleurs que la maille fondamentale de . ce réseau,, qui est le triangle tri-rectangle, est beaucoup ‘trop grande pour qu’il puisse représenter cette espèce de loi d’égale complication et d’égale variété, si je puis m’exprimer ainsi , qui présiffe à la distribution des formes orographiques sur la surface du globe.

J’ai alors pensé au système de plans et de grands cercles qui divise la surface de la sphère en 20 triangles équilatéraux. On sait que 15 grands cercles, se coupant 5 à 5 en 12 points de la surface de la sphère sous des angles de 36 degrés, la. divisent à la fois en 20 triangles équilatéraux , et en 12 pentagones sphériques réguliers. Pour m’exprimer plus clairement encore, ces 1 5 grands cercles divisent la surface de la sphère en 120 triangles rectangles scalènes égaux en surface, et symétriques 2 à 2 , qui peuvent être considérés ad libitum comme formant par leur ajustage naturel 30 losanges , 20 triangles équilatéraux, m 12 pcnta-

gones sphériques réguliers.* L'inUoducUon

du nombre 5 et celle du pentagone sont ce

qui distingue spécialement ce réseau; et

ayant quelques motifs pour soupçonner

qu'au point de vue de la mécanique appli>

quée à la ^géologie, le pentagone est ici la

figure la plus caractéristique , je désignerai

le réseau formé par les 15 grapds cercles

primitifs, et par ceux qu'jl sera nécessaire

de leur adjoindre, sous la dénomination de

réseau pentagonal.

Cette dénominatÎDO me parait d'ailleurs, même au point de vue purement géométrique, la plus convenable qu'on puisse em^ ployer.

Ce ne serait pas ici le lieu de reproduire les développements que j'ai eu l'occasion de donner ailleurs sur cet objet. Je me bornerai à rappeler en. quelques lignes les relations qui existent entre les réseaux basés, sur la division régulière de la sphère, qui se referment sur eux -mêmes après l'avoir embrassée une seule fois. «

Un triangle sphérique équilatéral ayant nécessairement, à cause de l'excès sphérique, des angles de plus de 60 degrés, on ne peut assembler sur la sphère 6 triangles équilatéraux de manière à en former un hexagone,

eomnse on le fait sur un plan. Mais on peut

agrandir a volonté Pangle du triangle équilatéral en étendant sa surface» et Ton peut assembler autour d'un point :

l"" Trois triangles équilatéraux ayant des angles de 180° 3.120 = 360®;

. 2® Quatre triangles équilatéraux ayant des angies de 90®. . . , 4 . 90 = 360?;

3® Cinq triangles équilatéraux ayant dei angles de 72®. ..... 5 . 72 = 360°.

De là 3 réseaux diiTérents qui se rattachent Tun à Tautre » et dont je vais signaler brièvement les rapports.

Le triangle sphérique équilatéral, dont les' angles sont de 120 degrés, a pour côtés des arcs de 109°28' 16",38. Quatre triangles pa- .reils, ayant leurs sommets assemblés trois à trois en 4 points de la sphère, Tembrassent en totalité, et forment sur sa surface le plus simple .des réseaux réguliers, qu'on pourrait appeler réseau iriangt^lairo élémentaire comme étant le plus simple de tous ceux au moyen desquels on peut diviser la surface, de la sphère' en 'parties égales et régulières.

Mais si , dans ce réseau élémentaire, on prolonge les côtés des triangles au delà des sommets où ils se réunissent, de manière à compléter les 6 grands cercles auxquels ils appartiennent, les arcs prolongés divjseront respectivement cn,deu^ parties égales les

angles auxquels ils étaient opposés, formeront les apothèmes des triangles, et se couperont sous des angles de 60 degrés aux quatre centres de ces mêmes triangles. Les apothèmes ainsi formés sont des arcs de 125^15' 51", 81 de développement, qui, en se coupant aux centres des triangles, se divisent mutuellement en deux parties inégales : Tune de 70® 31' 43", 62; Tautre, de

Les 12 petites parties des 12 apothèmes situées deux à deux dans le prolongement Tune de Fautre-, constituent quatre nouveaux triangles équilatéraux dont les angles sont de 120 degrés, dont les côtés sont de 109® 28' 16'',38, comme ceux des quatre* premiers, et dont les sommets sont placés aux centres de ceux-ci.

On a ainsi deux. réseaux triangulaires régulièrement coordonnés, et dont les côtés se coupent à angle droit dans leurs milieux respectifs. Mais, en outre, les 12 grandes parties des 12 apothèmes, dont la longueur est de 70® 31' 43'',62|, constituent 6 qua-^ drilatères, dont les angles de 120 degrés se^ réunissent trois à trois aux 8 points où se réunissent les sommets des deux séries de triangles, et l'existence de cette figure nou-. yelle permettrait de • donner au réseau

complet, formé par la totalité dés 6 grands cercles du réseau élémentaire, le nom de réseau quadrilatéral.

Leréseau triangulaire élémentaire est une hémihédrie, mais une hémihédrie incomplète du réseau quadrilatéral ; tant qu'il reste hémihèdre, le principe quadrangulaire ne s’y manifeste pas encore, bien qu’il ait quatre sommets, et aucune partie des arcs qui forment le quadrilatère de 120 degrés n’en fait encore partie.

La symétrie quaternaire se développe de deux manières dans le réseau formé par les 6 cercles primitifs complétés; d’abord les parties de ces cercles , qui ne servent pas à former les côtés des deuxsériesdu triangle, constituent les côtés des 6 quadrilatères de 120 degrés; mais, en outre, ces mêmes cercles divisent chacun des triangles de 120 de-* grés en 6 triangles rectangles isocèles, ce qui en fait 24 en tout. Or si l’on construit les apothèmes des 24 triangles rectangles isoscèles , ce qui donne naissance à 48 triangles rectangles scalènes, égaux en surface et symétriques deux à deux, les apothèmes, dont les longueurs sont de 45 degrés, constituent 3 grands cercles qui se coupent à angle droit en 6 points opposés , deux à deux, et qui forment un système tri-rectan-

gulaire composé de 8, triangles iri-reo-< langles, dont chacun renferme 6 des 48 triangles rectangles scalènes.

Les petits côtés de ces 48 triangles sca- Icnes forment deux à deux les côtés des quadrilatères à angles de 120 degrés. Les 6 quadrilatères qui embrassent la sphère en« tière ont 24 côtés identiques deux à deux, formant 12 arcs distincts , dont chacun a une longueur de 70° 31^ 43", 62, et qui présentent un développement total de 846® 20' 43", 44.

V Le réseau quadrilatéral^ construit comme nous venons de le faire , se compose de 9 grands cercles formant deux systèmes associés, mais distincts.

L’un d’eux, formé de trois grands cercles seulement, répond a l’assemblage de quatre triangles équilatéraux autour d’un point, il ne présente que des triangl^; mais.la symétrie quadrilatérale existe dans la disposition môme de ces triangles.

L'autre, qui répond à l’assemblage de trois triangles équilatéraux autour d’un point, se compose de six grands cercles, li n’est que le développenlent complet du réseau triangulaire élémentaire, qui peut en être extrait par voie d’héraibédrie de deux, manières différente^ et dont la ()énomi«>

nation là plus convenable serait peut-être celle de réseau^ irtang uîaife ^ hémihédfique» La formation et la division du réseau penlagdhal t qui*^répond à Tasséniblage de 5 Iriangles^équilatéraui autour d'un point, s*opèrentd"unemanière analogue, sous beaucoup de<fa[)port8, à'ce que nous venons de voir; les côtés dés 20 triangles équilatéraux fondanientaux; prolongés dans les angles qui

leur sont respectivement opposés V les divisent ehacud en deux parties égales, forment les apothèmes des triangles , où ils* pénètrent^ sé croisent à leurs centrés sous des

angles de 60 degrés, ét divisent chacun d'eux en 6 triangles rectangles scalènes, dont on compte 120 sur la sphèré entière. Les côtés des triangles équilatéraux sont des arcs de 63"" 26' 5"ÿ84; les apothèmes des arcs, de 58^ 16' 57", 08 , et ces apothèmes se divisent mutuellement en deux parties inégales, l’une de 37° 22' 38", 50, l’autre de 20° 54' 18", 58. Les petites parties des apothèmes sont les^petits côtés des triangles rectangles scalènes. -Elles sont deux à deux dans le prolongement l’une de l’autre, et elles forment les côtés non plus de six quadrilatères à "angles de 120 degrés, mais de douze pentagones à angles de 120 degrés, angles qui ^s’assemblent de même trois a

trois ; de sorte que le pentagone de ce réseau peut être considéré comme représentant le quadrilatère du précédent.

Chacun des 120 triangles rectangles scalènes a pour hypoténuse la plus grande des deux parties d'un apothème, pour grand cété de Tangle droit la moitié de Pun des côtés d'un des triangles équilatéraux, et pour petit côté de l'angle droit la plus petite des deux parties d'un apothème.

Chacun des 12 pentagones a 5 côtés , ce qui donne en tout 60 côtés identiques deux à deux et constituant 30 arcs distincts dont chacun est formé de deux des petits côtés de l'angle droit des triangles scalènes et a une longueur de 41» 48' 37"', 16. La soromé'de ces 30 arcs, qui forme le contour total des 12 pentagones, a un développement de 1254® 18' 34'\80.

Chacun des 20 triangles équilatéraux a 3 côtés ; ce qui donne en tout 60 côtés iden* tiques deux à deux et constituant 30 arcs distincts dont chacun est formé de deux des grands côtés de l'angle droit des triangles scalènes et a une longueur de 63^ 25' 5", 84* La somme de ces 30 arcs, qui forme le contour total des 20 triangles équilatéraux, a un développement de 1903^*2' 55", 20*

Knân chacun des 30 losanges a 4 côtés

dont chacun estrornr4 par Thypothénuse de Tun des 120 triangles scalènes. Ces hypothénuses appartenant chacun à deux triangles scalènes et à deux losanges forment 60 arcs distincts ayant chacun une longueur de 37o 22' 38"', 50. La somme de ces 60 arcs qui représente le contour total des 30 losan* ges a un développement de 2242® 38' 30", 00.

La somme des développements des contours des trois espèces de figures, qui est en même temps celle des côtés des 120 triangles scalènes, est de 1254® 18’ 34", 80 + 1903® 2' 55'S20 + 2242® 38' 30", 00 = 5400® = 360° X 13. C’est une somme égale au développement de 1 5 grands cercles de la sphère, et en effet les 15 grands cercles primitifs du réseau sont employés en entier à former les arcs* que nous venons de passer ’ en revue.

Chacun des 120 triangles rectangles scalènes a pour côtés trois arcs , dont les longueurs sont respectivement de 20 54

18",58, de 31° 43' 2",92 et de 37° 22' 38", 50. La somme, de ces trois arcs est de 90°. Chacun de ces arcs appartenant aux contours de deux triangles scalènes contigus, la somme des contours des 120 triangles scalènes est égale à soixante fois O.O» ou à quinze fois 360°, c’est-à-dire au dévelop-

pement total des 15 grands cércles primitifs

du réseau.

On remarquera que la somme des contours des 12 pentagones, est beaucoup moin^ grande que ta somme des contours des 20 triangle^ équilatéraux qui elle-inême est inférieure à la sonime des contours des 30 lo-' sanges.

On remarquera apssi que la somme des contours 12 pentagones, ne surpasse pas tqpt k f^itd'un tiers la somme des contours dès 6 quadrilatères du réseau quadrilatéral Ép substituant le pentagone au quadrilatère, au double Iç nombre dès divisions égales et régulières déjà sphère, sans doubler le développement des contours. De toutes les divisions de la sphère en figures égales et régu- ’

Hères, la division en 12 pentagones réguliers'

est celle qui combine le plus heureusement' le grand nombre des ^subdivisions avec la petitesse des contours. •

Indépendamment de çette circonstance,, le réseau pentagonal q' encore sur le réseat* quadrilatéral un double avantage d’une part il est à plus petit point, et de l’autre il est plus homogène , car il divise la sphère en 1 20 parties égales, au- moyen de 1 5 grands cercles qui Jouent tous exactement le même râle, tandis que le réseau quadrilatéral di-

vise la sphère en 48 parties égales seule* ment, au moyen de 9 grands cercles qui sont de deux espèces ayant des rôles difTé* rents. Le réseau quadrilatéral , réduit aux trois grands cercles rectangulaires entre eux qui. en font partie, présente une homogénéité plus grande encore en ce que tous les

arcs, dans lesquels ces trois cercles se divisent, sont égaux,' et jouent le même rôle; mais il ne partage la sphère qu'en huit parties seulement.

J'ai indiqué ci-dessus comment on passe du réseau triangulaire élémentaire au réseau quadrilatéral et vice versd par voie d’extension et de réduction ; la- liaison entre le rdséau quadrilatéral et le réseaU' pentagonal 'est beaucoup moins directe.

Les 120 triangles rectangles scalènes du • réseau pentagonal forment , par leur assem- . blage, des (riangies tri-rectangles, comme les 48 triangles rectangles scalènes du roseau quadrilatéral; mais, au lieu d’en former un seul système, ils en forment cinq. Si Ton ^uit sur la sphère les contours des 120 triangles rectangles scalènes, on peut y. tracer 40 triangles tri-rectangles, dont les sommets sont réunis quatre à quatre, et qui forment 5 systèmes tri-reclangulaires. Ces triangles tri-rectangles sont assemblés de manière à

avoir deux à deux le même centre, et les cinq systèmes tri-rectangulaires peuvent être engendrés par Pun quelconque d’entre eux, qu’on fait tourner successivement autour de ses 4 diagonales, soit de 44'* 28' 39", 04, soit de 75" 3l'20",96. Un quadruple nmuvement opéré de cette manière devrait,, en thèse générale , donner aux diagonales du système 12 positions nouvelles, ce qui en produirait 16 en tout; mais si l’on donne aux quatre mouvements de rotation une même amplitude égale à l’un ou à l’aùtre ’ des deux angles que je viens d’indiquer, les 12 positions nouvelles des diagonales se réduisent à 6, et leur nombre total se trouve limité à 10, dont les ei^trémités cor* respondent aux centres opposés deux à deux des 20 triangles équilatéraux. Le choix par- . ticulier de cette amplitude du mouvement de rotation fait que l’opération est close, et peut ensuite être répétée avec l’un ou . l’autre des deux angles énoncés , sans donner aux diagonales aucune autre positioQr^ que les. dix déjà produites. C’est la propriété de ces angles d’introduire ainsi le principe de symétrie quinaire, et de permettre de composée un réseau pentagonal avec cinq positions différentes d’un réseau iri rectangulaire.

Si Ton avail égard seulement à la circonstance que les .trois réseaux, sur lesquels nous venons de jeter un coup d*œii rapide, se rattachent respectivement à Tasscmblage de trois, de quatre et de cinq triangles équilatéraux autour d'un point, on pourrait être tenté de n’employer pour les désigner quuiie seule terminologie, et d’appeler le réseau élérrttntaire, formé de 4 triangles équilatéraux , ' réseau trigonal ; le réseau formé par ' les 6 grands cercles auxquels appartiennent les côtés des 4 triangles primitifs, et par les 3 grands cercles rectangulaires entre eux qui en dérivent, réseau tétragonalf et le réseau formé par les 15 grands cercles auxquels appartiennent les côtés des 20 triangles équilatéraux, a angles de 72 degrés , réseau pentagonal. Les deux premières dénominations auraient l’avantage de faire sentir la convenance de la troisième ; mais, outre l’inconvénient d’être nouvelles , elles auraient encore celui d’indiquer entre les trois réseaux plus d’ana-*

logie qu'ils n’en ont réellement, et, eu

égard aux dissemblances de leurs relations, je crois qu’il vaut mieux s’en tenir aux dénominations un peu hétérogènes de réseau triangulaire hémihédrique , de réseau ,qua;drilatéral et dexéseaiu pentagonal,

Outre les analogies qui proviennent pour ces trois réseaux de ce qu’ils correspondent à l’assemblage de trois , de qtiatre ou de cinq triangles équilatéraux autour d un même point, ils en ont encore d’autres résultant des. rapports qui existent entre eux et les polyèdres réguliers. «

' Les 6 cordes des 6 arcs du réseau trianguiaire hétnihédrique forment les 6 arêtes

d’un tétraèdre régulier.

Dans le réseau quadrilatéral, les ! 2 cordes ■des âê côtés i identiques, deux à deux , des ô quadrilatères, forment les 12 arêtes d’un cube. Les 12 cordes des 24 Côt^ld.eft- ^tiques , deux à- deux, des 8 triangles IVilectangles , forment les 12 arêtes de Pôetaèdre régulier; 24 cordes convenablemèBt placées dans les’ 24 côtés Identiques, deux à deux, ^ des 8. triangles équilatéraux de ;120idegrés,^fournissent:’les 24 arêtes du dodécaèdre rhomboïdalV Les plans des six

grands cercles qui forment l’une des bases du réseau quadrilatéral sont parallèles aux ,12 faces , parallèles, deux à deux, de dodécaèdre rhomboïdal. * .

• Dans le réseau pentagonal, lès 30 Cordes des 60 côtés identiques , deux à deux, des .-12 .pentagones ,• forment les 30 arêtes du dodécaMre régulier ; les 30 cordes des 60 c<l-

tés identiques, deux à deux, des 20 triangles équilatéraux, forment les 30 arêtes de Ttcosaèdre régulier; et 30 plans perpendiculaires aux extrémités des 30 rayons qui aboutissent aux 30 points où se réunissent quatre à quatre les angles droits des 120 triangles rectangles scalènes, forment un solide composé de 30 losanges régulièrement assemblés. Les plans de ces 30 losanges sont tan- Agents h la fois, dans le sens cristallographique du mot, aux 30 arêtes du dodécaèdre

régulier et aux 30 arêtes de l’icosaèdre ré-

gulier; de sorte que le solide, formé de 30 losanges, présente, avec le dodécaèdre et l’icosaèdre réguliers, des relations analogues à celles que le dodécaèdre rhomboïdal présente avec le cube et l’octaèdre. Les plans - * ' •* ^

des io grands cercles qui forment la base du réseau pentagonal sont parallèles aux 30 faces, parallèles deux à deux, du solide, terminé par 30 losanges régulièrement assemblés*

La structure dixréseau pentagonal a pour base le dodécaèdre et Vicosaèdre réguliers , de même que la structure du réseau quadrilatérale pour base \e cube et Voctaèdre, et celle du réseau triangulaire hémihédrique^ le tétraèdre; mais, en outre, comme le ré- . seau pentagonal renferme 5 systèmes trî-

rectangulaires, cl comme scs 15 graruls cercles fondamentaux, sans comprendre les outres éléments des 5* syslcrnes quadrila* tdraux, auxquels ces 5 systèmes tri- rectangulaires se rapportent, se coupent aux extrémités de leurs diagonales, il estaisedevoir que des cordes, tirées dans la sphère entre ^ les points convenables des 15 grands cercles fondamentaux, formeront encore les arêtes de 5 cubes, de 5 octaèdres et de 10 tétraèdres. La charpente rectiligne du Réseau petUagonalf formée de toutes les cordes qui viennent d'être indiquées, présente ainsi un assemblage systématique de ces différents solides, et forme une sorte de compendium méthodiquement coordonné de tous les éléments de symétrie des 5 polyèdres ^réguliers anciens.

Les grands cercles primitifs du réseau pentagonal se rencontrent aux 3 angles de' chacun des 120 triangles scalènes, dans les-* quels ils divisent la surface de la sphère sous des angles de 36, de 60 et de 90 degrés. Le réseau fondamental ne renferme • pas d'autres angles que ces Irois-là , et Tangle de 72 degrés, qui résulte de Taddition du premier à lui-même. Par conséquent, il ne peut devenir comparable au . réseau compliqué que forment, sur la sur*

face de la sphère terrestre» les grands cercles de comparaison dès différents Systèmes de montagnes 9 que par Tadjonction systématique d"uQ certain nombre de cercles subordonnés. «

Pour procéder méthodiquement à cette adjonction» j'ai considéré que les grands cercles primitifs du réseau pentagonal constituant , par suite de leurs intersections sous Pangle de 90 degrés» 5 systèmes trirectangulaires coordonnés entre eux avec une parfaite régularité» les trois plans de chacun^. de ces 5 systèmes tri> rectangulaires peuvent étrer considérés comme respectivement parallèles aux 6 faces d*un cube ayant son centre au centre de la sphère. J'ai remarqué que ces 5cubél( ne sont autre chose que les 5 positions d'un même cube placé d'abord dans une portion quelconque » et tournant séparément soit de 44^ 28' 39''»04» soit de ïo"* 31' 20'', 96 autour de chacune de ses 4 diagonales. Je me suis enfin représenté le cube dans chacune de ses ô positions » comme le noyau d'un système cristallin régulier » composé des faces de l'octaèdre , du dodécaèdre rhomboldal » et de tous les dodécaèdres pentagonaux» trapézoèdres » etc.» que le système cristallin réguJier comprend en nombre illimité » et

dont le nombre devient plus illimité encore, si Ton se borne à emprunter à la cristallographie ses principes de régularité, sans les .accompagner de la condition étrangère à notre objet, que les distances interceptées sur les trois axes par une même face soient enlreelles comme trois nombres entiers. J'ai remarqué, en outre, que le dodécaèdre régulier, ricosaèdre régulier et le solide formé de 30 losanges, peuvent, de même que le cube , l'octaèdre et le dodécaèdre rhomboïdal , être considérés comme les noyaux d’un nombre indéfini de faces engèndrées sur leurs arêtes et sur leurs angles, suivant les lois desymétrie admises dans.la cristallographie. Imaginant ensuite parle centre de la sphère des plans fndéûnis parallèles aux diverses faces des cinq solides réguliers grou- .pés méthodiquernent^dans le système , et de tous leurs dérivés, j’ai eu sur la sphère un nombre inbni de grands cercles coordonnés entre eux avec une régularité parfaite, suivant le genre de symétrie propre au réseau pentagonal .primitif. C’est l’ensemble de ce nombre inûni de grands cercles que j’appelle le réseau .pentagonal complet»

En d’autres termes , et en mettant de côté les mots empruntés à la cristallographie, que j’emploie seulement comme des

locutions commodes et d*une valeur bien connue , le réseau pentagonal complet se' compose des 15 grands cercles fondamen* taux, et de tous ceux qui peuvent y être ratiacbés par une relation, de position susceptible d'une définition géométrique, basée uniquement sur des rapports de symétrie. K^'équation générale d’un plan passant pop. le centre de la sphère étant ^==aa?“f: b//,' le réseau pentagonal le plus complet et le plus développé possible se composera de tous' les plans qui seront particularisas par une détermination de a ou de 5, ou par une équation de condition entre a et 6, dè nature à lier* la position du plan à celle, des' grands cercles fondamentaux , d’une manière qui le mette en rapport avec i’ordon*: nance générale du réseau. ,

C’est là sans doute un système de* plans fort complexe, mais il est certain quMI divjse tout l’espace angulaire, autour du poinl’^ central, avec une symétrie et une rëgularitd singulières. Les propriétés curieuses de qe> système ne peuvent avoir échappé à l’attenii'ofi des géomètres; mais, comme j’avais > besoin de le connaître pratiquement, je me suis imposé la loi de calculer moîrméihe.i tous ceux de ses éléments que je pourrai ' être dans le cas d’employer, . * h

Or, aussitôt que j’ai e\i mis la main à rmuf re, j’ai eu la satisfaction de voir sortir en majorité des tables de logarithmes , les angles que l’élaboration des observations m’avait signalés; le secrei de ces angles était dès lors dévoilé,

A partir de ce moment , je n'ai plus hésité à consacrer k la question tout le temps qu’elle pourrait réclamer, tant pour m’assurer de la vérité de principe que J’entrevoyais que pour donner à ses applications toute la généralité et la précision dont elles sont susceptibles pour le moment.

J’ai commencé naturellement par calculer les angles que forment, avec* les cercles primitifs du jéseau, ou dans leurs rencontres mutuelles, les cercles qui correspondent aux faces les plus simplement placées dans le système cristallin régulier; ceux qui correspondent aux faces de l’octaèdre, et que *j^appelle octaédriques ^ puis ceux qui correspondent au dodécaèdre rhomboidalf et que j'appelle dodécaédriques rhombotdaux.

' Chaque cube a son octaèdre, lequel a 8 faces parallèles 2 à 2, ce qui donne 4 octaédriques pour chacun des cinq cubes. Cependant, il n’y a en tout que 1 0 octaédriques au lieu de 20,. parce que les faces de l’octaèdre étant perpendiculaires aux

diagonales du cube, 2 quelconques des 5 octaèdres ont une de leurs faces dans le même plan, ce qui fait que les 20 octaédri^ « queSj qui devraient exister en principe, se confondent 2 à 2 et se réduisent à 10.

Chaque cube a aussi son dodécaèdre rhomboïdal, présentant 12 faces parallèles ' 2 à 2, ce qui donne; pour chacun des 5 cubes, 6 dodécaédriques rhomhoidaux. 11 •* y en a 30 en tout qui sont tous distincts les uns des autres. Les 6 dodécaédriques rhom^ boïdaux que nous adjoignons ici à chaque système tri -rectangulaire ne sont autre chose que les 6 cercles nécessaires pour compléter relativement à chacun de ces systèmes tri-rectangulaires un réseau qua^drilaléral.

Les 30 dodécaédriques rhomhoidaux ^ .

ajoutés aux 10 octaédrigiiüs et aux 15 grands cercles primitifs^ forment déjà ùn total de 55 cercles, qui, ainsi que je viens de l’indiquer,. représentent 5 réseaux quadri^ latéraux^ avec leurs octaédriques, ajustés pentagonalement , s’il est permis de s’exprimer ainsi, au moyen des angles de 44'’ 28' , 39", 04 ou de 75° 31' 20'',96 ; mais il convient d’y joindre encore les cercles donnés par les plans qui dérivent du dodécaèdre régulier et de Ticosaèdre ^ comme ceux des*

pr^f(*dents dérivent des cubes' et des oeV taèdres , qui font également partie de la charpente rectiligne du réseau pentagonal^ Or il résulte seulement de là l'adjonction de 6 grands cercles nouveaux ; ce sent ceux'qui sontiformés par les 6 plans parallèles aux 12 faces du dodécaèdre régulier , lesquels sont perpendiculaires aux 6 diamètres de la sphère, qui joignent, deux à deux, les centres des 12 pentagones. Quant aux 10 plans parallèles aux 20 faces de l'icosaèdre, ils sont perpendiculaires aux 10 diamètre.s do la sphère, qui joignent, deüx à deux,'les centres des 20 triangles équilatéraux , et

comme ces 10 diamètres ne sont autre chose que les diagonales des 5 systèmes tri-rectangulaires, les 10 grands cercles dont il s’agit sont autre chose que les iO octaédriques déjà mentionnés, et qu’on pourrait appeler ioosaédriques aussi bien qu'octaédriques.

Enfin lesolide, terminé par 30 losanges, qui est relativement au dodécaèdre régulier et à I icosaèdre ce qu’est le dodécaèdre rhomboïdal par rapport au cube et à l'octaèdre, a ses 30 faces perpendiculaires aux 15 diamètres qui aboutissent aux centres des 30 losanges du réseau. Ces 15 diamètres pétant autre chose que les intersections orfhogonale|des 6 systèmes tri-rectangulaires

que renferme l'ensemble des plans fon* * damentaux du'réseau, les plans des 30 losanges se trouvent parallèles, deux à deux, à ces 15 plans fondamentaux, et les grands cercles qui leur correspondent ne sont autres que les 15 grands cercles fondamen-. taux du réseau pontagonaL

L’adjonction des 6 dodécaédriques régu-liers aux 55 grands cercles précédemment énumérés donne un total de 61 grands cercles , qui sont les représentants les plus essentiels de la symétrie pentagonale, lis appartiennent à quatre catégories, qui, comme nous le verrons bientôt, sont comprises dans des séries illimitées , dans lesquelles ces grands cercles se distinguent par des conditions uniques > et qui no s’appliquent qu’à eux seuls. .

Il convenait évidemment de commencer par ces 61 grands cercles l’étude du réseau pentagonal; mais afln d'ordonner convenablement les calculs dont lisseraient Pob-

jet, et ceux qui pourraient être appliqué plus tard à des grands cercles accessoires, il m’était avant tout nécessaire d’avoir constamment sous les yeux un diagramme prér cis de la disposition de ces 61 grands cercles, représentants essentiels de la symétrie pentagonale.

* On est généralement dans Tusage de composer les figures relatives aux triangles sphériques de lignes courbes tracées sans beaucoup de soin ; ce ne sont ni des projections, ni des perspectives , et de pareilles •figures ne lardent pas à devenir à peu près indéchiffrables, lorsque le nombre des arcs , qu’elles doivent contenir est un peu grand. Pour éviter cet inconvénient, j’ai eu recours à un mode de projection déjà employé en géographie sous le nom de projection gnomonique , et qui consiste à projeter la surface de la sphère sur un de ses plans tangents, par la prolongation pure et simple des rayons partant du centre. Sur une pareille projection, tous les grands cercles sont représentés par des lignes droites. Les petits cercles le sontpardes sections coniques ; mais je n’aurai à m’occuper de ceux-ci que plus tard , le réseau pentagonal se composant uniquement de grands cercles.

J’ai projeté ainsi certaines parties plus ou moins étendues de mon réseau , sur des plans qui touchaient la sphère soit au centre de l’un des 12 pentagones , soit au centre de Tun des 20 triangles. équilatéraux , soit au centre de l’un des 30 losanges, et j’ai eu des épures f sur lesquelles, au moyen de la règle et du compas, je pouvais construire

tons mes cercles , délermiiiér^ leurs points de croisement , devancer à quelques égards Jes résultats du calcul » et découvrir même les fautes qui pouvaient s'y être, glissées toutes les fois qu'elles étaient un peu fortes, avantage toujours précieux dans une longue série de, calculs. r,

^ ^Pans une. pareille épure, les arcs égaux sont souvent représentés par des lignes inégales; ceux qui partent du centre, de projection sont représentés par leurs tangentes ; ceux qui ne . passent pas au centre de projection sont représentés par des longueurs, ayant avec, eux-mêmes des rapports* plus complexes ; une partie des angles ont sur la figiire des ouvertures^ dilléren tes de celles qu'ils ont sur la surface de là sphère ; on ne peut donc mesurer sur la figure ni. les arcs, ni les angles (du moins pour la plupart); mais on peut y suivre la manière dont les arcs s^entrecroisent, et, sous .ee rapport, elle a . toute Ja précision qu'on veut prendre la peine de lui donner.

. La planche V. du présent volume, sur laquelle l'Europe et les contrées adjacentes sont figurées en projection -gnomoniquOi a, >pour canevas , la représentation de l'un des 12 pentagones du réseau pentagonal tracée comme je viens de l'indiquer. J'ai d'abord

construit, par les procédés connus, un pen* tagone régulier; j'ai joint chacun de ses soinmels avec son centre par une ligne droite, dont le prolongement a été couper à angle droit Tun des côtés du pentagone dans son milieu. J*ai ainsi divisé lo penta* gonc en 10 triangles rectangles scalènes, dont chacun représente un des 120 triangles sphériques rectangles scalènes du 7'éseaupen» lagonal. Le centre D du pentagone reprér sente le centre de Tun des 12 pentagones du réseau ; c'est en ce point que le plan de projection est langent à la sphère. Les 5 sommets, 1, T, l", L'', l”", du pentagone représentent les centres de 5 des triangles équilatéraux du réseau , dont chacun a un de ses sommets au centre D du pentagone. Les lignes Dl. DL, Dl-, Dr', Dl"', représentent les hypothénuses des triangles sca» lènes, c’est-à-dire des arcs de 37® 22' 38 'j50. Les lignes DU, DH% DU'', DH'", DH"" rc^ présentent les grands côtés de l’angle droit des triangles scalènes, c’est à-dire des arcs de3l«»43'2^92. Enfin les lignes HI, IH',H'I représentent les petits côtés de l’angle droit des triangles scalènes, c’est-à-dire des arcs de 20^54' 18'', 58. Toutes ces lignes tracées en lignes pleines appartiennent aux grands cercles primitifs du réseau ; on voit que dix

de 066 quinze graudo cercles figurent dans un. ,méme pentagene# ^

^ Maintenant il est facile d'introduire dans la figure les autres grands cercles principaux du réseau. t v

, Cominençons par les octâédriqUùs ou ioo*

‘ Sdddl^^ues* ^ .J; s 4 .> T ik

::é plans de ces^iO cercles sont perpehdicujaires aux 10 diamètres de la sphère, qui aboutissent aux centres des 20 triangles {équilatéraux ou I ce qui revient au même, aux soBinnets des, pen tagofics« ; - ^11 existe donc 5 octaédriques » qui correspondent aux 5 sommets du pentagone, dont nous avons tracé la projection. Ges octaédriques passent en dehois de noire J figure; nous n'avons pas i les y marquer, mais les cinq autres octaédriques la traversent ainsi qu’on va le voir. ? ■ ^ h

;.^^La ligne DH représente la moitié d’un côté de triangle équilatéral; cet arc^ prolongé d’une quantité égaie à ]ui>mème, aboutit à un sommet de triangle équiiaté- ^ral, c’est-à-dire à un centre dOi pentagone. -Prolongé au delà de ce point, il joue le rôle cd’àpotbème dans un nouveau triangle, dont on a le centre en mesurant sur cet apothènte ,un arc de 37® 22' .38'',o04 •

i y^A ce centre de triangle correspond nn

^oclaédriqucy qui coupe perpendiculairement l'arc que nous avons suivi à 90 degrés du centre que nous avons construit. Ce centre ' de triangle est à une distance du centre D de notre pentagone égale à 3V 13' 2", 92 + 31° 43' 2",92 + 37° 22' 38",50 = 100** 48' 44", 34. En en retranchant 90 d^rés, il reste 10° 48' 44'', 34 pour la distance du point D au point a, auquel Toctaédrique coupe Tare représenté par la ligne DH.

Pour construire ce point sur notre figure, il faudrait porter de D vers H une longueur proportionnelle à lang. 10® 44' 44", 34, puis mener par le point a, ainsi obtenu , une perpendiculaire à DH. Ou voit de suite qiiecette perpendiculaire ne pourrait passer bien loin des points H' et H'"' : or elle doit y passer exactement, car notre octaédrique et le grand cercle primitif du réseau , représenté par HI, étant perpendiculaires au primitif DH, doivent se couper à 90 degrés de H, et ce point situé à 90 degrés de H est un nouveau point d’intersection rectangulaire des grands cercles primitifs du réseau complètement analogue à H. ,Donc les octaédriques passent exactement par les points H, et celui que nous considérons sera construit exactement sur la figure par la ligne H', H"", dont l’intersection avec DU, qui

s'opère a angle droit , donne le point a.

Les quatre autres octaédriques de la figure sont représentés par les lignes U' H'", H" H''", H"' H, H H", construites de la même manière. L’angle H'"' H' i’"\. compris, entre l’oc/aédrique et le primitif y est, de 20** 54' 48'S58.

Chacun de ces octaédriques en parcourant la circonférence de la sphère , travèrse de la même manière 6 pentagones, d’où il résulte que l’arc H'H"", compris dans un

seul pentagone, est égal à ou à 60 de-

grés. L’arc a H' est de 30 degrés ; les 5 arc» d’octaédrique compris dans chaque penta* gone forment un total de 300 degrés ; par conséquent les 12 pentagones renferment des arcs A' octaédriques, ayant une longueur totale de 12 fois 300° ou de 10 fois 360°, c’est-à-dire à dit circonférences entières : il y a en effet 10 octaédriques.

Les 5 octaédriques qui traversent un même pentagone* forment -dans son intérieur un autre pentagone régulier plus petit, dont les sommets T, T', T", T"', “T"" sont des points remarquables du réseau. Il résulte, en effet, des relations de l’octaèdre avec le cube, que ces points correspondent

aux diagonales des angles droits des systèmes tri -rectangulaires. L’arc, représenté par K T"* doit, par suite, être de 45', et Tare représenté par DT’' de 45® — 31® 43' 2''. 92 =13® 16 57'', 08. Lesangles, tels que HT D, sont sur la sphère de 54® 44' 8", 19.

Les dodécaédriques rhomboïdaux se construisent plus facilement encore que les octaédriques, Le point H interjection rectangulaire de deux des grands cercles primitifs du réseau est l’un des sommets d’un triangle tri-rectangle que la figure ne renferme qu’en partie , mais dont le point V est le centre. T et î" sont les extrémités de deux iies diagonales du système tri-rectangulaire, auquel le point H appartient. H résulte de là que les lignes HT, H T" et l'I"', correspondent à trois des dodécaédriques rhonihdidüux du même système tri-rectangulaire ; les deux premières représentent des arcs de 54® 44' .8'',19, etla troisième un arc de 70® 31' 43",62. Cet arc doit passer en T'' à 45 degrés du point H , et y couper perpendiculairement H T'', ce que la construction vérifie.

En opérant de môme, relativement aux autres points homologues de la figure , on coüuifûiVMsii dodécaédriques rhomboïdatâœ qui doiy^t U traverser. Dix de cea arcs onl

^es |ongu««r8 di? ^4“ 44' S",|9,et dpg pg|t 4ps longpeurs de 70“ 31' 43' , 62 ; or pn tfouve que 54“ 44' 8''49 54“ 44' 8",f9

•f 70“ 31' 43 ',62 = }80"; dûjJC ij| spffiinp (jps 45 près dont nous ypnpn? (je pprlçp e$t égale 9 g fpjs ISO degré«. Lp spiqinp 4otj||e dp ^p^^s les arcs aiia|ogi|es çppipnuf daps je^ 12 ppptegones est égaie, par popséqpppt, i 60 fpjs 480 degrés pp g 30roia 360 degr#, g|noua avoRf vu qu’il existe, PP efTet, gur |a splière 30 4çdéçaéiriq]ies rfcowôptdopgj.

Spf )a sphère, |es angles, tels qqe l’ H I" St l'HI» sppt de 45 degrés; )ea pqgles, tejg que Hl'it da 22“ 44' 19"52; et jpg angles, tels qpa I"" r I, de 37 , 45' 40", 48. D’après cela, j’apg^le HI'H"' est de 75? 3r2Q"96; dppe si l’on fa.it tourner la figure sur eller wiéaje autour du ppipi dp 75“ 31' 22 "10, OU amèpera le polpt .H po H '', et on superposera la système tri-rectapgulatre ,.euqpf| y appartient, à celui dopt fait partie.

Si pn opérait un mpuverpentanalogye, ipaja eu seps inverse , et d’une ampjitude égajg seulement à deug fpjs 22“ 14' 19'',.52pu à 44° 2§' 32">04i PP porterait je ppjpt H sur up ^tre point analogue sitpé sur PI, au delà dp point 1 : ce sontlè les deux piouyeipepti de retatiop dont j’ai parlé précédemmept.

Il nous reste encore à placer les dodécaé-

driques réguliérs. Les plans de ces 6 grands cercles sont perpendiculaires aux 6 diamètres qui aboutissent aux centres des pentagones. Le dodécaédrique régulier ^ dont le plan est perpendiculaire au diamètre de la sphère aboutissant en D, ne peut être tracé sur notre figure; mais les cinq autres y trouvent place. Si ron® prolonge d’une quantité égale à lui>même l’arc représenté *par D H, on aura sur la sphère, comme nous l’avons déjà remarqué, un nouveau centre de pentagone; le dodécaédrique régulier

relatif à ce point coupera perpendiculaire- • •

ment l’arc représenté par HT' à 90 degrés de ce centre. Si donc nous retranchons de «90 degrés le double de l’arc représenté par DH ou 63° 26' 5", 84, il nous restera 26® 33' 54'', 16 pour la distance du point D au . point 6", où Tare cherché coupe perpendiculairement l’arc représenté par DT'. Nous pourrions construire ce point en portant de D vers V‘ une longueur proportionnelle à tang. 26° 33' 54*', 16 ; mais on peut construire plus commodément ce point 6'', et l’arc cherché en tirant simplement H"

En effet, les dodécaédriques réguliers doï\ eut passer par les points H; l’arc, représenté par 6'" I", est égala 37« 22' 38",50 — 26° 33' 54'', 16 = 10° 48* 44'*, 34. D’après la

symétrie de la figufe sur la sphère, un autre poiiit'semblable à h*‘ doit sc trouver ~sur le prolongement de rare, représenté par H' I', à 1 0'* 48' 4 du point I'; et, d'après la symétrie de la figure, Tare, qui joint ces deux points et qui appartient au dodécaédrique régulier^ doit passer au milieu de l’arc représenté par ri", c’est-à-dire en II".

^ En. parcourant la- circonférence entière de. la sphère, le dodécaédrique régulier coupe de la même manière les angles de 10 pentagones; par conséquent, la longueur de son parcours dans chaque penlagone.est égale

à ou à 36 degrés; ainsi VafcjH'^^

est de 36 degrés, et Tare H" b^' est de 18 de» grés. ^

Les lignes H'" 11"^', H, H W'\ représentent 4 nouveaux arcs de dodécaédriques réguliers égaux au précédent, et semblablement placés. Ces >5 arcs ont une longueur totale de 180 degrés, et les 12 pentagones renferment des arcs de dodécaédriques réguliers f ayant une longueur totale égale à 12 fois 1 80 degrés ou à 6 fois 360 degrés, c’est-à-dire à 6 circonférences du grand cercle ; et il y a en elTct 6 dodécaédriques réguliers.

En récapitulant et en comparant quelques uns des chiffres qui viennent de passer sous nos ycui , on volt que l’angle l'" H' T" de Voctaédrique avec le primitif a pour mesure 20** 54' 18", 58 9 nombre qui exprime aussi la longueur de Tare représenté par H'I, qui forme la moitié d'un côté du pentagone. L'angle b" IL' 1" du dodécaédriqne régulier^ avec un des grands cercles primitifs, a pour mesure 31" 43' 2*', 92, nombre qui exprime aussi la longueur de l'arc DH", qui est far moitié de l'un des côtés des triangles équilatéraux. Les segments successifs de Taré représenté par Hl" ont respectivement pour mesures Ha==s20"54' 18",58.'aD = 10" 48^ 44", 34, 13® 16' 57", 08 ; de même,

T" 6" = 13° 16’ 57", 08 ; 6 ' I" = 10" 48' 44", 34. Nous avons vu que 13" 16' 57", 08 est la valeur sur la sphère de l'angle r' H" H"'; 10" 18’ 44 34 est la valeur

d'un angle qui n'eiiste pas dans la figure actuelle, mais que noua verrons apparaître plus tard dans le réseau. L'arc d'ociaédi> gue H' H"" a une longueur égale à 60 degrés, valeur sur la sphère de Tangle représenté dans la figure par Dir. Les segments successifs de cet arc ont pour mesure H T == 22" 14’ 19*', 52 , valeur de l'angle

fir H' a « 30°, valeur de la moUid de l’angle HMD : H'T"' == 37° 45' 40",48 , valeur de l’angle HI'H"" : TT"" =* 15» 21- 20,96, valeur de l’angle Hl' r"';Ta = 7° 45' 40", 48, moitié de la valeur de l’angle HI' I"". L’arc de dodécaédrique Régulier H H" a pour mesure 36. degrés , valeur de l’angle H" PI '< L’arc de dodécaédrique rhombotdal lil' a pour valeur 54° 44' 8'.', 19 qui est la mesure de l’angle représenté par HTI; l’arclT’a pour mesure 35° 15' 51 '',81, qui est ia. mesure de l’angle représenté par |l.Tl"",,etc..

On voit ainsi les mômes valeurs numériques se reproduire Tréquemment comme mesures des arcs dont le réseau se compose

et des angles que ces arcs forment entre

eux, Cetie reproduction fréquente .des mêmes valeurs .d’arcs et d’angles dans des positions diverses, et en apparence indépen» dantes les. unes des autres , est une consér quence, et, pour ainsi dire, une expression des lois de symétrie qui président à la structure du réseau.

La position d’un grand cercle est définie quand celle de ses pôles est fixée et vice versd. H est facile d’indiquer les pôles des 61 grands cercles principaux du réseau pentagonal.

Les 15 grands cercles primitifs ont pour pôles les 30 points H.

* Les 10 octaédriques ont pour pôles les 20 points I.

Les 6 dodécaédriques réguliers ont pour pôles les 12 points D*

EnGn^ chacun des dodécaédriques rhomboidaux passe sur un point T, où il coupe perpendicuiuiremënt un des grands cercles fondamentaux, et il a pour pôle un point de ce derniergrand cercle situé à 90 degrés du point T. Or, comme les points T sont, de part et d'autre , à 45 degrés des points H , il est aisé de voir qu'un point situé sur un des grands cercles primitifs à 90 degrés d'un point T, est un autre point T. Chaque point T est ainsi le pôle d'un dodécaédrique rhomboidal. Dans chacun des 12 grands pentagones qui se partagent la sphère entière, il existe 5. points T ; par conséquent , le réseau en renferme en tout 60, qui sont les pôles des 30 dodécaédriqtÂCs rhomhoidaux.

Nous avons vu que les 61 grands' cercles principaux du réseau se divisent en quatre catégories, savoir ;

Les 15 grands cercles primitifs;

Les 1 0 octaédriques ou icosaédriques ;

Les 6 dodécaédriques réguliers ;

El les 30 dodécaédriques rhomboidaux.

On peut .remarquer que les cercles de Tune quelconque de Tune de ces catégories suffisent pour déterminer tout le'rése«nU| et que si Ton ne donnait qu'eux seuls ^ on

pourrait en déduire tous les autres.

Nous l'avons déjà vu pour les 15 cercles .primitifs.

Les 10 octaédriques donnent par leurs pôles les 20 points I , et, par leurs intersections mutuelles, les 30. points H et les 6Ô points T.par lesquels passent.tous les autres cercles, et qui les déterminent compIéte7 ment. .

. Les 6 dodécaédriques réguliers donnent, par leurs pôles, les centres des 12 pentagones, et, par leurs intersections mutuelles, les;30 points H par lesquels passent les 55 autres grands. cercles.

^ Enfin les 30 dodécaédriques rhomboidaux donnent, par leurs pôles, les 60 points T, et, par leurs intersections mutuelles, les 20 points. Let les 30 points H.

Le principe de la symétrie pentagonale est donc. renfermé complètement dans i'orr donnance des cercles de chacune des quatre catégories; .mais on. petit. dire qu'il y est d'autant plus concentré, que la catégorie est moins nombreuse.

Il n'est même, pas nécessaire de donner

lôus les cercles d’une même càlégorie pour que le réseau soit complètement déterminé, ïrois pôles appartenant è 3 dodécaédrique^ réguliers , le déterminent complétêmeni.

On peut aussi le déterminer .par 3 pôIeS iV octaédriques f 3 pôles des grayids cercles primitifs ou 3 pôles des dodécaédriques rhomboïdaux. Seulement il faut avoir soin de choisir ces pôles convenablement; car, si Ton en prenait 3, par etempie, appartenant à un même système tri reclangulaire , la symétrie pentagonalé se trouverait mise dé côté.

On voit, d’après Id COnsirucllôü cjUe nous ^avons exécutée, que^ parmi les 61 grands •Cercles principaux du réseau pentagonal , ^45 figurent dans les contours ou dans l’intérieur de chaque penliigdilé.^

Ôri peut Construire avec lé même tacilit^ la lirojection du réseau- ‘pentagonal sur un plan qui touché lé sphère âü centre de l’un des 20 triangles équilatéraux ou de l’iin des 30 IdSéngés. Ces constructions ont l’avantègé dè se contrôler ei de s’éclaircir mutuellement; mats H m’a paru suffisant de consigner dans l’ouvrage celle que Je viens de décrire*

Le lecteur trouvera peut-être de i’âVantage à tracer groséièreméni sur un corps

sphériqtiè qüeléonqiié , sur ûm Htlé de bll^ lard, une orange, une balle OU un bayoU à jouer en peau blanche, eie..., 20 triangles éqUÜâtérâut , puis leurs apothèmes qui lut .donneront les 12 pentagones, ét à y figurée ies'arcs indiqués sur la projection. On se ré^ connattra ainsi très facilement dans l*ajui«> làge'^des 01 grands cercles principaui. Cet ajustage est très simple; il ne s'agit que de parvenir à le uoir, et, pour cela, j’aufâii déSifé qu'il me fût possible de joindre une sphère à cSet ouvrage.

Oii ^conçoit , du reste, qu'il ne peut rien rester d'ambigu dans l'ajustage de 6 i grands Cercles aussi nettement définis que les ^grands cercles principaux du réseau penid- *gbnaL ^ ^ '

" On Voit aussi qu'une figure telle que le ^diagramme que nous avons Construit permet de reconnaître facilement quels sont les ' triangles à calculer pour obtenir les angles et les arcs du résèau. En procédant métho- <^diquemènt, on peut généralement les obtenir tous au moyen de triangles rectangles ^dont le calcul est plus simple que celui des " triangles obliqùangles. ‘ ^ ^

La figure permet d'évaluer au moins > " grossièrement la surface de chaque iHanglè, et par conséquent d'employer la considéra-

iton de Texcés sphérique pour mettre en évidence les fautes de calcul.

Le calcul de tous les angles et de tous les arcs que présente la figure ne laisse pas que d'ètre.assez long. Il Test moins cependant qu^on nepourrait le croire au premier abord ; car les 120 triadgles rectangles scalènes étant égaux et symétriques, deux à deux , l’un quelconque d’entre eux renferme exactement les mêmes choses, que tous les autres; et quand on a calculé tout ce que renferme Tun de ces 120 triangles rectangles scalènes, on a calculé tout le réseau.

Le format du présent ouvrage se prête trop difficilement à rinserlion de, longs tableaux numériques pour que je consigne ici celui de tous les arcs et subdivisions d'arcs que présente Tun des 120 triangles, rectangles scalènes; je mé borne au tableau des angles que forment dans rintérieur ou sur les contours de Tun d’eux , les cercles principaux du réseau pentagonal. Ces angles sont au nombre de 33 ayant des valeurs différentes.

Comme, le réseau pentagonal renfernae cinq réseaux quadrilatéraux ajustés suivant la symétrie pentagonale, le tableau renferme tousses angles^ que présente unrcseau.guadrilatéral considéré au même degré, de. dé-

veîoppement, c’est-à-dire comme composé de 1 3 cercles, savoir, les trois cercles tri-reclangulaires qui correspondent aui faces du cube, les 4 cercles qui correspondent aui faces de l’octaèdre et les 6 cercles qui correspondent aux faces du dodécaèdre rhomhoKdal , ou des 13 cercles qui sont déterminés par des conditions uniques y comme ceux que nous considérons en ce moment dans le réseau pentaÿonaL Ces angles sont au nombre de 6 ayant des valeurs différentes et sont distingués par des astérisques.

7'ABLEAU des valeurs des angles formés parles grands cercles principaux du réseau pentagonal dans V intérieur ou sur les bords de Vun quelconque des 120 triangles rectangles scalènes.

Il' 1"" I, H" l"" l', . . .

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