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Les trois premières colonnes de ce tableau , vers la gauche ^ indiquent deux par deux les points de l'Europe qui ont formé, avec le pôle boréal , les trois sommets de chaque triangle, ainsi que leurs latitudes et leurs longitudes. Les deux colonnes suivantes indiquent la moyenne des latitudes, et la différence des longitudes des deux sommets de chaque triangle adjacents à sa base. La sixième colonne indique la différence des angles alternes internes formés par Tare de grand cercle qui joint les deux sommets méridionaux de chaque triangit avec les méridiens de ces deux points , qui forment les deux autres côtés du triangle. Cette différence est le moyen de comparaison des orientations observées aux deux sommets méridionaux.

Enfin, la septième et dernière colonne da tableau indique le rapport qui existe, dans chaque triangle, entre Tangle au pôle, qui n'est autre que la différence des longitudes des deux sommets méridionaux, et la diffé' rence des angles altemes internes formés par Tare de grand cercle qui joint ces deux sommets avec leurs méridiens respectifs.

En examinant attentivement le tableau , on verra que ce rapport décroît avec une certaine régularité k mesu*' ue la latitude

mofenna des deux sommaU méridionaux du triaDgle diminue, c'est-à-dire à mesure que ce triangle s'allonge Ters réquateur et approche de devenir un demi-fuseau. 11 est aisé de concevoir qu'en effet le rapport dont il s'agit doit suivre cette marche décrois- Mnte. Si le triangle était infiniment petit » et que les deux sommets méridionaux fuslent à une distance infiniment petite du pôle, le rapport serait celui d'égalité, i à 1. Si le triangle était équivalent à un demifuseau, ce qui suppose que l'un des sommets méridionaux du triangle est aussi éloigné de réquateur vers le S. que l'autre vers le N., le rapport serait celui de 1 à 0. Si le triangle était isoscèle , ce qui suppose que les deux sommets méridionaux sont à la même latitude, le rapport s'obtiendrait par la résolution de l'un des deux triangles rectangles dont le triangle isoscèle se composerait , et le rapport des tangentes des deux angles serait égal à celui de l'unité au sinus de la latitude. Enfin , dans le cas ordinaire où les deux sommets méridionaux du triangle ont des latitudes inégales , le second rapport a la valeur qu'il aurait s'ils étaient ramenés l'un et l'autre à leur latitude moyenne augmentée d'une petite quantité.

En effet, la différence entre la différence des I. 5

longitudti des deux sommeti mérldtonaox du

triangle, et relie des angles alternes internes formés pnr Parc qui les {oint avec leurs méridiens respectifs , est égaie à Veaccès sphé^ rique des trois angles du triangle lui-mémey et la somme des deux cdiës de ce triangle qui aboutissent .au pôle étant constante, Vexcès sphérique de ses trois angles, qui eit proportionnel à sa surface, est d'autant plus grand que les deux côtés approchent plus de régalilé. Quand le milieu de la base se trouve sur Téquateur , Teicès spbérique est égal à Tangle au pôle , c'est-à-dire à la différence de longitude des deux côtés méridionaux; d'où il résulte que la différence des angles alternes internes formés par la base avec les deux méridiens est nulle, et que le rapport est , comme nous venons de le dire, celui de 1 à 0. Il en serait de même si , la base étant oblique , elle avait son point milieu sur Péquateur.

J'ai été étonné , au premier abord , de la petitesse des irrégularités que présente dans sa marche le rapport qui nous occupe ; car il me paraissait naturel de croire que , pour des points placés d'une manière aussi disparate que ceux qui entrent dans le tableau , le rapport de la septième colonne aurait varié d'une roanière plus irrégulière. D'un

•aire côté, ii V^n remarque que U marche décroissante de ce rapport n'est pas complètement régulière et présente même des anomalies , on pourra s'étonner que j'aie consigné ici cette série irrégulière. J'aurais pu en obtenir une parfaiiemeut régulière en considérant une suite de triangles isoscèles, qui tous auraient eu le même angle au sommet, et dont chacun aurait eu ses deux sommets méridionaui à la même latitude.

Chacun d'eux se serait décomposé en deux triangles rectangles, et dans chacun de ceuxci on aurait pu calculer la différence des angles alternes internes formés par la base avec les méridiens extérieurs au moyen de la formule : tang C = sin a tang B , où a représente la latitude comptée , comme à Tordinaire , à partir de l'équateur, et B Tangle au pôle ; formule dans laquelle on lit que , dans ce cas , le rapport de la seplièroe colonne décrottrait régulièrement du pôle où il serait i : 1 , à l'équateur où U serait i : 0. Mais il u'j a aucune raisoo pour remplacer une formule très simple par un pareil tableau, qui, lui-même , n'aurait pu être appliqué à des triangles non isoscèles, et même à de^ triangles isoscèles où l'angle B aurait eu une valeur diiïérente de celle employée, que d'une manière approxi-

mative, et sans qu*(m pût apprécier le degré de V approximation ; tandis que le tableau que je présente fait voir, d*un coup d'œil, de quel ordre est Terreur, toujours assez peu considérable, que Ton est exposé à commettre pour des points de latUndes diffé^ rentes y et tous renfermés dans retendue de l'Europe , en remplaçant le calcul d*un triangle spbérique par une simple proportion dont il fournit le rapport. Il demeure bien entendu que ce tableau, de même que la projection stéréographique dont j*ai déjà parlé , n*est qu'un instrument expéditif de tâtonnement, et que si Ton veut obtenir un résultat absolument rigoureux , il faut prendre le temps d*exécuter le calcul trigonométrique; mais , en pareille matière , on a plus à craindre d*èlre induit en erreur par les illusions qu'un simple calcul approximatif aurait fait disparaître , que par les inexactitudes que ce calcul pourrait renfermer.

Les géologues qui se livrent à des rapprocbements entre les directions des différents accidents que présente Técorce terrestre doivent toujours être en garde contre les illusions qui résultent de la forme spbérique de la terre, et de la manière dont elle est représentée sur les cartes géographiques.

Au moyen da Ubleau ci-detsus on pourra dissiper ces illusions » pour ainsi dire d*nn trait de plume, et son emploi pourra être utile, non seulement pour les calculs qui me root fait construire, mais pour une foule de tâtonnements géométriques relatifs à des comparaisons de directions.

La combinaison élémentaire sur laquelle ces tâtonnements reposent consiste essentiellement à examiner si deux petits arcs de grands cercles placés sur la sphère, à quelque dislance Tun de Tautre, sont exactement ou à peu près parallèles entre eux.

Ces deux petits arcs, d'après la définition rappelée ci-dessus, seront exactement paraU lèles entre eux , si un même grand cercle les coupe Tun et Tautre perpendiculairement par leur point milieu ; mais ils seront déjà très voisins du parallélisme, si Tare du grand cercle qui joint le milieu de Tun au milieu de l'autre est peu étendu et fait avec eux des angles alternes internes égaux. En effet, ils feront alors partie des deux côtés d'un fuseau de peu de largeiir, dont le milieu de Tare de jonction sera le centre ; ils occuperont sur les deux côtés de ce fuseau des positions symétriques; et, prolongés l'un et l'autre jusqu'à l'équaleur du fuseau, ils y seront exactement parallèles. Considérés dans les points mêmes I, 5*

où ils ont été observés , ils ne peuvent être parallèles Pun à Pautre que par rintermédiaire d'uo grand cercle de comparaison. Il est assez naturel de choisir pour grand cercle de comparaison Pun des deux arcs prolongé, et, dans ce cas, le défaut de parallélisme que les deux arcs présenteront dans les poinis où on les a observés, a pour mesure Vexcès spheriqw du triangle formé par Tare de jouction des points milieu des deux arcs, p.ir Tun des deux arcs prolongés, et. par la perpendiculaire abaissée sur son prolongement du point milieu de l'autre arc. A moins que ce triangle ne soit très grand, ce qui suppose les deux points très éloignés Tun de l'autre, Vexcès sphérique dont il s'agit sera toujours peu considérable; les deux pelKsarcs pourront donc, dans le plus grand nombre des cas, être considérés comme sensiblement parallèles, si Tare qui joint leurs points milieu forme avec eux des angles alternes internes égaux. Réciproquement, si, en un point donné, on veut tracer un petit arc de grand cercle parallèle a un autre petit arc de grand cercle existant en un autre point de la sphère, il suffit de joindre les deux points par un arc de grand cercle, et de tracer le nouvel arc de manière qu'il fasse avec Parc de jonction le. même angle que Parc observé.

En opérant de cette manière pour transporter une direction d'un po'^nt à un autre» on se rapproche autant que possible du procédé par lequel on trace, par un point donné d'un plan, une parallèle à une droite donnée dans ce plan. On a égard à la convergence des méridiens vers le pôle de rotation de la terre, connme on aurait égard sur un plan à la convergence de rayons vecteurs vers un foyer; mais on fait abstraction, du reste, des effets de la courbure de la terre.

Pour se rendre raison de cette espèce de départ qu'on opère ainsi entre deux effets provenant Tun et l'autre d'une mêmecause^ la sphéricité de la terre, il suTGt d'imaginer qu'on détache le réseau des points d'observation de la partie de la sphère terrestre k laquelle il appartient pour l'appliquer, sans le déformer, sur la zone torride, de manière que la ligne équinoxiale le divise en deux parties égales. On pourra alors, sans commettre de bien grandes erreurs, considérer les méridiens comme des droites parallèles, et transporter une direction d'un pointa un autre par le même procédé que si l'on opérait sar un plan. On pourra, par exemple, prendre un point de la ligne équinoxiale pour centre de réduction , et mener, par ce point, des droites formant avec le méridien du lieu

les mêmes angles que chacun des petits arcs observés avec les méridiens respectifs de leurs points milieu, puis prendre la moyenne des directions ainsi transportées en un même point, comme on le ferait sur un plan. Or, la zone torride où la terre, abstraction faite de Taplatissement dont nous ne tenons aucun compte, est courbe comme partout ailleurs, ne présente ici d*autre avantage que le parallélisme presque exact des méridiens, parallélisme qui dispense de considérer la différence des angles alternes internes que fait avec deux méridiens différents un arc du grand cercle qui les coupe. Mais la courbure de la terre est ici, comme partout ailleurs, la source d'une petite erreur, mesurée dans la comparaison de deux points, par V excès sphérique de la somme des trois angles d'un triangle rectangle, dont Thypothénuse est Tare qui joint les deux points , et dont Tun des côtés de Tangle droit est la prolongation du petit arc observé.

On pourrait aussi imaginer que le réseau des points d'observation, après avoir été enlevé de la surface de la sphère terrestre, fût appliqué sans déformation sur la région polaire , de manière que son point central coïncid&t avec le pôle qui deviendrait le centre de réduction. Chaque petit arc observé

sur la surrace de la sphère serait transporté au pâle de manière à y faire encore le même angle avec le méridien de son point milieu ; puis on prendrait la moyenne des directions de tous ces petits arcs transportés au pôle. Ce serait opérer comme si Ton avait substitué à la surface sphérique de la terre un plan qui lui serait tangent au pôle même. Les méridiens seraient censés développés sur des droites passant par le pôle, et les parallèles deviendraient des cercles ayant le pôle pour centre commun. Pour les points très voisins du pôle, cette substitution n'en traînerait que des erreurs insensibles; mais, à mesure qu'on s^éloignerait du pôle , Tinexactitude serait de plus en plus grande. Dans le transport de tous les petits arcs observés au pôle, exécuté ainsi, comme si Ton opérait sur un plan, il y aurait réellement un petit défaut de parallélisme entre Tare transporté et celai qui aurait servi de point de départ, el ce défaut de parallélisme aurait toujours pour mesure Vexcès sphérique du triangle rectangle dont Parc de jonction du point d'observation au centre de réduction est Thypoihénuse, et dont le petit arc observé, prolongé autant qu'il est nécessaire ^ forme un des côtés de Tangle droit.

Dans tout I^espace intermédiaire entre la

région équatoriale et la région polaire , les méridiens et les parallèles, qui servent de coordonnées pour déterminer les positions des points sur la surface du globe, cessent de pouvoir se construire sans erreur sensible sur des coordonnées rectangulaires ou sur des coordonnées polaires tracées sur un plan ; ils ont, en quelque sorte, une manière d'ôire intermédiaire entre celle des coordonnées rectangulaires et celle des coordonnées polaires. Projetés de telle manière qu'on voudra sur un plan qui serait tangent à la sphère terrestre vers le milieu de Thémisphère boréal, les méridiens seront toujours représentés par les lignes convergentes. On doit avant tout tenir compte de cette convergence, et on y parvient au moyen de la résolution d'un triangle sphérique, ou par remploi plus expéditif du tableau donne ci-dessus; on fait ainsi l'équivalent exact de l'opération que je viens d'indiquer pour les régions polaires et équaioriales. Mais tenir compte de cette disposition des coordonnées n'est pas encore tenir un compte complet de la courbure de la surface, et l'erreur commise a toujours pour mesure, dans ce cas comme dans les précédents , Vexcès sphérique de ce même triangle rectangle dont j'ai indiqué les éléments.

La rc^gion polaire et la N^ion ëqnatoriale, ainsi que nous venons de le dire , n*ont Ici d'autre avantage que la simplicité de la disposition des méridiens et des parallèles, qui sont les coordonnées au moyen desquelles les positions des points sont déterminées sur la surface de la sphère, et qui peuvent, sans erreur notable , être construites sur des coordonnées planes, savoir: pour la région éqiiatoriale, sur des coordonnées rectangulaires, et pour la région polaire, lur des coordonnées polaires.

Les dispositions particulières que présentent ainsi les coordonnées sphériques dans les diverses régions de la sphère, correspondent à celles qu'y présente la spirale loxodromique. On sait que Parc de loxodromie qui coupe Péquaieur se ronfond avec un arc d'hélice tracé sur le cylindre qui enveloppe la terre suivant son équateur, arc dont le développement est une ligne droite, et que la partie de la loxodromie qui se trouve i une très petite distance du pôle, ne diffère pas d'une manière appréciable d'une spirale logarithmique ; l'hélice et la spirale logarithmique sont des simplifications que la loxodromie éprouve en deux points particuliers de son cours sans que ses propriétés en soieni altérées. De même les simplifica-

trois angles du triatigie reetanglc formé i>ar Tare de jonction des deui localités, par le petit arc prolongé et par la perpendiculait'e abaissée de Tautre localité sur son prolongement.

Vexcès gphériqt$e de la somme des trois angles de certains triangles sphériquesdonne si souvent la mesure des erreurs qui se glissent presque inaperçues dans la comparaison des positions de différents arcs de grands cercles tracés sur une sphère, qu'il est naturel de chercher à se rendre compte, par la considération même de Veascèt sphérique^ de la grandeur que peuvent atteindre, dans tels ou tell cas, les erreurs dont il s'agit.

Veœcès sphérique se trouve introduit dans les calculs géologiques par des motifk analogues à ceui qui le font prendre en conaldération dans les calculs géodésiques. On ae sert de Vexcès sphérique en géodésie pour ramener le calcul d'un triangle sphérique à celui d'un triangle plan ; on s'en sert en géologie pour corriger Terreur que Ton conai«met en supposant que la surface de la terre se confond avec un plan qui lui serait tangent dans le milieu de la contrée dont on a*occupe.

Bien n^est si fréquent que de raisonner •t d'opérer eomme si la surface de la terre

se eoBfondaii avec ion plan tangent. On y

etieoodiiit par Papparence de platitude que cetta surface présente à nos regards , et par rhabitude de la voir représentée sur des cartes géographiques qui sont des feuilles de papier planes.

Pour nous bien rendre compte des erreurs qui peuvent résulter de cette substitution du plan tangent à la surface spbérique , loalysons d'abord une opération très simple.

Lorsqu*on veut planter une longue et lirge avenue, telle par exemple que celle du ChampS'Élysée$ à Paris , on commence par en fixer la ligne médiane avec des jalons alignés; puis aux deux exirémités de cette ligne médiane, on lui élève de part et d*aotre des perpendiculaires d'une longueur égale à la moitié de la largeur de I avenue, et on fixe ainsi les deux extrémités des deux files d'arbres qui doivent la composer; enfin oo aligne tous les arbres de chaque file d*après ses points extrêmes.

Si Topération est exécutée avec une rigueur mathématique, chacune des deux files d*arbres est un arc de grand cercle et ces deux arcs font partie d'un fuseau dont le milieu de la ligne médiane est le centre. IlsD'outde rigoureusement parailèlesque les dtax élénenU situés au milieu de leur Ion-

gueur. Prolongés l*aii et Tautre k chacune de leurs eitrémités par une suite de jalons, ils iraient se rencontrer aux deux extrëooités opposées d'un même diamètre de la sphère terrestre; prolongés par leurs 'tangentes extrêmes, ils se rencontreraient aussi à des distances qui , sans doute , seraient très grandes , mais qui ne seraient pas infinies.

On pourrait se proposer de mener par Textrémité de Tun de ces arcs une ligne exactement parallèle à rextrémité correspondante de Tautre arc , et de déterminer quel angle ferait cette ligne avec Textrémitë du premier arc. On aurait ainsi la mesure du plus grand défaut de parallélisme qui existe dans la figure.

Cette détermination peut se faire de deux manières : par les formules ordinaires de la trigonométrie sphérique , ou par cette considération que Tangle cherché est égal à Vexcès sphérique de la somme des trois angles d'un triangle sphérique rectangle, où les côtés de l'angle droit sont un des côtés de Tavenue , et la perpendiculaire abaissée sur ce côté légèrement prolongé de Textrémité du côté opposé.

^ Prenons un exemple , et le calcul même éclaircira cette double proposition.

Supposons que Tavenue dont il 8*agit ait

1,000 mètres de longueur et 30 mètre* de largeur. La diagonale de cette avenue Tormera, avec Tun des côtés et avec la perpendiculaire abaissée sur celui-ci de Teitrémité de Tautre côté, un triangle sphérique rectangle où les deui côtés h et c de Tangle droit seront : 1" d, Tun des côtés de Pavenue , dont la longueur est de 1,000 mètres/ prolongé d*une quantité négligeable; 2'^ c, la perpendiculaire abaissée de Teitrémite' du second côté de Tavenue sur le premier l^èrement prolongé, perpendiculaire dont la longueur ne différera pas sensiblement de 50 mètres.

Pour déterminer en degrés, minutes et secondes les valeurs de 6 et c, on aura h

c = l?!!ii = r ,620.

Les deux angles aigus B et C de ce trian • gle doivent se déterminer par les formules :

tang 6 . „ tang c tang B =r -^ , tang C = -r--- ; sm c 8in à

mail, dans le cas actuel, les valeors de B el de C, qu*il 8*agU de tirer de ces formuleSf forment une somme si peu différente d*uD angle droit, que la différence ne peut être calculée avec les tables de logarithmes ordinaires , ce qui montre que Veaxès spAefique du triangle dont nous nous occupons est à peu près inappréciable.

En effet, en recourant au second mode de calcul , on trouve , diaprés la formule de Legendre (1), pour Veoocès tphériqu^ du triangle que nous considérons :

R6c sin A t = = 0",00012733 ,

c*est«à-dire environ 13 cent-millièmes de seconde seiagésimale , quantité absolument imperceptible ; ce qui montre que les deux côtés de revenue , dont nous avoni parlé , doivent paraître bien réellement deux lignes droites parallèles.

Mais Tapplication des mêmes formules prouve qu'il n'en serait plus ainsi d'une avenue mille fois plus grande; or, les rapprochements auxquels on se livre de prime abord lorsqu'on veut comparer entre eux , sous le rapport de leur parallélisme, les ac-

(i) L«g«ndr«, OéomMté: Trifonométri* , tc« cdittoa. page 4aS.

eidtou topflf raphiques d*une vaste contrée, M8 chaloes de montagnes, ses c^tes» ses rivières, reviennent à peu près à concevoir uoe avenue très longue et d'une largeur plus ou moins grande, tracée à travers cette cootrée, et à esamioer si les accidents topogrspbiques que l*on compare pourraient eo border les côtés.

Concevons une pareille avenue de dimeniioos mille fois plus grandes que celle dont nous venons de nous occuper , c*est-à*dire «Tant 1000 kilomètres de longueur et 50 kilomètres de largeur.

Eo raisonnant sur cette avenue exactement comme sur la précédente , nous au* rons à résoudre par les formules :

^ tang b ^ tang o

tang B = -^, et Ung G =—-?-.; sm c sin &

un triangle spbérique rectangle, dans lequel les deux cdiés de Tangle droit seront :

on trouvera :

la somme de ces deux angles surpasse 90* de 2' 10", 58, qui représentent Vexcès sphérij^tts du triangle rectangle dont il s*agit.

Calculé par la formule de Legendre, Vexcès sphérique du même triangle est de 127'' 33 ou de 2' 7'', 33. La différence de 3'% qui existe entre cette solution et la précédente tient à ce que la formule approiimatiyBf qui donne l'excès sphérique, n'est déjà plus parfaitement exacte pour un triangle de 1000 kilomètres de cdté.

Maintenant, si de l'extrémité de Tun des cdtés de notre grande avenue idéale on abaisse une perpendiculaire sur le second cdté prolongé d'une petite quantité , puis que par TextrlSmité du premier côté on mène une perpendiculaire à cette perpendiculaire, celle-ci sera rigoureusement parallèle à l'extrémité du second côté , et elle fera avec le premier côté un angle égal à Vexcès sphérique que nous venons de calculer, c'est-à-dire de 2' 10'', 58.

Telle est l'erreur la plus grande que comporte , par suite de la sphéricité de la terre, la construction idéale à laquelle nous avons fait allusion en imaginant la vaste avenue dont nous venons de parler; mais il est à remarquer que Vexcès sphérique des trois angles d'un triangle étant proportionnel à sa surface, la même construction répétée pour une avenue de 100 kilomètres de largeur comporterait une erreur de 4

21% 16; pour 200 iLiloniètres de largeur, Terreur serait de 8' 42'% 32; et pour 1,000 kilomètres de largeur de 43' 31", 6. Elle n'atteindrait un degré qu'autant que Tave- Doe de 1,000 kilomètres de longueur aurait une largeur de 1,378 kilomètres, c'està-dire plus grande que sa longueur.

La diagonale du quadrilatère sphërique orthogonal , dont le côté est de 1,000 kilomètres, est elle-même d'environ 1 ,000"* v/ 2 = 1,414 kilomètres, qui font environ 350 lieues. Or, il est aisé de voir que l'erreur commise sur le parallélisme de deui lignes panant par deux points donnés de la surface terrestre sera la plus grande possible, li ces lignes font, avec la ligne de jonction des deux points, des angles d'environ 45"; car l'erreur est nulle, si les lignes comparées sont perpendiculaires à la ligne de jooction des deux points. Elle redevient Dalle si les deux lignes coïncident avec la ligne de jonction des deux points. L'erreur maximum correspond évidemment à la position moyenne entre ces deux extrêmes, ainsi qu'on peut d'ailleurs le démontrer par la formule même de Legendre.

De là , on peut conclure que tant que deux points ne sont pas éloignés de plus de 1,400 kilomètres ou 350 lieues, Terreur

qa*on peut commettre sut le parallélisme de deui lignes qui y passent, eo faisant abstraction de la courbure de la terre, ne va jamais à 44'.

Embrassons un espace un peu plus grand encore : concevons que par un point de la surface de la terre on mène deui grands cercles perpendiculaires entre eui qui pourront être, par exemple , une méridienne et fa perpendiculaire, mais qui pourront avoir aussi une tout autre orientation. A partir du point où les deui grands cercles se coupent è angle droit, mesurons sur chacun d*eui une distance égale à 7* 7 du méridien, et par les quatre points ainsi déterminés , élevons des perpendiculaires sur les deux grands cercles. Par cette construction, qui est analogue à celle sur laquelle repose la prttjeciion de Casaini, nous formerons un quadrilatère sphérique orthogonal dont lea quatre côtés seront égaux, et dont les quatre angles seront de même égaux entre eux , quadrilatère qui se rapprochera d*un carrré autant que peut le faire une figure tracée for une sphère. Ce quadrilatère serait même un carré exact s'il était infiniment petit, mais il aura un diamètre égal à 15* du méridien , et wb quatre angles égaux entre surpasseront chacun 90* d'une quan-

(lié qui, répétée quatre foisy formera ce qu'on pourra appeler Vexcès sphérique de la figure entière*

Maintenant les quatre côtés du quadrilatère sont rigoureusement parallèles deux à deux dans leurs points milieu ; mais k leurs citrémités ils ne sont plus parallèles , bien que les diagonales fassent avec eux des angles égaux; ils s*écartent du parallélisme d'une quantité égale à la moitié de Vexcès sphériquê de la figure totale, c'est-i-dire au double de Teicès de chacun des quatre angles sur 90". 11 est aisé de voir que cette quantité est égale à quatre fois Veœcès sphéfigiied'un triangle sphérique rectangle dont l'un des côtés de l'angle droit est de ?<> j , et dont l'un des angles aigus est de 45®. Le second angle aigu C de ce triangle se calcule psr la formule cos C = cos c sin B , qui donne cos C = cos T» 30' sin 45", et C «=

45* 29' i 7". Cet angle eicède 45" de 29* 1 V\ et en quadruplant cette quantité , ce qui donne i** 57' 8", on a celle dont les extrémités correspondantes des côtés de notre quadrilatère s'écartent du parallélisme.

Or notre quadrilatère a une largeur égale k 15** du méridien , c'est-à dire à environ 1,667 kilomètres , ou un peu plus de 400 lieues. Il pourrait embrasser la France avec

la plus grande partie des Iles Britanniques» de l'Allemagne et de Fltalie septentrionale. Les deux points situés aux deux extrémités d*une de ses diagonales, sont éloignés de plus de 2,350 kilomètres ou de près de 600 lieues, et cependant Terreur la plus grande qu*on puisse commettre, en comparant des lignes situées aux deux extrémités de cette diagonale de la manière la plus défavorable, ne s'élève pas à 2"*. Ce résultat est conforme au précédent, auquel nous étions parvenu par une voie un peu différente ; car, pour des distances bien éloignées encore d*ètre égales au quart du méridien , les excès sphériques de triangles semblables auxquels elles servent de base sont à peu près proportionnels à leurs carrés ; or on a ( 1,414 )2 : 43' 31",6 : : ( 2,3S0 )» : a; = 2''0'13", proportion dont le quatrième terme ne diffère de 1" 57' 8" que de 3' 5'', et cette différence vient , en partie , de ce que je n'ai calculé que d'une manière approximative les diagonales dont j'ai comparé les carrés. La diagonale de 2,350 kilomètres est à peu près égale à la distance de Lisbonne a la pointe nord de l'Ecosse , ou de Naples à Christiania. On peut conclure de là que lorsque l'on comparera entre elles des directions observées dans l'Europe oeciden-

taie moyenne, en négligeant \*tf(ti de la courbure de la terre, mais en tenant compte de la convergence des méridiens vers le pôle, on ne commettra que rarement une erreur de 2*. Lorsqu'on procède par la méthode graphique, sur la projection stéréograpbique, on tient compte non seulement de la convergence des méridiens vers le pôle, mais aussi de la correction relative à Teicès sphérique. De là il résulte qu'il faudrait être très maladroit pour pour commettre QDe erreur de 2** dans l'application de cette méthode à la comparaison de directions oblervées dans deux points de l'Europe cecidcDtale.

Il y aurait cependant un cas où, dans Tem-* ploi de la méthode trigonométrique, les erreurs pourraient devenir plus considérables ; ce serait celui où Ton procéderait de manière à en accumuler plusieurs : ce qui arriverait par eiemple si , au lieu de comparer directement un point à un autre , on le comparait par l'intermédiaire d'un troisième, ainsi qu'on peut le faire impunément lorsqu'on opère sur un plan. En effet, on ajoute alors à Terreur qui résulterait de la distance des deux points comparés, une quantité égale à l'excès sphérique des trois angles du triangle formé par les deux points comparés et

par le poiat intermédiaire» quantité qai peut être additive aussi bien que sous-

tractiye.

Ceci s'éclaircira par quelques exemples.

Il s'agit, par exemple, de savoir quelle devrait être Torientation d'une ligne passant à Bayreuth pour qu'elle fût parallèle à une ligne passant au Binger-Loch , sur le Rhin , au-dessous de Bingen , et dont TorienUtioa

est donnée.

Pour y parvenir d'une manière approximative , en faisant abstraction de la courbure de la terre , on joint le Binger>Loch à Bayreuth par un arc de grand cercle, et on détermine la différence des angles alternes internes formés par cet arc avec les méridiens du Binger-Loch et de Bayreuth. La différence est de 2'' S2' 25" ; de manière que si une ligne se dirige au Binger-Loch , à l'E. 32" K., celle qui, à Bayreuth, fera le même angle avec l'arc de jonction , et qui sera réputée parallèle à la première , se dirigera à l'E. 2907' 35" N.

Mais si l'on commence par mener une parallèle à la ligne donnée au Binger-Loch » par la cime de Brocken , point le plus élevé du Hartz, puis que par Bayreuth on mène une parallèle à celle menée par le Brocken, on trouvera que du Binger-Loch au Brocken

la différence des angles alternes inlernee formés par la ligne de jonction des deuK points avec leurs méridiens respectifs est de 2» 9' 2". Da Brocken k Bayreuth , la différence est de 46' 2". D*après les positions de ces divers points , les différences doivent s'ajouter, ce qui donne 2* 55' 4", au lieu de 2* 52' 25^' pour la différence d'orientation que devraient présenter deui directlona parallèles entre elles, Tune au Binger-Loch, rentre à Ba jreuth. La différence est de 2' 30". Il est aisé de voir que cette dilTérenea doit être exactement égale à Texoès sphé-* riqne du triangle Binger-Loch -* Brocken — Bayreuth; et tout en me bornant à la calculer par des moyens eipéditifs, je lui ai trouvé une valeur bien peu différente d« celle-là. En effet, les longueurs des trois c6tés de ce triangle ( mesurées simplement lor la carte ) sont de 289 kilomètres ( 72 lieaes), de 272 kilomètres (68 lieues), et de 219 kilomètres (54 lieues), et l'angle compris entre les deux premiers est de 45° 45'. De là il résulte , d'après la formule de Le« gendre , que l'excès sphérique du triangle ett de 2' 23" : cela fait 16" seulement de moins que nous n'avions trouvé il y a un iaslant; et il est à remarquer qu^outre les Mgères inexactitudes qa*eotratne néoessai*

rement l'emploi du tableau de la page 44, Je me suis borné à calculer Vexcès sphéiqtte d'après des mesures grossières. Une petite partie de cette différence peut aussi résulter de ce que le triangle Binger-Loch — Brocken — Bayreuth est beaucoup plus grand que les triangles de 8 à 10 lieues de cùvé générale* ment employés dans les réseaux géodésiques , et auxquels la formule est particulier» rement adaptée.

Dans Texemple donné par Legendre , les deux côtés du triangle employés dans le calcul ont seulement , Tun 38,829 mètres ( 9 lieues), et Tautre 33,260 mètres (8 lieues), et Pexcès sphérique est seulement de 9",48 décimales, qui correspondent à 3",07 sexagésimales ; cette quantité est complètement négligeable dans une opération géologique : ainsi quand on compare des points situés seulement i 8 ou 10 lieues les uns des autres, il n'y a absolument aucun motif pour tenir compte de la courbure de la terre , et, par conséquent, il est indifférent de comparer les points entre eux directement ou par l'intermédiaire les uns des autres. Quoique Veœcès sphérique de la somme des trois angles d'un triangle soit proportionnel à sa surface , elle n'est encore que bien peu considérable et bien peu importante au point

de tae géologique, dans le triangle Blnger- Loch— Brocfeen— Bajreutb , puisqu'elle se réduit a 2' 23''; d'où il résulte que, même en opérant sur cette échelle, on peut encore comparer les points entre eux dans un ordre quelconque , sans craindre d'accumuler des erreurs appréciables en géologie. Mais il n'en serait plus de même s'il s'agissait de comparer des points éloignés de 12 à 1,600 kilomètres (300 à 400 lieues).

Considérons, par eierople, le triangle éont les trois sommets seraient Keswick en Comberland, Prague en Bohême, et Ajaccio en Corse.

On trouve que, de Keswick à Prague , la différence des angles alternes internes que forme la ligne de jonction des deux points avec leurs méridiens respectifs, calculée rigoureusement, est de 1 3" 4 r 42", Undis que de Keswick à Ajaccio cette différence est de 8'44'22", et,d'Ajaccioà Prague,dc 4o T 40". Ces deux dernières difTérences réunies ne donneraient que 12" 52' 2" ; la différence trouvée directement est de 1 3» 41 ' 42'% c'està-dire plus grande de 49' 40".

Cette différence répond à l'excès spbérique

du triangle Keswick-Ajaccio-Prague. En ef*

fet, le côté Keswîck-Prague a environ 1,259

kilomètres (415 lieues), et le côté Kesvick-

Ajaecio a approiiinativemeiiti,63û kilomètres (407 lieues) ; Tangle compris entre ces deux côtés est d'enviroa SS^'âO'. Ces donnéea approximatives, introduites dans la formule de Legendre, donnent, pour Texcès sphériqua du triangle, 53' 55", c'est-à-dire 4' 15" 4« plus que nous n'avions trouvé directement, différence qui provient sans doute en partie de rimperfection des mesures prises simple^ ment sur la carte et nécessairement aussi de ce que la formule de Texcès sphérique n'est plus complètement exacte pour un aus^igrand triangle.

On voit qu'en passant par Ajaccio, pour eomparer Keswick à Prague, on joindrait une erreur de plus de trois quarts de degré à celle qui résulterait déjà de la distance de Keswick à Prague; mais, ce qu'il importe de remarquer, c'est que l'erreur est ici soustractive, tandis que, dans le cas du triangle Binger- Loch-Brocken-Bayreuth, l'erreur était additive. Il est facile de se rendre compte de eette circonstance, d'après les positions respectives des points comparés entre eux, el cela permet de concevoir que, lorsqu'on a à opérer un certain nombre de comparaisons de ce genre et à en prendre le résultat moyen, il peut se faire que les erreurs résultant de la courbure de la terre soient en sens inverse les unes des autres et arrivent à se détruire

tn partie on même compléiement. C*6it ce qui irrive de soi-même, lonque le point dMHsi pour centre de r^tuctUm est i peu près tentrsl par rapport au réseau formé par tous lai points d'observation. Dans ce cas, au lieu d*iToir à craindre dans le résultat une errtor moyenne, par exemple d^un degré, résaltant de TelTet négligé de la courbure de la terre, on peut compter que Terreur de la moyenne se réduit k quelques minutes, et rentre par conséquent dans les limites que ne peutdépasser la précision des obserYationi de direction.

Cette circonstance permet, comme nous le Terrons bientôt, de prendre, par un procédé très simple et très expéditif, et cependant suffisamment exact, la moyenne d'un grand nombre d'observations de directions faites dans des contrées assez distantes les unes des lutres, par exemple, dans presque tonte retendue de TEurope occidentale.

Au surplus, comme je Tai déjà dit. Terreur commise relativement à chaque points par TefTet de la courbure de la terre, a pour mesure Veaxès sphérique d*un triangle rectangle qui a pour hypothénuse la distance de ce point au cmtre de rédttctkm , et dont Tan des angles aigus est celui formé au pointque Ton considère par la direction qu'on y a observée et par la ligne de jonction avec

le Centre de réd»etion. On peut caleoler tous ces excès sphériques et voir de combien \m gomme de ceux qui sont additifs surpasse la somme de ceux qui sont soustractirs , puis tenir compte de la difTérence dans le calcul de la direction moyenne rapportée au centre de réduction. On verra aisément que, pour arriver au résultat avec toute Tapproxima-tion qu*on peut désirer, il sufGt de calculer les excès sphériques de ceux des triangles rectangles indiqués, dont l'aire est la plus grande, et qu'on distingue aisément sur la carte. «

En réduisant ces calculs au degré d*approximation strictement nécessaire, on peut les simplifier considérablement et les exécuter d*une manière très expédittve.

La formule donnée par Legendre (1) pour calculer Texcès sphérique c des trois angles d*un triangle dont deux côtés, 6etc, forment entre eux un angle A, se réduit, lorsqu'on veut obtenir la valeur de c en secondes sexagésimales , à

&. c. sin A. 1 ,296,000. n

4 (20,000,000)' h. c. sin A. 81. <ir ~" 100,000,000,000 '

*" (t) Lecpndre . GiométrU et Triff»MowiUrie , 10* édition , page 4>(>.

Si le triangle sphérique auquel on doit appliquer cette formule est rectangle, que b soit son hypothénuse , c l'un des côtés de Tangle droit, et A Pangle aigu compris entra ce côté et Thypothénuse , on aura :

. Ung c

eosK = ;

tang b

et pourvu que b soit de beaucoup inférieur à 90^, qu'il ne dépasse pas, par exemple, 15 i 20<', on pourra, sans erreur considérable, remplacer le rapport des tangentes par celui des arcs, et admettre que Ton a approximatJTement: *

001 A sa r- , c B3 & COf A.

Ed substituant cette valeur de c dans celle dec,en ayant égard à la relation sin 2 A=2 sm A cos A, et, en supposant que 5 est exprimé, non plus en mètres, mais en kilomètres, on réduit Texpression de c i la forme

6». sin 2 A. 81.ir

Cette formule donnera approximativement Yexcès sphérique relatif à Pun des points d'obserTation, en y substituant, à la place de 6, la distance de ce |[K>int au centre de réduc-

tion, eiprimëe en kilomètres, et pour A, Tangle formé eo ce point par la direction qu'on y a observée et par la ligne menée au centn de réduction. On peut se contenter de mesurer cette distance et cet angle sur la carte. Le calcul est ensuite facile à eiécuter ; mais on peut encore, dans une foule de cas, se dispenser de le faire, en en prenant à vue le résultat approximatif dans le Cableau suivant dont la construction et Tusage s'expliquent d'eux-mêmes, et qui rendra, pour ce second objet, des services analogues à ceux que peut rendre le tableau de la page 44. Il a suffi d'y insérer les valeurs de A comprises entre 0 et 45°, attendu qu'à partir de AsséS^, qui donne 2 A=90», les valeurs de sin 2 A rentrent dans celles qui se rapportent à des valeurs de A moindres que 45<>.

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11 est aisé de constater le degré d'approximation des valeurs de s que renferme ce tableau. A et C étant les deux angles aigus du triangle rectangle, Vexcès sphérique de ses trois angles sera « = A -f G — 90*». A étant mesuré sur la carte de même que le côté &, on déterminera C par la formule cot C=cosb tang A ; ici & doit être exprimé, non plus en kilomètres, mais en degrés, minutes et secondes. Si k est sa mesure en kilomètres pris sur la carte, on aura :