III. - THÉORIE MATHÉMATIQUE DE L’ÉLASTICITÉ

Mémoire sur la théorie des plaques élastiques planes.

Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Resal, juillet, août et septembre 1877. Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences des 26 mars, 3o avril,

Afin d’arriver à appliquer les équations générales de la théorie mathématique de l’élasticité au problème des plaques minces, sur la solution duquel Kirchhoff et Poisson se trouvent en désaccord, et dont Cauchy n’a traité qu’un cas particulier, apercevant là une difficulté à laquelle il n’a pas jugé à propos de s’arrêter (*), nous n’en avons pas fait dès l’abord un problème de simple approximation.

Nous avons commencé, et c’est par là que notre travail se sépare de ceux qui l’ont précédé, par traiter un problème rigoureux que nous allons définir.

Pour l’étude rigoureuse du problème de l’équilibre ou du mouvement d’une plaque, il faudrait, comme conditions à la surface, exprimer que les forces élastiques doivent être : i° nulles sur les deux bases; 2 0 égales et opposées a des pressions données en chaque point de sa surface latérale.

Mais les géomètres qui ont traité de la question (et sur ce point ils se sont tous trouvés d’accord, depuis Navier jusqu’à Kirchhoff), profitant de la faible épaisseur de la plaque, ont conduit leurs calculs d’approximation de façon à conserver, dans leurs équations finales, non

(1 ) Cela résulte d’un passage de son Mémoire où, parlant d'une équation de Poisson, il dit qu’elle lui semble donner lieu « à quelques difficultés ». C’est sans doute ce qui l’a déter-

(Voir Exercices d’Analyse, 1828, t. III, p. 346.)

pas les pressions individuelles appliquées en chacun des points du cylindre de pourtour, mais seulement la résultante de translation et le couple résultant de celles de ces pressions appliquées le long de chaque petite génératrice rectiligne de ce cylindre, ces pressions étant supposées composées comme si elles agissaient le long de lignes rigides.

Celte remarque nous a conduit à poser d’abord cette question :

On a un cylindre droit élastique de hauteur finie quelconque sur les bases et la masse entière duquel n’agissent pas de forces; sur sa surface latérale, on exerce des pressions qu’on ne définit que partiellement, en se donnant la résultante de translation et le couple résultant de celles d’entre elles qui agissent le long de chaque génératrice du cylindre, et l’on propose de mettre à profit l’indétermination qui subsiste dans le mode de répartition de ces pressions, pour obtenir une solution rigoureuse dm problème de l’équilibre élastique du cylindre.

On voit de suite que, si l’on réussit à trouver une telle solution, on en déduira, sans aucune incertitude, une solution approchée pour les plaques minces; il suffira d’introduire, dans les formules obtenues, la circonstance que la hauteur du cylindre, supposée d’abord finie, devient très petite, et à la traiter comme si elle était infiniment petite.

La différence entre cette méthode et celle suivie jusqu’ici consiste donc en ce que nous ne mettons à profit la faible épaisseur de la plaque que dans les formules finales; nous n'en tenons pas compte pendant l’intégration, mais seulement quand cette opération est terminée; tandis que les géomètres qui nous ont précédé ont, dès le début, introduit celte circonstance dans les équations différentielles partielles même qu’il s’agissait d’intégrer, ainsi que dans les diverses conditions à la surface, soit sur les bases, soit sur le pourtour du cylindre. Or, c’est de là que naissent des points délicats que nous avons, dans la première partie de notre Mémoire, cherché à préciser pour en tirer l’explication de la divergence qui existe entre la solution de Poisson et celle de Kirchhoff.

Parmi les solutions qu’il parait possible d’obtenir, il est naturel de chercher d’abord s’il en existe une qui soit algébrique, entière et d’un degré n plus ou moins élevé, mais fini, par rapport à la coordonnées parallèle à lahauteur du cylindre que nous considérons. Par conséquent, le problème se pose ainsi :

Est-il possible de répartir, le long de chaque génératrice de la surface latérale d’un cylindre de hauteur finie, un système de pressions dont la résultante de translation et le couple résultant sont seuls donnés, de façon que toute ligne matérielle prise à l’intérieur du cylindre et primitivement parallèle à ses génératrices se transforme rigoureusement, par suite du déplacement élastique, en une courbe parabolique d'un degré entier n quelconque, mais fini?

Pour résoudre ce problème, nous commençons par développer les trois fonctions inconnues (composantes u, v, w du déplacement élastique d’un point) qui entrent dans les équations générales de la théorie mathématique de l’élasticité en sériés suivant les puissances ascendantes de la coordonnée z, et nous donnons la loi de formation du terme général de la série : i° pour chacune de ces inconnues; 2° pour les six composantes des pressions.

Ce développemerrt'donne lieu à une première remarque intéressante au point de vue du Calcul intégral et importante au point de vue du problème des plaques.

Comme le développement porte sur trois fonctions satisfaisant à trois équations différentielles partielles du second ordre, il semble qu’il devra y entrer six fonctions arbitraires des deux autres coordonnées x et y, et seulement six.

Il se trouve qu’outre ces six fonctions il s’en introduit encore une septième, qui n’est pas entièrement arbitraire, mais qui est liée aux autres par une équation à dérivées partielles du second ordre; qui, par suite, comporte elle-même encore de certaines arbitraires.

Au point de vue du Calcul intégral, cela prouve une fois de plus combien il est difticile de prévoir ce qu’il entrera d’arbitraires dans les équations intégrales d’un système d’équations à dérivées partielles d’ordre supérieur au premier, même lorsqu’on cherche une solution de forme aussi particulière que celle dont il s’agit ici (algébrique par rapport à l’une des variables).

Au point de vue du problème des plaques, il se trouve que la septième fonction qui s’introduit de la sorte est l’abaissement vertical (parallèle è l’axe des 2) d’un point quelconque delà section droite du cylindre considéré, équidistante des bases (et prise pour plan des xy). Or cette fonction, dans la manière habituelle de traiter la flexion des

plaques minces, est l’inconnue unique dont on fait dépendre tout le problème.

C’est l’équation qui, d’après notre analyse, relie ainsi rigoureusement cbtte fonction avec les six fonctions arbitraires, et qu’on trouve en termes finis, même quand on a égard, comme nous, aux séries complètes, équation que tous les géomètres qui ont traité de la question devaient, par suite, forcément rencontrer aussi dans leurs calculs approchés, qui explique très nettement comment tous, alors même qu’ils se trouvent en désaccord sur les conditions b la surface, se soient trouvés d’accord sur l’équation à dérivées partielles régissant la fonction inconnue de leur problème.

Après avoir trouvé ainsi les séries complètes qui régissent les déplacements et les forces élastiques, nous avons cherché les conditions nécessaires et suffisantes pour que ces séries se limitent d’elles-mêmes aux termes de puissance égale ou inférieure à un nombre donné n.

Nous trouvons pour cela six conditions entre les six fonctions de x et de y, restées jusqu’ici arbitraires dans notre développement; ces conditions sont des équations à dérivées partielles d’ordre an qu’il faut joindre à l’équation du second ordre dont il est parlé ci-dessus.

Nous exprimons enfin que les pressions sur les deux bases du cylindre sont rigoureusement nulles, ce qui nous donne six nouvelles équalionsà dérivées partielles d’ordre an entre ces mêmes fonctions, de sorte qu’en définitive, pour qu’une ligne primitivement droite, prise à l’intérieur du cylindre, puisse se transformer rigoureusement en une parabole du degré n, il faut et il suffit que certaines fonctions, au nombre de sept, satisfassent simultanément à treize équations à dérivées partielles, dont douze de l’Ordre an et une du second ordre. Nous avons réussi à donner les conditions nécessaires et suffisantes pour que ces équations admettent des solutions communes, et à définir ces solutions communes par un système d’équations n’ayant plus rien de surabondant.

Les résultats que nous obtenons sont ceux-ci : i° le problème est toujours impossible si n > 3, c’est-'a-dire que, en aucun cas et quelles que soient les forces agissant sur la surface latérale du cylindre, une droite ne peut se transformer en une courbe algébrique d’un degré supérieur au troisième; c’est là un résultat très curieux, que rien assurément ne pouvait faire prévoir; 2° sin£3, le problème n’est possible

(ai)

que si, entre la résultante de translation et le moment résultant des pressions agissant le long de chaque génératrice, il existe une certaine relation.

Ainsi, rigoureusement, il est en général impossible de répartir des pressions dont la résultante de translation et le moment résultant sont donnés arbitrairement, non seulement de façon que les lignes matérielles parallèles aux génératrices du pourtour de la plaque restent droites, mais même de façon qu’elles se transforment en des courbes paraboliques d’un degré fini, si élevé qu’on le suppose.

Nous cherchons donc, outre la solution algébrique, une autre solution. En les réunissant, on a des équations qui conviennent rigoureusement à une infinité de cas d’équilibre des corps cylindriques et dont les solutions comportent cinq fonctions arbitraires et permettent de se donner arbitrairement la résultante de translation et le moment résultant des pressions appliquées sur chacune des génératrices du cylindre.

Si l’on suppose maintenant que la hauteur du cylindre devienne infiniment petite, les formules (qui se simplifient notablement) conviendront au problème des plaques.

Après avoir mis ainsi lo problème en équation, en faisant abstraction des forces telles que la pesanteur agissant sur la masse entière de la plaque, pour introduire ces forces sans reprendre des calculs qui deviendraient extrêmement compliqués, nous employons une méthode qui constitue une sorte d'extension de la méthode de la variation des constantes arbitraires; elle pourrait se nommer la méthode de la variation de la forme des fonctions arbitraires. Elle consiste en effet à modifier la forme des diverses fonctions qui entrent dans nos équations de façon telle que, sans cesser de satisfaire aux conditions sur les bases qui ne changent pas, elles puissent satisfaire aux nouvelles équations d’équilibre intérieur résultant de l’introduction des forces agissant sur la masse de la plaque et aux nouvelles conditions sur la surface latérale.

Une fois les forces proportionnelles aux masses introduites, le théorème de d'Alembert fournit les équations du mouvement.

Nous appliquons notre théorie à une étude complète de l’équilibre et du mouvement de la plaque circulaire, soit libre, soit appuyée, soit

encastrée sur son pourtour. Dans le cas de l’équilibre, nos formules permettent de calculer en termes finis la flèche au centre de la plaque appuyée ou encastrée, quelle que soit la répartition des forces extérieures; dans le cas du mouvement, le mouvement vibratoire du centre de la plaque ne dépend que des valeurs moyennes des déplacements et des vitesses sur chacune des circonférences concentriques à la plaque et non des déplacements et vitesses de chaque point en particulier.

Enfin, si l’on suppose tout symétrique autour du centre, nos formules coïncident avec celles de Poisson, qui, dans ce cas particulier, le seul qu’il ait traité, se trouvent satisfaire à toutes les conditions du problème.

Mémoire sur l'application de la théorie mathématique de Vélasticité^ à la recherche des tensions dans les systèmes de barres articulées et sur les

i, à volume égalée matière, offrent la plus grande résistance

suite do notre Ouvrage de Statique graphique, :

Voici comment M. Darboux apprécie ce travail dans le compte rendu qu’il donne de notre Ouvrage de Statique graphique :

« La Note II est particulièrement intéressante; elle constitue un » Mémoire original sur la recherche des tensions dans les systèmes » de barres élastiques et sur les systèmes qui, à volume égal de ma- » tière, offrent la plus grande résistance possible. Les résultats de celte » recherche nous paraissent très élégants. Ils peuvent être résumés » dans les trois propositions suivantes ;

» Pour qu’un système de m barres en équilibre sous l’action de forces » données puisse être constitué en solide d’égale résistance, il faut, en » général, et il suffit toujours que la figure géométrique formée par » les axes de ces barres ne contienne pas de lignes surabondantes.

» Toutes les fois qu’une figure formée de m lignes et contenant

» k lignes surabondantes peut être constituée en solide d’égale résis- » tance, elle le peut d’une infinité de manières.

» lorsqu’un système de barres contenant des lignes surabondantes » satisfait aux conditions nécessaires pour qu’on puisse d’une manière, » et par suite d’une infinité de manières, le constituer en solide d’égale » résistance, il existe nécessairement un système formé par une partie » seulement des barres données, ne contenant pas de lignes surabon- » dantes et tel que, disposé en système d’égale résistance, il dépense » exactement le même volume de matière que le système complet.

» l’auteur termine en appliquant ces résultats aux différents sys- » ternes de poutres; les conclusions qui résultent de ces calculs sont » extrêmement nettes et donnent des indications très précises sur la » valeur des différents systèmes. » (Bulletin des Sciences mathématiques .» et astronomiques, t. VIII, p. .7.)

les conclusions auxquelles M. Darboux fait allusion et que nous formulons à la fin de notre Mémoire, après avoir comparé les poutres les plus récentes construites en Europe et aux États-Unis, sont celles-ci :

« 4° Ainsi, à quelque point de vue qu’on se place, le système à triangles est supérieur au point de vue économique au système Fink et plus encore au système Bollman; d’un autre côté, nous avons vu, dans la théorie générale des systèmes d’égale résistance, qu’il est nécessairement plus économique que les systèmes à croix de Saint- André et à treillis, et il résulte aussi de cette théorie qu’il est plus économique que les systèmes Jones, Linville, Murphy-Whipple, etc., qui tous dérivent des systèmes à treillis ou à croix de Saint-André et contiennent les mêmes lignes surabondantes que ces derniers (seulement en moins grand nombre); nous pouvons donc conclure que la poutre à triangles, et en particulier celle à triangles isoscèles, est, au point de vue où nous nous sommes placé, la meilleure des poutres

» 5“ Il se peut qu’on découvre des systèmes mieux disposés encore; mais on devra, en tous cas, les chercher parmi les figures géométriques ne contenant pas de lignes surabondantes; car, étant donné un système à lignes surabondantes, on peut toujours (théorème V) trouver un système sans lignes surabondantes plus (ou pourlemoinsaussi) économique que lui.

» 6° Si Ton ajoute à cela que les systèmes sans lignes surabondantes sont (théorème I) les seuls dont les tensions puissent être calculées à l’aide des principes de la Statique élémentaire, que, par suite, les calculs sont plus sûrs et plus simples que ceux de la Résistance des matériaux; qu’ils peuvent d’ailleurs être remplacés par les procédés si commodes et si expéditifs de la Statique graphique; si l’on ajoute encore que les systèmes sans lignes surabondantes, par cela seul qu’ils renferment un moins grand nombre de pièces, comportent des pièces plus robustes, plus faciles à assembler, moins sujettes à être affaiblies par l’oxydation ou la pourriture, moins sensibles aux trépidations, moins exposees à etre faussées lors de la pose ou à être affamées par les pièces d’assemblage, on reconnaîtra qu’il y a véritablement intérêt, en cette matière, à se conformer très scrupuleusement aux préceptes de la théorie. Il est peu de questions où elle fournisse des résultats aussi simples, aussi conformes au bon sens, aussi faciles et aussi utiles à mettre en application. > (Maurice Levy, Statique graphique. Note II, p. 322),

Nous avons été heureux de voir que ces conclusions, après avoir reçu l’approbation d’un géomètre aussi éminent que M. Darboux, viennent d'être de tout point confirmées par les observations de deux praticiens des plus distingués, M. l’ingénieur en chef des Ponts et Chaussées Lavoinne, envoyé en mission par le Gouvernement français à l’Exposition de Philadelphie, et M. l’ingénieur Pontzen; ces deux ingénieurs viennent de publier les observations qu’ils ont faites aux États-Unis, à l’occasion de leur séjour à l’Exposition, dans un Ouvrage considérable ; Les chemins de fer en Amérique (Paris, Dunod, 1880). {

Et voici ce que nous lisons dans le Chapitre relatif aux ouvrages d’art, page 254 •

« On peut dire en définitive ... que, à égalité d’effort maxi- » mum, une ferme à articulations dont toutes les pièces seraient exé- » culées et assemblées avec une grande précision, et où l’on aurait, » en outre, pris des dispositions convenables pour maintenir l’uni- » forme répartition des efforts que ce système a pour but de réaliser, » comporte un emploi beaucoup mieux entendu de la matière et pré- » sente plus de chances de durée qu’une ferme à treillis rivé, d’une exé- » cution également parfaite. » [Les chemins defer en Amérique, p. a54.)

Ce sont exactement, tirées de l’observation des faits, les conclusions rapportées plus haut et auxquelles la théorie nous avait conduit dès 1874, avec cette différence toutefois que nos conclusions, par cela seul qu’elles sont fournies par le calcul, sont plus complètes et plus précises, en ce qu’elles indiquent non seulement que les poutres articulées, en général, ont l’avantage sur les.autres, mais aussi, parmi les divers systèmes de poutres articulées, quel est le plus avantageux.

Sur les équations générales de la théorie mathématique de Vélasticité en coordonnées curvilignes.

Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques de M. Dmoux, t. VI, p. 254.

Ce sont les équations de Lamé que nous donnons par une méthode plus simple et qui n’exige que des notions élémentaires sur les coordonnées curvilignes.

Depuis, nos études de Cinématique dans les espaces nous ont conduit h écrire ces équations d’une façon presque immédiate ( voir plus loin, p. 38-39).

Mémoire sur les équations générales des mouvements intérieurs des corps solides ductiles au delà des limites où l’élasticité pourrait les ramener à leur premier état.

(Co Mémoire a été présenté à l’Académie le 20 juin 1870 (p. i3o3); son insertion au Recueil des Suçants étrangers a été votée dans la séance du 10 juillet 1871 (p. 86), sur le Rapport de la Commission déjà chargée de nos précédents travaux.)

, (Voir aussi Journal de M. Liouville, 187., t. XVI, p 3o8 à 3i6, 369 à 37a.)

On connaît les belles expériences de M. Tresca sur les déformations que subissent les corps solides ductiles lorsqu’ils sont soumis à de fortes pressions qui les déforment au delà de leur limite d’élasticité. Ces expériences ont conduit leur auteur à énoncer deux lois fondamentales, à savoir : i° que pendant la déformation la matière ductile conserve en chaque point une densité invariable; 2° que l’action tangentielle maxima qui se développe en chaque point sur les divers éléments plans qui s’y croisent demeure également constante et égale au

coefficient de rupture par cisaillement, particulier à la matière sur laquelle on opère. M. Tresca, en faisant usage de considérations de Cinématique, a représenté par des formules très simples et très remarquables les principaux résultats de ses recherches. M. de Saint-Venant y a appliqué l’Analyse.

Dans une Note présentée à l’Académie le 7 mars 1870, il a traité le cas simple de la déformation des corps ductiles parallèlement à un plan donné.

Mais il fallait aussi mettre le problème en équation dans le cas général d’un corps doué d’un mouvement de déformation quelconque, et spécialement lorsque tout est symétrique autour d’un axe, ce qui est le cas des expériences de M. Tresca. Tel est l’objet du Mémoire dont il s’agit ici.

Voici comment M. de Saint-Venant, rapporteur de la Commission de l’Académie chargée de l’examen de ce travail, rend compte de la solution que nous avons donnée du double problème posé :

« M. Levy a fait avec bonheur ce double et complet établissement » d’équations dans le Mémoire dont nous avons h vous rendre compte.

» Il y avait, pour le cas le plus général, neuf équations à établir; » car il y a six composantes de pression et trois composantes de vi- » tesses inconnues ; il fallait six équations dans le cas de symétrie au-

» La difficulté principale pour le cas général était d’exprimer la » condition d’égalité à une constante K de la résistance au glissement » sur la face où le glissement est le plus fort en chaque point. La » détermination de cette force dépend en effet de la résolution de » l’équation du troisième degré dont les racines donnent les intensités » de ce que Cauchy a appelé les trois pressions principales qui sont nor- » males aux faces sur lesquelles elles agissent. M. Levy a surmonté » cette difficulté et a su se dispenser de résoudre l’équation du troi- » sième degré en question, en faisant un ingénieux usage de l’équa- » tion aux carrés des différences de ses racines. On sait en effet, etc. »

Puis, après avoir exposé les conséquences que nous avons tirées de ces équations, un essai d'intégration par approximation que nous avions alors tenté, le savant académicien rapporteur termine ainsi :

« Quels que soient les résultats à obtenir un jour de ces sortes de

» procédés ou d’expédients tendant à trouver des approximations à dé- » faut d’une exactitude que refuse l’Analyse dans son état actuel, on » peut dire que la branche nouvelle de Mécanique, pour laquelle l’un » de nous a hasardé, sans le préconiser comme le meilleur, le terme

» Mémoire de M. Levy, dans lequel, pour le cas le plus général et » aussi pour le cas important de symétrie semi-polaire, se trouve » posé nettement et complètement en équation son problème, qui ne » l’avait encore été que dans le cas fort restreint du mouvement par » plans parallèles.

» Nous proposons donc à l’Académie d’approuver ce Mémoire et » d’en ordonner l’insertion au Recueil des Savants étrangers.

» L’Académie adopte les conclusions de ce Rapport. »

Remarque. — Dans l’application que nous avions faite de nos équations générales au cas de symétrie, nous n’avions considéré que le cas où la plus grande et la plus petite des pressions principales sont dans le plan méridien. M. de Saint-Venant, sur une observation de M. Phillips et de M. Tresca, a, depuis, fait la remarque très juste qu’il peut se présenter un autre cas que nous n’avions pas examiné et qu’il a étudié dans une Note intitulée Sur un complément à donner à une des équations présentées par SI. Levy pour les mouvements plastiques symétriques autour d'un axe ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 1872, p. ioa3).

Note sur Vintégration des équations différentielles partielles relatives aux mouvemenaintérieurs des corps solides ductiles, lorsque ces mouvements ont lieu par plans parallèles.

Dans une Note sur la Mécanique des corps ductiles, M. de Saint- Venant, faisant allusion à celle dont il s’agit ici, dit: « Je crois devoir » appeler là-dessus toute l’attention et les recherches de M. Tresca, » ainsi que celles de M. Levy, dont la remarquable Note du même

» jour (p. 1098) prouve, pour la seconde fois, qu’il peut faire progres- » ser cette partie de la Mécanique. » ( Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences , 1871, p. 1184.)