V. - THÉORIE ANALYTIQUE ET THÉORIE MÉCANIQUE DE LA CHALEUR

Sur le problème du refroidissement des corps solides , en ayant égard à la chaleur dégagée par la contraction.

Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences du ro juillet 1876.

Ce problème, qui a été mis en équation pour la première fois par Duhamel, comporte quatre fonctions inconnues, savoir :

i° Les composantes u, v, w du déplacement d’un point du corps solide;

. 2 0 Sa température V.

Ces fonctions des coordonnées x,y,z du point considéré et du temps t doivent satisfaire :

( a ) A quatre équations à dérivées partielles simultanées du second ordre en tous les points du corps;

(b) A quatre conditions à la surface (trois relatives aux pressions et une relative à la température);

Pour résoudre ce problème, on est généralement amené :

i° A chercher une solution simple de la forme

a étant une constante dépendant de la densité, de la chaleur spécifique et du coefficient de conductibilité du corps, et X une constante indéterminée, dont on disposera ainsi que des quatre fonctions u k ,

V\ des coordonnées x, y, 2, de façon à satisfaire aux conditions (a) et (A);

2° A faire la somme de toutes les solutions de cette forme, relatives à toutes les valeurs possibles deX;

3° A déterminer les constantes arbitraires qui entrent dans cette somme, de manière à satisfaire h la condition (£);“ ■ f ' - ,v '‘ ,

Quand on suit cette marche pour résoudre le problème du mouvement de la température, considéré à la manière de Fourier, c’està-dire en faisant abstraction des déplacements élastiques qui en résultent, on n’a que la seule inconnue V, et l’on démontre alors cette formule classique

(.) fff W xdydz = O,

où V). et V,, se rapportent à deux valeurs différentes X et ft de la constante X, l’intégration triple étant étendue à tout le volume occupé par le corps. Cette formule permet, dans beaucoup de cas, de résoudre la dernière partie du problème, c’est-à-dire de déterminer les constantes arbitraires par la condition relative à l’instant initial.

Nous démontrons que dans le problème actuel, malgré le mélange des quatre fonctions inconnues, les fonctions Vx et satisfont à l’identité suivante,

qui permettra de déterminer les constantes arbitraires dans le problème complexe dont il s’agit ici, toutes les fois que la formule (i) le permet dans le problème de Fourier.

Sur les deux principes de la Théorie mécanique de la chaleur. Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences du 5 mars 1877.

Applications d'un théorème comprenant les deux principes de la Théorie mécanique de la chaleur.

Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences du 12 mars 1877.

Dans la première de ces Communications, nous démontrons que les deux principes de la Théorie mécanique de la chaleur se trouvent com-

plèlement exprimés l’un et l’autre parce fait géométrique unique: pour un corps quelconque, les lignes adiabatiques et les dignes isothermes sont susceptibles de diviser le plan en parallélogrammes infiniment .petits équivalents (ou, ce qui revient au même, en quadrilatères curvilignes finis équivalents), ...

Par suite, tous les développements des deux principes de la Thermodynamique se présentent comme des conséquences de ce théorème de Géométrie et se réduisent à l’étude, sur le plan, d’un double réseau de lignes, caractérisé par la propriété indiquée.

Notamment, les deux principes étant contenusdans un seul théorème de Géométrie, ils le sont aussi dans une formule unique. Cette formule change de forme suivant la nature des variables qu’on choisit pour définir un point du plan: mais, quelles que soient ces variables, noire théorème permet d’écrire immédiatement la formule correspondante et unique par laquelle il est possible de résumer actuellement la Thermodynamique.

Dans la seconde Communication, nous écrivons celte formule de toutes pièces, avec les variables généralement usitées; nous retrouvons les fonctions caractéristiques de M. Massieu, et nous indiquons à quelle circonstance est due leur existénee.

Nous résolvons enfin cette question, qui, au point de vue physique, est assez importante pour avoir appelé aussi l’attention de M. Phillips : Étant donné un nouveau corps, quels sont, dans l’état actuel de la Science, les éléments strictement nécessaires et suffisants à emprunter à l’observation pour pouvoir l’étudier au point de vue tliermody-

Nous montrons qu’il faut et il suffît de connaître : i" la relation qui lie le volume, la pression et la température (v,p, T); 2 0 la chaleur spécifique sous pression constante, observée sous une seule pression arbitrairement choisie, par exemple sous la pression atmosphérique (ou la chaleur spécifique à volume constant, sous un volume particulier).

M. Phillips, par une voie différente de la nôtre, est arrivé à ce même résultat, qu’il a même énoncé sous une forme un peu plus générale, en disant qu’il faut et il suffit de connaître : i° la relation entre v, p, T : 2° ce qu’on pourrait appeler la chaleur spécifique du corps répondant à une transformation de ce corps opérée suivant une

ligne arbitrairement tracée dans le plan (de même qu’on appelle chaleur spécifique d’une vapeur saturée sèche, la chaleur spécifique répondant à la transformation qui a lieu suivant la ligne particulière pour laquelle la vapeur reste à la fois saturée et sèche).

Sur une loi relative à la dilatation des corps.

Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, 1877, n" semestre, p. 449.

Réponse à diverses Communications relatives à la Note ci-dessus. Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, 1877, p. 488, 554, 647, 676, 826.

Dans la première de ces Communications, en partant de l’hypothèse que l’action mutuelle de deux molécules d’un corps est dirigée suivant la droite qui les joint et fonction de leur distance, nous avons été conduit à celte loi, que, pour tous les corps, le volume spécifique varie linéairement avec la température.

Dans les Communications suivantes, nous répondons à diverses objections qui nous ont été adressées à ce sujet.

Ce qui a provoqué ces objections, c’est que notre première Communication semblait devoir donner a cette loi une valeur rigoureuse, tandis qu’elle ne peut être considérée que comme approchée. Notre démonstration suppose, en effet, que, lorsque l’état'd’un corps se modifie infiniment peu, il y a égalité entre le travail moléculaire dû aux changements qui se produisent dans les positions moyennes de ses différents points et la valeur moyenne du travail dû aux déplacements véritables des molécules, eu égard au mouvement stationnaire qu’on leur attribue pour expliquer le phenomene de la chaleur.

Or, ces deux quantités ne sont pas rigoureusement égales; leur différence est d’autant plus faible que les orbites des mouvements stationnaires sont elles-mêmes plus faibles relativement aux distances moyennes entre les molécules. Or :

î” Dans les corps solides, il est vraisemblable que les excursions des molécules sont extrêmement faibles par rapport à leurs distances mutuelles; que, par suite, la loi est très approchée pour ces corps.

2° Pour les liquides il doit en être de même.

3° Pour les gaz parfaits, la loi est rigoureusement vraie.

Mais restent les gaz imparfaits et les vapeurs, pour lesquels on conçoit qu’elle puisse donner des écarts plus considérables, parce que là les orbites des molécules peuvent avoir des dimensions comparables à leurs distances moyennes.

M. Phillips, dans une de ses importantes Communications auxquelles nous avons fait allusion plus haut, avait déjà fait cette remarque que la loi est vraie pour les corps pour lesquels la chaleur spécifique sous volume constant est constante ou, plus généralement, ne dépend que de la température.

M. Sarrau, dans une Note insérée au Journal de Physique, l’a très ingénieusement rattachée au beau et fécond théorème de M. Yvon Villarceau.