VI. - CINÉMATIQUE

Remarque sur la Cinématique dans les espaces.

Au lieu de placer à la base de la Géométrie, les idées sur la courbure des espaces émises par Riemann, développées analytiquement par Christoffel, Lipschitz, Beltrami, Schlàfli, Sophus Lie, et tout récemment par M. Darboux, dans son beau Mémoire Sur les coordonnées curvilignes publié aux Annales de l'École Normale supérieure, on peut aussi, comme il ressort des travaux de MM. Beltrami et Schlâfli, la fonder sur ce double postulatum moins abstrait, à savoir : i° que notre espace est tel, qu’il est possible d’y déplacer un système invariable, à partir de l'une quelconque de ses positions et dans une direction quelconque; 2° qu’il est infini en tous sens.

C’est dans cet ordre d’idées, qui rattache plus directement les premiers fondements de la Géométrie à la Cinématique et, comme on va le voir aussi, à la Dynamique, que sont conçues les Communications qui suivent.

On peut trouver les premiers germes de ces idées nouvelles dans plusieurs des beaux travaux de M. Bertrand sur l’intégration des problèmes de la Dynamique.

Ainsi, dire avec M. Bertrand qu’un problème de Dynamique à n variables indépendantes admet une intégrale linéaire par rapport aux composantes des vitesses des points mobiles, c’est dire que l’espace dont le carré de l’élément linéaire serait le produit du carré de l’élément de temps par l’expression de la force vive du problème de Dynamique considéré est tel, qu’on y peut déplacer une figure invariable dans une direction particulière.

Sophus Lie a démontré tout récemment (Christiania, TJniversitüts Program, 1879, i CT semestre) que les surfaces dont la ligne géodésique a été trouvée, pour la première fois, par M. Liouville (' ) sont caractérisées géométriquement, parce qu’on peut les transformer point par point de façon qu’à une ligne géodésique corresponde une ligne géodésique (M. Moutard a également trouvé cette propriété, qu’il n’a pas publiée, mais qu’il nous a énoncée dans une conversation particulière il y a quelque temps déjà).

On peut énoncer ce théorème ainsi (et sous cette forme il est probable que, sauf une discussion plus ou moins minutieuse des cas particuliers, il s’appliquera à des espaces d’un nombre quelconque de dimensions et, par suite, à des problèmes de Dynamique à plus de deux variables indépendantes) :

La surface la plus générale pour laquelle le problème de la ligne géodésique considéré comme problème de Mécanique admet, suivant l’expression de M. I. Bertrand, une intégrale algébrique et du second degré par rapport aux composantes de la vitesse du mobile, est celle sur laquelle il est possible de déplacer une figure de forme variable de façon que ses lignes géodésiques restent géodésiques (mais cette fois avec altération dans les longueurs).

Lorsqu’on se place au point de vue purement géométrique, c’est-àd ire lorsqu’on invoque la notion de courbure des espaces, il ressort des

( 1 ) Celles dont le ds 1 est de la forme

travaux mentionnés plus haut que les équations en H, de Lamé, équations qui forment le résumé complet de ses belles leçons sur les coordonnées curvilignes, expriment la nullité de la courbure de l’espace, et on.les retrouve de toutes pièces en partant de cette idée.

Maison doit naturellement les retrouver aussi, par des procédés cinématiques, en exprimant la possibilité de déplacer dans l’espace une figure de forme invariable (‘ ).

Pour cela, il est d’abord nécessaire d’avoir une formule générale qui exprime la dilatation linéaire dans un espace quelconque. C’est l’objet de la première des Communications dont il est rendu compte dans ce qui suit.

Sur la cinématique des figures continues sur les surfaces courbes et, en général, dans les variétés planes ou courbes.

Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences du i" avril 1878.

Cette Communication contient une formule unique résumant la théorie de la vitesse des figures de forme variable ou invariable dans un espace quelconque.

Soient= 1,2,3. n) les n variables qui définissent la position

d’un point de l’espace; soit

d* 2 atjdxi dxj,

où les coefficients aÿ==o ;> - sont des fonctions quelconques des n variables, l’expression du carré de la distance de deux points infiniment voisins d’une figure mobile considérée dans cet espace.

Soient <?æ, les accroissements que prennent ces variables par suite du

déplacement de la figure pendant l’intervalle de temps ât, et appelons X = ~y~ la dilatation que subit l’élément linéaire ds pendant cet intervalle de temps.

Nous trouvons pour X l’expression suivante :

Applications. — i° Si l’on prend un espace euclidien et des coordonnées rectangulaires et rectilignes, on aura

On reconnaît là de suite, pour l’espace à trois dimensions, les trois dilatations et les trois glissements qui jouent un rôle si important dans la théorie mathématique de l’élasticité.

2" Si l’on écrit que X = o, c’est-à-dire que les L y et Lu sont tous nuis, on a immédiatement les valeurs des&e,- qui conviennent au mouvement le plus général possible d’un système invariable, c'est-à-dire toute la théorie classique de la vitesse dans le mouvement de ces systèmes, et par suite, par différentiation, la théorie des accélérations des différents ordres.

3° Si l’on fait k = 3, a v = o, a u = H? = p, on a

h ;. dixi V'’ i dln ,

,T l “=-S7 “ZâÆ 0 **’

On reconnaît là, aux notations près et trouvées d’une façon immé-

diate, les formules données, pour la première fois, par Lamé pour les trois dilatations et les trois glissements exprimés en coordonnées curvilignes et qui conduisent aux équations générales de la théorie mathématique de l’élasticité en coordonnées orthogonales générales.

4° Si l’on écrit de nouveau que les L,-; et L 0 , pris sous cette nouvelle forme, sont nuis, c’est-à-dire que l’espace est tel qu’on y peut déplacer un système invariable, ce qui n’a pas été supposé pour établir ces formules, on a six équations entre les trois fonctions indéterminées $Xj, et, en exprimant que ces six équations admettent une solution commune avec six constantes arbitraires, on retrouvera les équations en H,- qui conviennent à un espace à courbure constante.

Sur les conditions que doit remplir un espace pour qu’on y puisse déplacer un système invariable à partir de l’une quelconque de ses positions dans une ou plusieurs directions.

Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences du 8 avril 1878.

Nous démontrons que, pour qu’un espace soit tel qu’on y puisse déplacer un système invariable dans une direction, il faut et il suffit que, moyennant un choix convenable des variables, on puisse faire en sorte que les coefficients qui entrent dans l’expression du carré de l’élément linéaire perdent une des n variables qui définissent la position d’un point dans cet espace.

Sur les conditions ( tirées de la Cinématique ) pour qu'une surface donnée soit applicable sur une surface de révolution.

Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences du i5 avril 1878.

Bour etM. Massieu ont démontré cette proposition que les surfaces applicables sur les surfaces de révolution sont entièrement caractérisées par ce fait que le problème de la recherche de leurs lignes géodésiques, considéré comme un problème de Mécanique, admet une intégrale linéaire par rapport aux composantes de la vitesse du mobile.

Bour a fait la remarque que cette proposition permet de résoudre le problème suivant :

Étant donnée une surface, reconnaître, par des opérations purement différentielles, si elle est ou non applicable sur une surface de révolution.

Comme il s’agit d’un problème purement géométrique, nous nous sommes proposé de le résoudre sans recourir aux équations générales de la Dynamique.

En exprimant directement ce fait cinématique, qu’une surface applicable sur une surface de révolution est nécessairement telle qu’on y peut déplacer une figure sans en altérer les longueurs, à partir de l’une quelconque de ses positions, dans une certaine direction et appliquant à ce déplacement la formule générale de la Communication sur la cinématique des figures continues, etc., susmentionnée, nous arrivons très directement au résultat. Nos équations de condition se présentent sous une forme différente de celles trouvées par Bour; mais nous montrons l’équivalence des deux systèmes d’équations.

Sur fit surface la plus générale sur laquelle une figure peut se déplacer en restant semblable à elle-même dans ses parties infinitésimales.

Si l’on applique notre formule générale à un déplacement dans lequel la dilatation de chaque élément linéaire est, non plus nulle, comme cela a lieu pour une figure invariable, mais constante, on trouvera la surface la plus générale sur laquelle il est possible de déplacer une figure de façon qu’elle reste semblable à elle-même dans ses éléments infinitésimaux.

On trouve ainsi sans difficulté ce théorème :

Pour qu’une surface soit telle qu’une figure de forme variable puisse s’y déplacer à partir de l’une quelconque de ses positions, en restant constamment semblable à elle-même dans ses éléments infinitésimaux, ilfaut et il suffit que le carré de l’élément linéaire de celte surface puisse, moyennant l’emploi de variables convenables, être exprimé sous forme homogène par rapport à ces variables.

Dès lors, on peut résoudre ce problème :

Étant donnée une surface, reconnaître, par des opérations purement différentielles, si, par un changement convenable des variables, il est possible de meure l’expression de son élément linéaire sous forme homogène.

Sur le développement des surfaces dont l’élément linéaire est exprimable par unefonction homogène.

Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, a" semestre 1878, p.-788.

Ce sont ces considérations de Cinématique qui nous ont amené, en 1878, à étudier le développement des surfaces dont il s’agit.

On sait que, pour les surfaces de révolution, Bour, généralisant un théorème de M. Bonnet, a montré que, étant donnée une surface de révolution, il existe une série de moulures hélicoïdales, renfermant deux constantes arbitraires, toutes applicables sur la surface donnée.

Nous démontrons un théorème analogue sur les surfaces dont il est question ici. Nous définissons d’abord une surface que nous appelons une pseudo-moulure logarithmique et qui est engendrée ainsi qu’il

Concevons que, dans un plan, on trace une droite fixe OZ et une courbe arbitraire. Imaginons que le plan tourne autour de l’axe OZ pendant que la courbe se déforme en restant constamment homothétique à elle-même relativement au point O, ses dimensions homologues croissant en progression géométrique pendant que les angles dont tourne le plan croissent en progression arithmétique.

C’est la surface ainsi engendrée que nous appelons une pseudomoulure.

Et nous démontrons ce théorème :

Étant donnée une surface sur laquelle une figure peut être déplacée en restant semblable à elle-même dans ses parties infinitésimales, ou, ce qui revient au même, une surface dont l’élément linéaire est une fonction homogène de deux variables, il existe une série de pseudo-moulures, avec deux constantes arbitraires, toutes applicables sur elle.

Depuis que cette Note est publiée, M. Sophus Lie a publié un Mémoire très important, intitulé Classification der Flüchen, nach der Transformationsgruppe ihrer geodàtischen Curcen (Christiania, 1879, Universitàts-Programm), dans lequel il a retrouvé ce même théorème, dont il veut bien d’ailleurs nous attribuer la priorité. Les surfaces que nous appelons des pseudo-moulures logarithmiques, M. Lie les appelle des surfaces spirales ( Spiral-Fldche ), nom plus simple et meilleur. Il dit, en ce qui nous concerne : « Comme,-pendant l’impression de notre Mé- » moire,nous avons reconnu que M. M. Levy avait trouvé le théorème » dont il s’agit, nous pouvons nous en référer à sa Note, laquelle con- » tient d’ailleurs un autre théorème élégant. » [ « Da indess Herr » M. Levy (Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences,

» 18 November 1878), wie ich wâhrend des Druekes diescr Abhand- » lung bermerke, soebeu diesen letzten(Satz bewiesen liât, kann ich » mich darauf beschràncken, auf die citirte Note, die ausserdem einen" » anderen elegantenSatz enthâlt,zu verweisen.» (Sophus Lie, Mémoire susmentionné, p. 10.)]

Sur la composition des accélérations d’ordre quelconque.

Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences du 27 avril 1878.

Dans cette Communication, nous donnons un théorème qui permet de faire la composition des accélérations d’ordre quelconque dans le mouvement d'un point, non seulement lorsque son mouvement relatif est, suivant l’usage, rapporté à un système de comparaison restant invariable de forme, mais plus généralement lorsque le système de comparaison se déplace en changeant de forme, pourvu qu’il reste constamment homographique à lui-même.

Dans le cas particulier où le système de comparaison est de forme invariable, notre formule coïncide :

i° Avec celle donnée, pour la première fois, par M. Resal, dans sa Cinématique pure, pour la suraccélération (ou accélération du second

a° Avec une formule donnée, parait-il, pour les accélérations d’ordre quelconque, dans un Mémoire publié en russe par M. Somoff. (Nous

n’avons pas pu nous procurer ce Mémoire, signalé par M. Liguine aux Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences du 28 octobre 1878, oji M. Liguine nous reconnaît, du reste, la priorité de la solution dans le cas général d’un système de comparaison de forme variable.)

Enfin, dans une Communication du 29 juillet, M. Laisant a traité la question par les méthodes du Calcul des quatermons; mais, dans une Communication du 2 septembre 1878, il déclare loyalement qu’il ignorait notre Communication quand il a fait la sienne.

M. de Saint-Germain a bien voulu également appeler l’attention sur notre Communication.