VII. - GÉOMÉTRIE

Sur une transformation des coordonnées curvilignes orthogonales et sur les coordonnées curvilignes comprenant une famille quelconque de surfaces du deuxième ordre.

( Thèse pour le doctorat ès sciences, soutenue devant la Faculté des Sciences do Paris, 1867.)

Voici un extrait du Rapport fait sur celte Thèse par M. Chasles, président du jury d’examen : « Ce sujet se rapporte à une théorie qui a » été l’objet des recherches d’un grand nombre de géomètres, et ee^ » pendant le travail de M. Levy renferme plusieurs propositions im- » portantes et entièrement neuves. Parmi ces propositions, on en » remarque deux surtout qui sont très dignes de fixer l’altention des » géomètres. La première exprime, d’une manière très élégante, la » condition que doit remplir une famille de surfaces pour que ces sur- » faces puissent faire partie d’un système triple orthogonal. On savait » que cette condition est exprimée par une équation aux dérivées » partielles du troisième ordre ; mais cette équation est si compliquée, » qu’on n’avait jamais pu en rien conclure.

» La deuxième proposition est relative aux surfaces du deuxième » ordre; elle permet de former tous les système triples orthogonaux » composés de surfaces de cet ordre. Toute la deuxième Partie du tra- » vail de M. Levy est consacrée au développement des nombreux co- » rollaires de ce théorème fondamental ; elle constitue un chapitre » important de la théorie des surfaces. »

Mémoire sur les coordonnées curvilignes.

Journal de l'École Polytechnique, t. XXVI.

M. Cayley, dans les Communications qu’il a adressées sur cette matière à l’Académie des Sciences de Paris en 1872, a bien voulu débuter

« Soit p = f(cc,y, z) l’équation d’une famille de surfaces qui fait » partie d’un système orthogonal. On sait que p satisfait à une équation » à différences partielles du troisième ordre, et, en suivant la route » tracée par M. Levy dans son excellent Mémoire sur les coordonnées » curvilignes orthogonales (Journal de l'École Polytechnique, t. XXVI, » p. 107-200; 1870), je suis parvenu à trouver cette équation. »

( Cayley, Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, 1872.)

M. Weingarten, dans un Mémoire récemment publié au Journal fur Mathemalik, de M. Borchardt, dit :

« Ce n’est qu’après que Levy eut, dans un remarquable Mémoire » (Journal de l’École Polytechnique, t. XXVI, 1870), fait connaître, » sous forme géométrique, la condition nécessaire et suffisante pour » l’existence d’un système de pareilles surfaces, que Cayley réussit à » trouver l'équation différentielle du troisième ordre correspondante » sous une forme très compliquée, que M. Darboux, par lequel cette » théorie a été beaucoup enrichie, a ensuite simplifiée (' ). » Weingar-

( 1) « Erst nachdem Levy in einer ausgezeichneten Abhandlung ( Journal île l’École Polytechnique, t. XXVI, 1870) eine geomelrische Bedingung, die fïirdie Existera dieses FUchensystems hinreichend und nothwendig ist, kennen gelehrt batte, getang es Cayley ( Comptes rendus,tes séances de l'Académie des Sciences, t.XXlV) die erwahnle DifTerentialgleichung dritter Ordnung in einer sehr complicirten Form aufzustellen, etc. »

ten, Ueber die Bedingung unter wélcher eme Flâchenfamilie einem orthogalen Flâchensystem angehôrt (Journal fur Malhematik, t. LXXXI1I, Cahier 1) ]

M. Chasles signale noire Mémoire dans l’historique des progrès de la Géométrie.

Ce travail comprend les principaux résultats de notre Thèse, avec divers développements analytiques en plus. Nous y donnons, sous forme explicite, l’équation la plus générale des familles de surfaces du second ordre susceptibles de faire partie d’un système orthogonal. Cela constitue une intégrale arec une fonction arbitraire de l’équation à différences partielles du troisième ordre en p dont parle JM. Cayley, équation dont l’existence a été, comme on sait, démontrée pour la première fois par M. Bonnet, dans son célèbre Mémoire sur ce sujet.

En outre, nous mettons la condition géométrique qu’exprime cette équation, dans le cas général des surfaces quelconques, sous une forme simple à laquelle les travaux de M. Cayley paraissent donner un intérêt particulier, et qui se trouve rapportée, comme la plupart de nos autres recherches, dans le grand Mémoire que Mi Darboux vient de publier aux Annales de VÉcole Normale supérieure.

« Si l’on supposé, dit M. Darboux, que l’on ait pris pour axes des » x et des,y les tangentes aux lignes de courbure en un point, on re- » trouve l’équation = donnée par M. Maurice Levy; mais,cet » habile géomètre l’a démontrée directement sans donner la lor- » mule (56), écrite dans un système de variables quelconques. » [Annales de l’École Normale supérieure, 1879, p. 121.)

Sur une réduction de la Jorme donnée par Cayley à l'équation à dérivées

partielles du troisième ordre qui régit les familles de surfaces susceptibles de faire partie d’un système orthogonal.

Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences du i 5 décembre i 8 ; 3 , p. i 435 .

Darboux, Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes (Annales scientiBques

Cayley a montré que cette équation, qui régit le paramètre d’une famille do surfaces p = f{oc,y, a), est linéaire par rapport aux six déri-

vées partielles du second ordre de la quantité

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Par un changement de variables consistant simplement à prendre s comme fonction inconnue, en mettant l’équation de la famille de surfaces sous la forme z = <p(x,y), nous faisons disparaître trois des six termes de l’équation de l’illustre géomètre.

M. Darboux a bien voulu reproduire notre équation à l’endroit cité de son Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes.

M. Sehlâfli s’est également occupé récemment de celte question; nous ne croyons pas que l’équation dont il s’agit ait revêtu, dans les travaux de ces divers géomètres, une forme aussi réduite que celle qui fait l’objet de la présente Note. .

Sur une propriété générale des focales des surfaces.

, Conîptes rendus des séances’de l’Académie des Sciences, t. LXXIV, p. 76. "

La propriété 'que nous établissons est celle-ci ; Une surface quelconque et sa focale se coupent à angle droit en tous leurs points d'intersection, en définissant, comme on le fait habituellement, la focale d’une surface, la ligne double de la développable circonscrite à cette surface et au cercle imaginair ede l’infini.

Nous avons établi, dans notre Thèse de Géométrie, qu’une condition nécessaire pour que des surfaces puissent faire partie d’un système orthogonal consiste en ce que ces surfaces soient toutes coupées à angle droit par la ligne lieu de leurs ombilics. Le théorème ci-dessus montre que cette condition est remplie d’ellc-méme par toute famille de surfaces homofocales.