VIII. - MÉCANIQUE ANALYTIQUE ET ANALYSE

Cinq Communications sur le problème des lignes géodésiques considéré comme problème de Mécanique.

Jahrboch über die Fortschritte der Mathemalik, t. IX, p. a06,167, a68.

Bour ('), en développant très habilement, après M. Massieu, une pensée due à M. Bertrand ( 2 ), a indiqué le moyen de reconnaître, toutes les fois que le carré de l’élément linéaire d’une surface est mis sous la forme

à quelle condition le problème du mouvement d’un point matériel sur cette surface, la fonction des forces étant supposée nulle, admet une intégrale algébrique par rapport aux composantes de la vitesse du

Cette condition consiste en ce que la fonction X ou une fonction auxiliaire L, introduite par Bour et définie par la relation X = ^°' 1

satisfaire à une équation à dérivées partielles d’un ordre d’autant plus élevé que le degré de l’intégrale algébrique supposée, est lui-même plus élevé.

On reconnaît ainsi que les seules surfaces pour lesquelles le problème des lignes géodésiques admet une intégrale algébrique du premier degré sont celles applicables sur une surface de révolution, et que les seules pour lesquelles il admet une intégrale algébrique du second degré sont les surfaces qu’avait déjà rencontrées M. Liouville dans

(*) Journal de VÉcole Polytechnique , XXXIX e Cahier, p. 176.

ses beaux Mémoires sur quelques cas particuliers où les équations de la Dynamique peuvent être intégrées.

Dès qu’on arrive aux intégrales algébriques d'un degré supérieur au second, les équations aux dérivées partielles en L sont du troisième ordre ou d'ordres plus élevés.

Ces équations, Bour n’a fait aucune tentative pour les intégrer, et, en effet, leur intégration complète paraît devoir être bien au-dessus des moyens actuels de l’Analyse; mais elles présentent une circonstance extrêmement digne d’attention : c’est que toutes, quelque élevé qu’en soit l’ordre, admettent des intégrales intermédiaires particulières de tous les ordres inférieurs au leur propre, et par ces mots intégrales particulières nous entendons, non pas de simples combinaisons intégrables comme celles dont, par une très belle extension des méthodes de Monge et d’Ampère, M. Darboux a appris à reconnaître l’existence, mais des équations ’a dérivées partielles dont la solution générale appartient tout entière et dont, par suite, toute solution particulière appartient aussi à l’équation d’ordre plus élevé qui leur a donné naissance, tandis que les combinaisons intégrables (autres que celles du premier ordre considérées par Ampère) n’ont en commun avec les équations à dérivées partielles dont elles proviennent, qu’une de leurs intégrales particulières.

Dans les deux premières Communications, nous vérifions le fait sur les équations à dérivées partielles du troisième et du quatrième ordre en L exprimant que le problème des lignes géodésiques admet une intégrale algébrique du troisième et du quatrième degré. Nous trouvons l’équation à dérivées partielles du second ordre servant d’intégrale intermédiaire à la première; elle est

et les équations à dérivées partielles du troisième et du second ordre servant d'intégrales intermédiaires à la seconde. L’équation du second ordre est

21 [^~r-)*=i6s°-(rt-y-y.

Nous démontrons ensuite que ces intégrales intermédiaires doivent exister non seulement pour l’équation en L exprimant que le problème

des lignes géodésiques admet une intégrale algébrique et entière par rapport aux composantes de la vitesse du point mobile, quel qu’en soit le degré, mais même pour celle qui exprime que ce problème admet ! ? - pJ une intégrale fraction rationnelle par rapport aux composantes de la

Nous trouvons que le cas où le numérateur et le dénominateur de la fraction sont du même degré présente une circonstance remarquable. Dans ce cas rentre un problème déjà traité par M. Bonnet : celui où les deux termes de la fraction sont linéaires.

Enfin ces considérations conduisent à une classification des surfaces d’après la nature des intégrales de leurs lignes géodésiques.

Dans le Jahrbuch über Fortschritte der Mathematik est donné un compte rendu complet et très précis de cès diverses recherches.

Sur les conditions pour qu’une forme quadratique de n différentielles ( ou l’expression de la force vive d’un problème de Mécanique) puisse être transformée de façon que ses coefficients perdent une partie ou la totalité des variables qu’ils renferment.

On montre que cette condition est pareille à celle qui est nécessaire pour qu’on puisse déplacer une figure invariable dans un certain espace. C’est pour cela, par exemple, que le ds 2 d’une surface de révolution peut être mis sous une forme telle que les coefficients ne contiennent qu’une des deux variables qui définissent la position d’un point sur la surface.

Sur la théorie des équations à dérivées partielles du second ordre

Les équations à dérivées partielles du premier ordre se distinguent de toutes les autres par ce que les arbitraires qui entrent dans leurs équations intégrales se présentent sous des formes qu’il est possible de définir, de classer, et par suite d’étudier d’ensemble.

Les arbitraires que fait naître l’intégration des équations d’ordre supérieur revêtent, au contraire, des formes tellement diverses, que, dans l’état actuel de la Science, il est impossible d’en faire une classification générale.

C’est là ce qui explique qu’on ait pu constituer une méthode générale d’intégration des équations différentielles partielles du premier ordre, tandis qu’on concevrait difficilement qu’il pût exister une telle méthode pour l’intégration des équations d’ordre supérieur.

Là, en effet, l’inconstance même de la forme des intégrales doit entraîner celle de la marche à suivre pour les découvrir. Aussi, toutes les recherches faites jusqu’ici sur l’intégration de ces sortes d'équations supposent essentiellement que l’on ne s’adressera qu’à certaines formes d’intégrales données d’avance.

Les recherches d’Ampère elles-mêmes, si générales qu’elles soient, ne font pas exception à cette règle.

Or, parmi les formes d’intégrales qui, dans l’état actuel de l’Analyse, paraissent pouvoir fournir matière à une étude d’ensemble, les plus générales et les plus dignes d’attention nous semblent être celles qui sont définies par la seule condition de pouvoir être représentées par un ou plusieurs systèmes d’équations à différences ordinaires. Ces intégrales seraient d’autant plus précieuses à connaître qu’on pourrait espérer les étudier sur les équations différentielles même qui leur serviraient de définition.

Jusqu’ici, on s’est surtout occupé des intégrales qu’Ampère appelle (le première classe et qui sont caractérisées par ce que toutes leurs arbitraires sonten dehors de signes d’intégration partielle. Celles auxquelles nous sommes conduit ici, dont on rencontre d’ailleurs nombre de cas particuliers dans l’intégration de l’équation de Laplace, appartiennent à la seconde classe d'Ampère; certaines de leurs arbitraires peuvent être engagées sous des signes d’intégration partielle.

On reconnaît aisément que ces intégrales jouissent nécessairement de la propriété d’appartenir en commun à l'équation différentielle partielle du second ordre proposée et à une équation à différences partielles d’ordre plus ou moins élevé Y = o, renfermant elle-même une fonction arbitraire. Or, M. Darboux a donné le moyen de reconnaître si l’équation V = o existe et de la trouver auand elle existe.

Mais, une fois connue cette équation V = o d’ordre plus ou moins élevé, comment s’en servir pour découvrir l’intégrale générale de la proposée? Nous montrons qu’une seule équation V = o, contenant une fonction arbitraire, suffit pour trouver l’intégrale générale de la proposée, et cela quelque élevé que soit l’ordre de Y = o; que celte équation V = o, si élevé qu’en soit l’ordre, joue en quelque sorte le même rôle que si c’était une intégrale intermédiaire, c’est-à-dire une équation du premier ordre; et aussi bien que, si la proposée admettait une intégrale intermédiaire, son intégrale peut être définie par des équations à diffé-