THÉORIE GÉNÉRALE DES SUBSTITUTIONS

J’ai obtenu, dans cette théorie, un grand nombre de résultats nouveaux, dont voici les principaux :

i° Soit G un groupé composé ('), on pourra déterminer (souvent de plusieurs manières) une suite de groupes G, H, I, ... tels que chacun soit contenu dans le précèdent et permutable à ses substitutions, mais ne soit contenu dans aucun autre groupe jouissant de cette double propriété.

En divisant l’ordre de chacun de ces groupes par celui du groupe sui-

vaut, on obtient une suite d’entiers X, p., .... Ces entiers (facteurs de composition de G) resteront les mêmes à l’ordre près, de quelque manière qu'on détermine la suite G, H, I, .. .

Cette proposition entre comme élément essentiel dans mes recherches sur la théorie des équations.

2° Soit p un nombre premier; un groupe de degré p -r i (ne contenant pas le groupe alterné ) ne peut être plus de k fois transitif « i > 2 ( 1 ).

On en déduit le corollaire suivant :

Une foration de n lettres qui n'est pas symétrique (ou alternée), par

lettres, a nécessairement plus de

valeurs, dès que n surpasse une certaine limite.

On reconnaît dans cet énoncé la généralisation d’une proposition bien connue de M. Bertrand.

3” Les groupes primitifs qui contiennent une substitution donnée ont leur degré limité ('■).

Si l’on répartit les groupes primitifs en classes d’après le nombre minimum de lettres que déplacent leurs substitutions, chaque classe ne contiendra qu’un nombre limité de groupes.

J’ai calculé le tableau des groupes des treize premières classes, montré que les classes 25 et 49 n’en contiennent aucun; enfin j’ai établi la proposition générale suivante : '

Si p est premier, la classe p ne contient qu’un seul groupe, à moins que

Des recherches qui précèdent, j’ai déduit l’énumération complète des groupes primitifs des dix-sept premiers degrés, et jeté par là les bases d’une classification des équations jusqu'au dix-septième degré inclu-