THÉORIE ARITHMÉTIQUE

1“ Mon premier travail sur la théorie arithmétique des formes quadratiques est relatif au calcul des sommes de Gauss à plusieurs variables. Cette question, qui se lie étroitement à la théorie générale des fonctions 0, avait déjà été traité.e par M. Weber dans un Mémoire étendu (Journal de M. Borchardt, t. I.XXIV). J’en ai donné une nouvelle solution beaucoup plus simple.

Cette question conduit naturellement à la suivante, qui est plus difïi-

Déterminer le nombre des solutions d'une congruence du second degré f{* ..*«)■» (mod.M).

On ramène aisément ce problème au cas où M est un nombre premier p ou une puissance de p. On le résout, dans ce cas, en ramenant la congruence à une forme réduite où l’énumération des solutions se

La question n’offre pas de difficulté sérieuse si p est impair; elle est plus délicate si p = 2. Dans ce cas, plusieurs réduites peuvent être équivalentes entre elles, et le système des conditions accessoires nécessaires pour supprimer les réduites superflues est assez compliqué.

a° J’ai été conduit plus récemment» étudier les formes bilinéaires de M. Hermite,

où a,, b,,. æ,, ... sont des entiers complexes. Ces expressions

contiennent, comme cas particulier, les formes quadratiques définies. J’ai obtenu les propositions suivantes : •

Toute forme F de déterminant A J o est équivalente à une réduite où les modules des coefficients sont limités en fonction de la norme de A et du mi-

; des variables.

Les propositions précédentes peuvent être en défaut : i° si les formes considérées sont quadratiques; 2° si leur discriminant et en général le discriminant de tous leurs covariants s’annulent a la fois. Mais, même dans ce cas d’exception, si le nombre des réduites reste limité, on établit que, si deux réduites sont équivalentes, on pourra les transformer l'une dans l'autre par une substitution à coefficients limités, et que les substitutions qui transforment une réduite en elle-même résultent de la combinaison d’un nombre limité d’entre elles dont les coefficients sont limités.

On peut encore rattacher aux recherches précédentes la proposition

Toute substitution linéaire à n variables, à coefficients réels ou complexes et de déterminant D, peut être mise sous la forme ELE', E et E' désignant

des substitutions à coefficients entiers et de déterminant i , et L une substitution dont les coefficients ont leur norme inférieure à ÆyA, A désignant la norme de D et k une quantitéfixe qui ne dépend que de n.