THÉORIE GÉNÉRALE

Galois a démontré qu’à toute équation correspond un groupe de substitutions où se reflètent ses principales propriétés et dont l’étude

est entièrement équivalente, au point de vue algébrique, à celle de l'équation elle-même, tout en présentant beaucoup moins de difficultés de calcul.

J’ai repris et développé cette théorie, en y ajoutant plusieurs théorèmes nouveaux, parmi lesquels je ne citerai que les suivants :

i° Si une équation est irréductible, son groupe est transitif, et réciproquement.

a 0 Si le groupe d'une équation de degré n n’est pas primitif, la résolution d'une équation de degré p (p. étant un diviseur den)la décomposera en p équations de degré -, et réciproquement.

3° Si le groupe 6 d’une équation? (ac) = o est simple, elle ne pourra être résolue qu'au moyen d’équations dont le groupe ait pour ordre un multiple de celui de G.

Au contraire, si G est composé, soient X, p, v, .. ses facteurs de composition; la résolution de F (x) = o se ramènera à celle d'équations auxiliaires dont les groupes seront simples et auront respectivement pour ordre

4° Si le groupe G d’une équation F (æ) = o est simple, à chaque groupe g contenu dans G correspondra une classe d’équations réduites équivalentes à G et de degré — (Û et w désignant respectivement l’ordre des groupes G et g).

5“ Pour que la résolution d’une équation.? (x) — o soit facilitée par celle d’une équation à groupe simple f{z) = o, il faut et il suffit que les racines de /(s) soient des fonctions rationnelles de celtes de?(x).

6° Toute relation algébrique entre les racines x . x m et z„. ., z„

de deux équations? (x) =o etf(z)==o peut êlremise sous la forme.

oui/ et % sont des fonctions rationnelles.

7 ° L’équation générale du degré n ne peut être résolue au moyen d’équations de degré inférieur, si n^ 4.

M. Hermite avait remarqué que, lorsqu’une équation contient des paramètres variables, il existe un groupe (groupe de monodromie) tel que toute fonction rationnelle des racines, monodrome par rapport aux

paramètres, soit invariable par les substitutions de ce groupe, et réciproquement. J’ài montré que ce groupe est contenu dans le groupe de l’équation et permutable à ses substitutions.