APPLICATIONS DIVERSES

J’ai fait de nombreuses applications de la théorie générale aux principales équations rencontrées jusqu’à ce jour dans les diverses branches de l’Analyse, et notamment:

i° Aux équations abéliennes, dont j’ai généralisé la définition et la

a» Aux équations de Galois.

3“ A une famille d’équations signalées par M. Clebsch et dont l’équation connue de M. Hesse forme le premier terme.

4° A l’équation qui donne les seize points singuliers de la surface de M. Kummer. Celle équation a une réduite du sixième degré (résultat retrouvé par M. Klein).

5° A celle qui donne les seize droites des surfaces du quatrième degré à conique double. J’ai montré qu’elle est un cas particulier d’une famille d’équations de degrérésolubles h l’aide d’une équation de degré q et de q — i équations abéliennes de degré p.

6° A l’équation des vingt-sept droites des surfaces du troisième ordre. Cette équation n'est susceptible d'aucun abaissement. Elle est intimement liée à l’équation des seize droites. Ce dernier résultat, que la théorie m’avait fait prévoir, a été vérifié par M. Geiser.

7 ° A une famille d’équations fournies par des problèmes de contacts, parmi lesquelles la plus simple est celle des vingt-huit doubles tangentes des courbes du quatrième ordre. Cette équation ne peut être abaissée.

Les equauons de la division des transcendantes et les équations modulaires donnent lieu à une nouvelle série d’applications; en voici les résultats les plus saillants :

I" Les équations modulaires pour des transformations de degré n pre-

nuer et > il ne sont susceptibles d’aucun ab au contraire que, si njn, le degré peut êt a 0 Les racines de l’équation qui donne la les fonctions elliptiques ouhypereüiptiques soi des modules (résultat confirmé par M. Brioschi).

3° Véquation de degré n ! *— I, qui donne la ' un nombre premier n dans les fonc

division des périodes par

groupe abélien.

Elle n’est pas résoluble par radicaux (cette proposition, généralement admise, n’avait pas été démontrée).

Elle a, comme on sait, une réduite de degré ~~ S mais > dans cas

de quatre périodes, il existe deux réduites distinctes et de ce degré.

Ce fait de deux réduites différentes ayant le même degré n’avait encore été signalé qu’une fois, pour l’équation générale du sixième

4° Dans le cas particulier de la trisection des fonctions à quatre périodes, on obtient une autre réduite, du vingt-septième degré et semblable à l’équation aux vingt-sept droites. Ce résultat, qui établit un nouveau lien entre les fonctions abéliennes et les problèmes de la Géométrie, a été confirmé par les travaux de MM. Clebsch et Cremona.

M. Clebsch a reconnu également, sur mes indications, que le problème de la réduction d’une forme du sixième ordre à la forme canonique U 1 —V’ dépend de la trisection des fonctions à quatre périodes (').

5° Le phénomène d’abaissement qui vient d’étre signalé parait spécial au cas de la trisection. J’ai reconnu, en effet, que l’équation de degré i56, dont dépend la quintisection, ne peut être abaissée f 2 ); “t !

En essayant, en dernier lieu, d’étendre aux équations de degré supérieur la méthode de M. Hermite pour résoudre l’équation du cinquième degré par les fonctions elliptiques, j’ai obtenu les deux théo-

Les équations générales de la division des périodes des fonctions circulaires, elliptiques ou hyperelliptiques par un nombre impair, ne peuvent être d’aucun secours pour la résolution des équations générales de degrè >5.

Tout au contraire, la résolution d’une équation quelconque X — o se ramène à celle de l’équation qui donne la bissection des périodes des fonctions hyperelliptiques formées avec fX.