STABILITÉ

Corps flottants.

Pour déterminer les conditions de stabilité de leur équilibre, j’ai établi directement les équations différentielles linéaires qui régissent leurs petites oscillations. L’intégration de ces équations redonne la condition connue.qu’on tire de l’équation des forces vives, en exprimant que la fonction des forces est minimum.

Dirichlet a montré que cette condition suffit à assurer la stabilité ; mais, pour prouver qu’elle est nécessaire, il faut recourir aux équations du mouvement. On doit vérifier, en outre, que les conséquences tirées de ces équations, quand on se, borne aux termes du premier ordre, subsistent lorsqu’on rétablit les termes négligés. J’ai montré, en faisant varier les constantes, que, ces termes ne peuvent avoir d’influence sur l’intégrale, quelle que soit l’époque que l’on considère, que lorsque le déplacement du corps est devenu incomparablement plus grand que le déplacement initial. Enfin j’ai établi le théorème suivant :

Un corps flouant, oscillant autour d’une position d’équilibre stable, tourne progressivement autour de Ut verticale, à moins qu’à l’instant initial son axe instantané de rotation (autour du centre de gravité) ne soit situé dans le plan conjugué à la verticale par rapport à l'ellipsoïde d'inertie.

Les conditions de stabilité de l’équilibre sont les suivantes :

Les deux courbures principales de la surface du solide doivent être de même signe que les courbures correspondantes de la surface de l’appui.

Le centre de gravité du solide doit être situé au-dessous des centres de courbure de sa surface extérieure.

Pour prouver que ces conditions sont suffisantes, je montre que, si elles sont satisfaites, tout mouvement virtuel élèvera le centre de gravité. La démonstration présente cette particularité nouvelle que, pour la rendre complète, il faut tenir compte dans le calcul des termes du quatrième ordre, au lieu de s’arrêtér au second ordre, comme c’est l’ordinaire dans les questions de ce genre.

On voit ensuite que ces conditions sont nécessaires en discutant les équations différentielles des petites oscillations. Ici encore se présente une singularité : ces équations sont linéaires, mais leurs coefficients sont, en général, des fonctions périodiques du temps, à variation très lente. Ils ne deviennent constants que dans deux cas :