CALCUL DES PROBABILITÉS

J’ai traité les questions suivantes :

i° Un événement peut être produit par diverses causes; on connaît la probabilité de chacune d’elles et celle de leurs combinaisons deux à deux, trois à trois, etc. : trouver la chance pour que l’événement soit dû au concours de r d’entre elles.

2° Une droite de longueur l est divisée en m segments : quelle est la probabilité pour que n d’entre ces segments surpassent une longueur donnée a?

3° Quatre points sont pris au hasard sur une sphère: quelle est la chance pour qu’ils forment un quadrilatère convexe?

4° On prend au hasard trois points A, B, C dans l’intérieur d’une figure plane fermée ayant un centre O : quelle est la chance pour que O tombe dans le triangle A, B, C.

5° La méthode des moindres carrés conduit, comme on sait, à chercher le minimum de la somme des carrés de «fonctions linéaires de

m variables x . x m . J’ai obtenu l’expression de ce minimum et

des valeurs correspondantes des variables sous forme de fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des sommes de carrés ou de produits de déterminants. (On connaissait déjà quelques cas particuliers de cette formule : plus courte distance.de deux droites; courbure et torsion des courbes gauches.)

GÉOMÉTRIE A n DIMENSIONS.

La Géométrie analytique n’est autre chose que l’étude des fonctions de deux ou trois variables et des transformations qu’on peut leur faire subir par des substitutions de diverses sortes (principalement par des substitutions orthogonales). Étendant ces théories à un nombre quelconque de variables, on pourra nommer point, dans un espace il n dimensions, un système de valeurs des n variables, surface, bisurface, ... et enfin courbe l’ensemble des points définis par i,a ,.... n— i équa-

On sait, par les travaux de divers géomètres, que la théorie des surfaces ordinaires s’étend sans changement notable au cas de n dimensions. J’ai reconnu que la même analogie subsiste en ce qui concerne les courbes.

Il existe d’ailleurs dans l’espace il n dimensions, entre les surfaces et les courbes, des êtres géométriques intermédiaires (Æ-surfaces) définis par k équations, k étant >i et <ra —r. N’ayant pas d’analogue dans la Géométrie ordinaire, ils donnent lieu à des recherches plus intéressantes.

J’ai d’abord étudié les éléments qui définissent, indépendamment du choix des coordonnées, la situation relative de deux multi-plans ayant un point commun. Dans l’espace ordinaire, où l’on n’a que des ■ plans et des droites, cette situation est définie par un seul invariant orthogonal, l’angle des droites ou plans considérés.(Ici la question devient plus compliquée, ainsi qu’il résulte des propositions suivantes:

Un système formé d’un k-plan P» et d'un l-plan P ,passant par un même point de l'espace possède p invariants distincts, p étant le plus petit des nombres k,l,n—k,n—l. Ces invariants (angles des deux multiplans) sont les racines d’une même équation caractéristique.

f.es divers plans perpendiculaires à P* se coupeiu suivant un ( n-k)-plan

Une k-surface, située dam l'espace à m+k dimensions, présente en chaque point m directions rectangulaires telles que la somme des carrés des angles formés par deux h-plans tangents consécutifs, divisée pards ! , soit

Cette proposition doit être considérée comme la généralisation du théorème d’Euler sur les courbures principales. Cette extension présente quelque intérêt, car la plupart des autres théorèmes sur les surfaces, notamment ceux de Monge sur les lignes de courbure, ne s’appliquent pas aux multi-surfaces.