THÉORIE ARITHMÉTIQUE

i"" MoD premier travail sur la théorie arithmétique des formes quadratiques est relatif au calcul des sommes de Gauss à plusieurs variables. Cette question, qui se lie étroitement à la théorie générale des fonctions 0, avait déjà été traitée par M. Weber dans un Mémoire étendu [Journal de M. Borchardt, t. LXXIV). J'en ai donné une nouvelle solution beaucoup plus simple.

Cette question conduit naturellement à la suivante, qui est plus diiïicile :

Déterminer le nombre des solutions d'une congruence du second degré

f{xi, ,,.,Xn)^o (mod.M).

On ramène aisément ce problème au cas où M est un nombre premier /? ou une puissance de p. On le résout, dans ce cas, en ramenant la congruence à une forme réduite ou l'énumération des solutions se fasse sans peine.

La question n'offre pas de difficulté sérieuse si p est impair; elle est plus délicate s\ p = 2, Dans ce cas, plusieurs réduites peuvent être équivalentes entre elles, et le système des conditions accessoires nécessaires pour supprimer les réduites superflues est assez compliqué.

a^J'ai été conduit plus récemment à étudier les formes bilinéaires de M. Hermite,

F=rqorme(aiari -\- b^x^ -h. . .) -{- norme { «2^1 -4- 62^2 + . . .) -h. . .,

où a,, 6,, . .j a?,, a^a, . . . sont des entiers complexes. Ces expressions contiennent, comme cas particulier, les formes quadratiques définies. J'ai obtenu les propositions suivantes :

Toute /orme F de déterminant A^o est équivalente à une réduite où les modules des coefficients sont limités en/onction de la norme de A et du minimum fjL de F.

Les formes F à coefficients entiers se répartissent en un nombre limité de classes.

Les substitutions linéaires à coefficients entiers qui transforment une réduite en elle-même ou en une autre réduite ont leurs coefficients limités en fonction du nombre n des variables.

Ce théorème donne la solution du problème de l'équivalence des formes F et de leurs transformations en elles-mêmes.

Celte analyse m'a permis d'étendre aux formes de degré quelconque et à coefficients complexes les méthodes inaugurées par M. Hermite dans ses recherches sur l'équivalence des formes quadratiques indéfinies. On obtient comme résultat les propositions suivantes :

Toute forme F à coefficients entiers est équivalente à une réduite dont les coefficients sont limités en fonction des invariants.

Les formes à coefficients entiers algébriquement équivalentes à une même forme se distribuent en un nombre limité de classes.

Le nombre des substitutions qui transforment une réduite en elle-même ou en une autre réduite est limité en fonction du nombre des variables et du degré des formes considérées. Leurs coefficients sont limités en fonction des invariants.

On pourra donc, par un nombre limité d'opérations, reconnaître si deux formes sont équivalentes et trouver les transformations de l'une dans l'autre.

Les propositions précédentes peuvent être en défaut : i° si les formes considérées sont quadratiques; a° si leur discriminant et en général le discriminant de tous leurs covariants s'annulent à la fois. Mais, même dans ce cas d'exception, si le nombre des réduites reste limité, on établit que, si deux réduites sont équivalentes, on pourra les transformer l'une dans l'autre par une substitution à coefficients limités, et que les substitutions qui transforment une réduite en elle-même résultent de la combinaison d'un nombre limité d'entre elles dont les coefficients sont limités.

On peut encore rattacher aux recherches précédentes la proposition que voici :

Toute substitution linéaire à n variables, à coefficients réels ou complexes et de déterminant D, peut être mise sous la forme ELE', E et E' désignant

( ^7 ) des substitutions à coefficients entiers et de déterminant i, etL une substitution dont les coefficients ont leur norme inférieure à ^ y A , A désignant la norme deD et k une quantité fixe qui ne dépend que de n.