THÉORIE GÉNÉRALE DES SUBSTITUTIONS
J'ai obtenu, dans cette théorie, un grand nombre de résultats nouveaux, dont voici les principaux :
i*' Soit G un groupe composé (*), on pourra déterminer [sowenl de plusieurs manières) une suite de groupes 6, H, I, ... tels que chacun soit contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions, mais ne soit contenu dans aucun autre groupe jouissant de cette double propriété.
En divisant l'ordre de chacun de ces groupes par celui du groupe sui-
(1) Deux substitutions S et T sont dites échangeables si ST = TS. Un groupe G, formé des substitutions Si, Sj, . . ., est permutable à une substitution T, si l'on a, pour toute valeur de i, une équation de la forme
S,T = TS;t.
Un groupe G est kfois transitif, si ses substitutions permettent d'amener k lettres à des places arbitraires. Il est primitif si les lettres ne peuvent être groupées en systèmes tels, que toute substitution de G remplace les lettres de chaque système par celles d'un même système. Il est simple s'il ne contient aucun groupe permutable à ses substitutions, cornposé dans le cas contraire.
On nomme ordre à'xxn groupe le nombre de ses substitutions, degré du groupe le nombre des lettres soumises à ses substitutions.
çant, on obtient une suite d'entiers X, jx, Ces entiers (facteurs de
composition de G) resteront les mêmes à l'ordre prés, de quelque manière qu'on détermine la suite G, H, I, —
Cette proposition entre comme élément essentiel dans mes recherches sur la théorie des équations.
2*^ Soit p un nombre premier ; un groupe de degré p-h k {ne contenant pas le groupe alterné) ne peut être plus de kfois transitif si k'^ià {* ).
On en déduit le corollaire suivant :
Une fonction de n lettres qui n'est pas symétrique {ou alternée) ^ par rapport à k lettres y a nécessairement plus de — ~~~^~f
ou
2 — ^ ' ^ , valeurs, dès que n surpasse une certaine limite.
On reconnaît dans cet énoncé la généralisation d'une proposition bien connue de M. Bertrand.
y Les groupes primitifs qui contiennent une substitution donnée ont leur degré limité ( ' ).
(1) J'ai obtenu plusieurs autres déterminations de la limite de transitivité; voici les principales :
Un groupe de degré 2p -^ k ne peut être plus de kfois transitif si A:> 3.
Plus généralement, un groupe de degré p^^q-{- /-, où q est premier h p et contenu entre p^ et /?'""^*, ne peut être plus de kfois transitif si l'on h* a pas une des trois inégalités suivantes :
(*) Cette proposition étant la plus importante que j'aie obtenue'dans cette théorie, j'ai consacré plusieurs Mémoires à la détermination aussi précise que possible de cette limite. Je suis parvenu à cet égard aux résultats suivants :
Si la substitution donnée S déplace m lettres, la limite D sera donnée par la formule
i)(m-h/i log^j
On obtient des résultats plus précis en supposant, ce qui est évidemment permis, que S
(^9) On en déduit cette conséquence :
Si l'on répartit les groupes primitifs en classes d'après le nombre minimum de lettres que déplacent leurs substitutions, chaque classe ne contiendra qu'un nombre limité de groupes.
J*ai calculé le tableau des groupes des treize premières classes, montré que les classes 25 et 49 n*en contiennent aucun; enfin j'ai établi la proposition générale suivante :
Si p est premier ^ la classe p ne contient quun seul groupe, à moins que p ne soit de la forme 2" — • i , auquel cas elle en contient trois.
Des recherches qui précèdent, j'ai déduit Ténumération complète des groupes primitifs des dix-sept premiers degrés, et jeté par là les bases d'une classification des équations Jusqu'au dix-septième degré inclusivement.
