SUBSTITUTIONS LINÉAIRES

Les principales questions que j'ai résolues dans cette théorie sont les suivantes :

i^ Détermination de l'ordre et des facteurs de composition du groupe linéaire; décomposition de ses substitutions en un produit de substitutions simples.

2® Réduction d'une substitution linéaire à sa forme canonique.

soit uDe subslitution d'ordre premier p\ en désignant par q le nombre des cydes de S, on aura

D<(/?-+-^)(;?-hçlogç).

Si p surpasse . — q logg -h ^ -h i , on aura cette autre limite

On en conclut que le nombre D ^pq des lettres du groupe que S ne déplace pas a une limite indépendante de p.

Enfin, si ^ <6 et /?> ^, on aura

^^pq-^q-^i'

3° Détermination des substitutions linéaires échangeables à une substitution linéaire donnée,

4*^ Étude du groupe orthogonal; son ordre.

5** Étude du groupe abélien (*); ordre et /acteurs de composition; décomposition de ses substitutions en un produit de substitutions simples.

6° Solution des mêmes questions pour deux nouveaux groupes que J'ai découverts et auxquels j'ai donné le nom de groupes hypo-abéliens.

7** Groupes de Steiner (^); propriétés de leurs substitutions; isomorphisme de ces groupes avec les groupes abéliens et l'un des groupes hypoabéliens.

La discussion des groupes de Steiner se lie étroitement à la question (les caractéristiques des fonctions 0. Dans un récent Mémoire, j'ai étudié, dans toute leur généralité, certains groupements remarquables de ces caractéristiques, dont MM. Weber et Nôlher avaient signalé l'existence dans le cas de trois ou de quatre variables et dont ils avaient fait d'intéressantes applications au problème de l'addition.