THÉORIE GÉNÉRALE

Galois a démontré qu'à toute équation correspond un groupe de substitutions où se reflètent ses principales propriétés et dont l'étude

(1) Groupe découvert par M. Hermite dans ses recherches sur la transformation des fonctions abéliennes.

(*] L'un des quatre groupes auxquels j'ai donné ce nom a été rencontré par Steiner dans ses recherches sur les doubles tangentes aux courbes du quatrième ordre.

Deux groupes sont dits isomorphes lorsqu'on peut établir entre leurs substitutions une correspondance telle qu'au produit de deux substitutions corresponde le produit de leurs correspondantes.

est entiëremenl équivalente, au point de vue algébrique, à celle de Téquation elle-même, tout en présentant beaucoup moins de difficultés de calcul.

J'ai repris et développé cette théorie, en y ajoutant plusieurs théorèmes nouveaux, parmi lesquels je ne citerai que les suivants :

I® Si une équation est irréductible, son groupe est transitif, et réciproquement.

2? Si le groupe d'une équation de degré n n'est pas primitif, la résolution d'une équation deÂegré \l (]x étant un dis^iseur de n) la décomposera

en fjL équations de degré -> et réciproquement.

3^ Si le groupe G d'une équation F {x) =:::^ o est simple, elle ne pourra être résolue qu'au moyen d'équations dont le groupe ait pour ordre un multiple de celui de G.

Au contraire, si G est composé, soient X, jul, v, . . ses facteurs de cornposition; la résolution deF{x)=ose ramènera à celle d'équations auxiliaires dont les groupes seront simples et auront respectivement pour ordre \ llfV, ....

4^ Site groupe G d'une équation F{x) = oest simple, à chaque groupe g contenu dans G correspondra une classe d'équations réduites équivalentes

à G et de degré — ( îî e/ co désignant respectivement l'ordre des groupes G

5** Pour que la résolution d'une équation F(a:) =o soit facilitée par celle d*une équation à groupe simple f{z) = o, il faut et il suffit que les racines def[z) soient desfonctions rationnelles de celles deF[x).

&^ Toute relation algébrique entre les racines x^, . . .yX^et z^, . ., z„ de deux équations F [x) z=o et f[z)=:o peut être mise sous la forme

où ^ et y^ sont des fonctions rationnelles.

7® L'équation générale du degré n ne peut être résolue au moyen d'équations de degré inférieur, si n^[\.

M. Hermite avait remarqué que, lorsqu'une équation contient des paramètres variables, il existe un groupe [groupe de monodromie) tel que toute fonction rationnelle des racines, monodrome par rapport aux

paramètres, soit invariable par les substitutions de ce groupe, et réciproquement. J'ai montré que ce groupe est contenu dans le groupe de l'équation et permutable à ses substitutions.