APPLICATIONS DIVERSES

]*ai fait de nombreuses applications de la théorie générale aux principales équations rencontrées jusqu'à ce jour dans les diverses branches de l'Analyse, et notamment :

i^ Aux équations abéliennes^ dont j'ai généralisé la définition et la théorie.

2° Aux équations de Galois.

3° A une famille d'équations signalées par M. Clebsch et dont l'équation connue de M. Hesse forme le premier ferme.

4^ A Téqualion qui donne les seize points singuliers de la surface de M. Kummer. Cette équation a une réduite du sixième degré (résultat retrouvé par M. Klein).

5*^ A celle qui donne les seize droites des surfaces du quatrième degré à conique double. J'ai montré qu'elle est un cas particulier d'une famille d'équations de degré jd^, résolubles à l'aide d'une équation de degré y et de y — i équations abéliennes de degré p.

&^ A l'équation des vingt-sept droites des surfaces du troisième ordre. Cette équation n'est susceptible d'aucun abaissement. Elle est intimement liée à l'équation des seize droites. Ce dernier résultat, que la théorie m'avait fait prévoir, a été vérifié par M. Geiser.

7° A une famille d'équations fournies par des problèmes de contacts, parmi lesquelles la plus simple est celle des vingt-huit doubles tangentes des courbes du quatrième ordre. Cette équation ne peut être abaissée.

Les équations de la division des transcendantes et les équations modulaires donnent lieu à une nouvelle série d'applications; en voici les résultats les plus saillants :

i" Les équations modulaires pour des transformations de degré npre^

mier et > i i ne sont susceptibles d^ aucun abaissement de degré (on sait au contraire que, si n^ 1 1, le degré peut être abaissé d'une unité).

2? Les racines de V équation qui donne la bissection des périodes dans les /onctions elliptiques ou hyperelliptiques sont des fonctions monodromes des modules (résultat confirmé par M. Brioschi).

3° L équation de degré n^*— i , qui donne la division des périodes par un nombre premier n dans les fonctions à ik périodes, a pour groupe le groupe abélien.

Elle n'est pas résoluble par radicaux (cette proposition, généralement admise, n'avait pas été démontrée).

Elle a, comme on sait, une réduite de degré '-^;;^\ mais, dans le cas de quatre périodes, il existe deux réduites distinctes et de ce degré.

Ce fait de deux réduites différentes ayant le même degré n'avait encore été signalé qu'une fois, pour l'équation générale du sixième degré.

f\^ Dans le cas particulier de la trisection des fonctions à quatre périodes, on obtient une autre réduite, du vingt-septième degré et semblable à V équation aux vingt-sept droites . Ce résultat, qui établit un nouveau lien entre les fonctions abéliennes et les problèmes de la Géométrie, a été confirmé par les travaux de MM. Clebsch et Cremona.

M. Clebsch a reconnu également, sur mes indications, que le problème de la réduction d'une forme du sixième ordre à la forme canonique U^—V dépend de la trisection des fonctions à quatre périodes (*).

( » ) Clebsch a rappelé celte circonstance dans son Mémoire [Mathematischc Annalen^ t. II, p. 96).* Il termine ainsi: a Cette recherche est donc en même temps un commentaire algébrique des recherches générales par lesquelles M. Jordan a jeté un jour tout nouveau sur la théorie de cette classe d'équations, a

Les amis et disciples de Clebsch (MM. Brill, Gordan, Klein, Liirolh, Mayer, Nother, Von der Mlihll) ajoutent à ce sujet les phrases suivantes, dans leur Notice sur les travaux de ce grand géomètre : ce Les recherches de Hesse et celles d^Âbel avaient excité Tintérèt de Clebsch pour le côté algébrique des problèmes de Géométrie; plus tard, les relations multiples qu'il avait nouées avec Camille Jordan ramenèrent son attention vers tout ce qui se rattache aux groupements remarquables des racines d'une équation. Réciproquement, c'est principalement à lui qu'on est redevable d'avoir mis Camille Jordan en état de consacrer aux équations de la Géométrie un Chapitre spécial dans son grand Ouvrage. >

M. Sylvester a également apprécié, avec une extrême bienveillance, le résultat relaUf à la trisection des périodes (Bulletin de la Société mathématique de Londres, i863; Mémoire sur la théorie des cychodes réductibles, p. 19).

S"" Le phénomène d'abaissement qui vient d'être signalé parait spécial au cas de la trisection. J'ai reconnu, en effet, que l'équation de degré i56, dont dépend la quinti section, ne peut être abaissée (^).

En essayant, en dernier lieu, d'étendre aux équations de degré supérieur la méthode de M. Hermile pour résoudre l'équation du cinquième degré par les fonctions elliptiques, j'ai obtenu les deux théorèmes suivants :

Les équations générales de la division des périodes des fonctions circulaires, elliptiques ou hyperelliptiques par un nombre impair, ne peuvent être d'aucun secours pour la résolution des équations générales de degré > 5.

Tout au contraire, la résolution d'une équation quelconque X — o se ramène à celle de l'équation qui donne la bissection des périodes des fonctions hyperelliptiques formées avec v^X.