III. Fonctions abéliennes

La tbéorie des fonctions abéliennes, envisagée dans sa plus grande i;éneralité, se rattache à la théorie des fonctions algébriques de plusieurs varial)les indépendantes; nous aurons donc à y revenir dans le prochain Chapitre. Bornons-nous en ce moment à deux théorèmes généraux et à quelques cas particuliers.

Considérons nue surface algébrique telle (|ue les coordonnées d'un (juclconque de ses points puissent s'exprimer par des fonctions abéliennes de deux paramètres. J'ai montré (30) que le genre crime telle surface est au plus égal à runité; c'est une proposition toute sciiihiablc à un lliéoriiiie bien connu dans la théorie des courbes planes, rciatil' aux courbes dont les coordonnées s'expriment par des fonctions doublement périodiques d'un paramètre. En s'appuyant sur la notion des intégrales doubles de première espèce attachées à la surface, on ari'ive avec une extrême simplicité à la <lrmonstration de celte proposition ; la même marche fournit immédiatement, et sans le moindre calcul, la démonstration du théorème relatif aux courbes.

On sait que l'on peut former avec les fonctions 0 de n variables indépendantes des fonctions de /i variables ayant 2« systèmes de périodes, ("es

périodes, d'ailleurs, ne sont pas toutes arbitraires, et les — '— — - relations

auxquelles elles satisfont sont bien connues. Riemann avait autrefois affirmé (]ue ces relations devaient nécessairement exister entre les 2// systèmes (le périodes de toute fonction uiiifoiine de // vai'iabics. ■2/1 fois pério-

( «o ) (IkIUOS. IVuiio manière précise, cet important tiiéorème peut s'énoncer comme il suit :

Il existe toujours un système de périodes de la fonction

telles (jue l'on ait, pour toute valeur de a et ,3,

Riemann n'a pas indiqué la méthode qui l'a conduit à ce théorème. Une conversation que j'eus à ce sujet avec M. Poincaré fut l'origine d'une Note (46) que nous puhliàmes en commun, où le théorème était complètement établi. De ce théorème se déduit de suite cette conséquence bien diiïne d'intérêt : Toute fonction uniforme in fois périorlique de n variables indépendantes peu! être expiimée au moyen des fonctions 0.

A côté de nombreuses analogies, la théorie des fonctions Q Ae p variables présente avec la théorie des fonctions 0 d'une seule variable des dillerences très sensibles, et celles-ci apparaissent surtout dans les questions relatives à la transformation. Il existe cependant pour chaque valeur du nombre p des classes particulières de fonctions 0, dont l'étude, relativement plus simple, conduit à des résultats se rapprochant davantage de ceux que l'on rencontre dans la théorie des fonctions elliptiques. Un exemple, relatif à p = 3, nous est fourni par mes précédentes recherches sur un certain groupe hyperfuchsien. Les fonctions 0 relatives à trois variables se trouvent, comme on sait, définies par une certaine forme quadratique ternaire; nous donnons, dans notre exemple, aux coefticients de cette forme certaines valeurs particulières, où figurent deux paramètres complexes arbitraires u et »'. Dans ces conditions, on peut faire correspondre à cette classe de fonctions 0 le groupe hyperfuchsien G, dont je me suis occupé plus haut. Désignons par U et Y ce que deviennent u et c quand on effectue sur eux une substitution quelconque de ce groupe. La question qui fait l'objet du travail indiqué (40) est la transformation des fonctions 0 quand on remplace u et v parlj et V. Elle présente la plus complète analogie avec la théorie de la transformation des fonctions 0 d'une seule variable, et j'ai pu employer une méthode analogue à celle qui a été suivie autrefois par M. Hermite dans la théorie des formes en nombre infini des fonctions 0

( Cn ) (rmic st'iilc vaiiiililc. I.cs tuiulidns ;ilicliciiin's iloiil nous |(;iili)ns |iio\iciiiii'Dt en ili'tinilivi' de la tclaliuii al^'t'liri(|Uc ciiti'i' ; cl /

(HIC mms avons ilcjà considérée. Nous avons exprimé les deux modules .r ri Y |iar (les fonctions hyperfuclisiennes tie deux variables ii e( «'. Nos fonctions r cl Y jouent dans lu thcorie de ces fonctions ahc/icnnes le même tôle que la fonction modulaire dans la tliéorie des fonctions elliptiques, (ics fondions liypcifuclisicnncs peuvent s'exprimer au moyen des Ibnetions 0 de dois variables, absolument comme on exprime la fonction modulaire au moyen des fonctions 0 d'une seule variable.

On sait combien il est facile de représenter par des séries une fonction doublement périodique. Soit/(e'^) une fonction rationnelle de e'; si la série

2 /(e-'*""'") est convergente, elle représentera une (onction doublement

périodique avec les jjériodcs 2-/ et w. On n'avait jamais, «jue je sache, considéré des expressions analogues, mais relatives à deux variables indépendantes. Soit /(e"^, e^) une fonction rationnelle de e^ et e- : je considi-re la série

les o) et co' étant des conslanlcs. L'idée de considérer une (elle série est assurément banale; ce qui est intéressant, c'est de donncrdes exemplesoii la série converge. Je donne des cas très étendus où une pareille série est absolument convergente; elle définit une capression ayant quatre couples de pèrioiles. Mais une telle expression ne peut pas en général être une fonction quadruplement périodique définie pour toute valeur de a- et v, et présentant pour tout système de valeurs finies de ces variables le caractère d'une fonction rationnelle; elle possède en effet des surfaces de singularités essentielles qui empécbcnt d'en faire le prolongement analytique; car, en allant d'un système de valeurs à un autre arbitraire, on peut être arrêté par les surfaces de singularités. Les expressions précédentes peuvent aisément être développées en séries trigonométriques; j'ai traité complètement un cas parliculier([ui me donne des séries trigonométriques de deux variables, dont les coefficients ont une loi extrêmement simple et présentent une grande analogie avec ceux que l'on rencontre dans la théorie des fonctions clliptif|ues. C'est là un type nouveau de série trigonometrique de deu.c va-

liables. dont réliule iiiciilc, je crois, d'èlre approrondie. lluli^|uon^ ici l'expression sous l'orme de série :

V^ V^ ea(j:+/»o>;-<-p()--i-nu') ça/(x-i-mM)-*-p'(y+«u')

les six constantes co, co', a, a', JB et ^' désignant des quantités réelles quelconques.

Relativement aux fonctions elliptiques, j'ai peu de chose ;i ajouter aux applications qui en ont été faites plus haut à l'étude des équations dilTélenlielles. Mentionnons seulement la recherche ('2) des fonctions uniformes d'une variahle jouissant des propriétés suivantes :

'>{:■) désignant une fonction douhlement périodique aux périodes co et co'. Je donne ces fonctions sous forme de produit convergent, et aussi sous forme d'intégrale définie.

J'ai tiré de la théorie des fonctions elliptiques une équation différentielle du second ordre, non linéaire, jouissant de propriétés curieuses. Désignons parto et o)' les périodes de la fonction elliptique sn.r, et soient a et 6 deux constantes arbitraires; l'expression // ^ sn(aco -i- Aco'), considérée comme fonction du carré j: = /- du module k, satisfait, quelles que soient les constantes aet bh une équation dillerentielle algébrique du second ordre. Les points critiques des intégrales de cette équation sont fixes; ce sont les points o,i et ac. De plus, elle admet une infinité d'intégrales algébriques, qui ne sont pas d'un degré déterminé.

QUATUIKMK CIIAIMTKK.

TiiKOHii-: i>i:s SI itr\(:KS M.r.KiuuouES.

J'ai réuni dans ce Cliapilrc mes iocIiltcIics sur les surfaces algébriques: ces ckules sont nécessairement liées à la tliéorie des fonctions algébriques d'une et de deux variables indépendantes. La théorie des fonctions algébriques d'une variable a été depuis (|uaiante ans l'objet de travaux considérables, et c'est peut-être à Riemann (|ue l'on doit les notions les plus essentielles sur ce sujet, qui se rattache à tant de problèmes de Géométrie et de (".;ilcnl intégral. Beaucoup moins avancée est la théorie des fonctions algébri(|ues de deiiv variables; la lecture des beaux Mémoires d'un des géomètres les plus éminents de notre époque, M. Nœther, professeur à l'Université d'Erlangen, me décida à m'occuper de cette question aussi importante (|ue dilficile. C'est en elfet par l'étude d'un cas particulier, comme celui-là, que nous pouvons espérer pénétrer dans la théorie générale, encore si obscure, des fonctions de plusieurs variables ; on va voir d'ailleurs les dill'érenccs qui séparent la théorie quand on passe d'une ii deux variables, et combien l'analogie, qui si souvent est un guide excellent, pourrait ici devenir trompeuse.

M. Nœther avait princi|)alenient étudié la théorie des surl'aces au point de vue algél)ri(|ue, en approfondissant l'étude de ces polynômes adjoints d'ordre m — /| (m désignant le degré de la surface) qui sont les analogues des polynômes adjoints d'ordre m — 3, jouant un rôle si important dans la théorie des courbes planes algébriques. Il est ainsi arrivé à la notion de deux nombres invariantifs fondamentaux. Le premier, désigné [)ar /> cl comniuiiémenl appelé .^-wi/r de la surface (^Fldc/ierigeschlec/u), est égal an nombre des paramètres arbitraires figurant dans les polynômes adjoints Q d'ordre m — \. Le second, désigné par p, [Cun'engeschlecht^, représente le cenre de la courbe mobile d'intersection de la surface donnée avec les sur-

faces représoiid'os par riH]iiation Q = o. J'ai Icnii ii rappeli'i' la détiiiition do cos doux iionil)ros qui. lo proniior suilout, vont revenir souvent dans la suite.