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Le cas où les deux équations

donnent des fonctions uniformes de u et e comprend dans sa généralité les fonctions hyperabéliennes.

J'ai étudié un exemple particulier qui a son origine même dans la théorie des fonctions abéliennes, et (jui m'a d'ailleurs offert le premier type des transcendantes hyperabéliennes.

("onsidérons une courbe du second genre, et désignons, suivant l'usage, par G, H, G' les trois constantes qui figurent dans le Tableau îles périodes des intégrales normales. Nous posons

-li-^-y r- ^V '^ r- ni>--^T

( 5ç) ) I) désifîiKiiil iiii cnlicr posilir: los trois modules do l;i ooiirlic du spciind iri'iiic l'orrcspoiidiinl soiil alors des l'oiu-lions uuifornips do .r cl v; ces fonclions lie sont définies que |)Our les valouis de x et de >-, dans lesquelles le coellicienl de / es( posilil"; de plus, ee sont des l'onctions liypeialxdiennes. Helativenienl au i;i'oupe liyperahélien eoi'respondant, il y a une dillérence essentielle entre le cas où D est un carré parfait et celui où il ne l'est pas; dans le pren)iei', les groupes de substitutions olfecluées simultanément sur r et V sont séparément discontinus, et les fonctions trouvées se ramènent aux fonctions modulaires d'une seule variable : on est alors, d'ailleurs, ilans un do ces cas do réduction d'intégrales byperelliptiques aux intégrales ellipti(|ues. dont j'ai fait l'élude. Si, au contraire, I) n'est pas un cairé parfait, on obtient un exemple d'une véritable fonction liyperabéliennc.