III. — Équations différentielles non linéaires

É(]iialioits du premier ordre. — Si, grâce aux iiomlireiix iravaux eiïcoliiés depuis une vingtaine d'années, et particulièrement ceux de M. Fuclis et de M. Poincaré, la tliéorie des équations diiïérentielles linéaires a réalisé des progrès d'une importance capitale, il s'en faut de beaucoup qu'il en soit de même pour les équations qui ne sont pas linéaires. Nous avons parlé plus haut des recherches que nous avons faites pour étendre et compléter les travaux classiques de Briot et Bouquet, relatifs à la discussion des intégrales dans le voisinage de certains points singuliers. Il ftuidrait pouvoir suivre l'intégrale pour toute valeur de la variable indépendante, mais c'est une étude extrêmement difficile, les points critiques étant généralement mobiles, c'est-à-dire variant avec l'intégrale que l'on considère. Une classe d'équations appelant tout d'abord l'attention est celle pour laquelle l'intégrale générale est uniforme. Briot et Bouquet ont étudié à fond le cas très simple où l'équation se réduit à

dy d.r

/étant un polynôme. De la forme donnée par Briot et Bouquet pour l'intégrale supposée uniforme d'une telle équation, on peut conclure, comme M. Hermite en a fait le premier la remarque, que le genre de la relation algébrique précédente est zéro ou un. Il m'a paru intéressant de chercher une démonstration a priori àa ce résultat: c'est ainsi que je fus conduit h un théorème bien plus général, dont nous aurons bientôt à parler (41); mais, en continuant à regarder l'équation précédente comme une équation dilTérentielle, je trouvai une autre démonstration a priori, qui fut le point de départ de mes recherches sur les équations du second ordre. Comme je ne l'ai pas publié, j'en donnerai ici le principe : désignons par Y et Y' ce que

deviennent V et sa dérivée y' = -j- quand on remplace x par x -+- h, h étant

une constante quelconque. En raisonnant toujours dans l'hypothèse où l'intégrale est uniforme, il est manifeste qu'à une valeur de j et y' ne correspond qu'une valeur de Y et Y', et inversement. Nous pouvons donc dire que la courbe/(y,j'') = o admet une transformation biunilbrmeen elle-même; mais nous verrons plus loin qu'une telle transformation doit être nécessairement birationnelle. La courbe précédente admet donc une transformation

( M) ) liirationiu'lleon elle-inômc; de plus, clK' lonfermc le païami-trc arl)itiaire/i. Nous en concluons, en ir)voquanl un lliéorcmc bien connu dans la théorie des courl)es algébriques, que le genre de/ne peut être que zéro ou l'unité.

Avant de passer aux équations du second ordre, considérons encore l'équation (i ). Après le cas de l'intégrale uniforme, on peut se proposer d'étudier les é»|ualions de ce type dont l'intégrale est racine d'une équation algél)ii(|ue à coellicients unilormes; comme l'ont montré Hriol et Bouquet, ces coelïicicnts uniformes ne pourront élre que des fonctions doublement périodiques (ou dégénérescences). Posé dans toute sa généralité, le problème de reconnaître si l'intégrale d'une équation donnée/(j', y) = o est racine d'une équation algébrique à coefficients uniformes est resté sans solution, malgré les ell'orts de bien des géomètres.

Le probli'uie précédent revient, en réalité, à reconnaître si une intégrale abélienne est réductible aux intégrales elliptiques. C'est une question dont je m'occupais dès 1881 {'2'-i).

Étant donnée une relation algébrique /('r,y) = o de genre p, soit

I R(x,Y)f/cc une intégrale abélienne de première espèce correspondante;

il peut arriver (jue cette intégrale n'ait que deux périodes. S'il en est ainsi, l'équalion

I\( j-,, »-,) c/x, -+- R (X2,i'î) dj:i = o

aura son intégrale générale algébrique, et la réciproque de cette proposition est exacte, c'est-à-dire que, si cette équation a son intégrale générale algébrique, l'intégrale abélienne n'aura pas plus de deux périodes. D'une manière plus générale (39), supposons que, parmi les p intégrales abéliennes relatives à la courbe/, il y en ait q {q<ip) ayant seulement aq |)ériodes simultanées. Soient «,(37), iu{x), ..., ii^(x) ces q intégrales : j'établis le théorème suivant. Considérons les équations

On sait (|ue, dans le cas d'un système abélien, c'est-à-dire quand q =p, toute fonction symétrique x,, x.,, .... x^ est une fonction uniforme (abélienne) de r,, :^. . . . , Zp. Il n'en est plus nécessairement ainsi quand q est différent de/?; maisj'i.iro, ...,jrySont néanmoins encore racines d'équations algébriques dont les coefficients sont fonctions uniformes dc^,, z-^, .... z,^ avec 27 systèmes de périodes; de |)lus, ces fonctions -iq fois périodiques pourront s exprimer à V aide (les fonctions 0 de q variables indépendantes.

Je me suis particulièrement occupé du cas oii/j = 2, la relation entre .v et v pouvant être mise alors sous la forme

.le pose la question de la manière suivante : Trouver les expressions générales de /•, /, m, telles qu'il existe une intégrale de première espèce correspondant à la relation précédente et ayant seulement deux périodes. La réponse est donnée parla proposition qui suit :

S'il e.riste une intégrale de première espèce, correspondant à la relation précédente et ayant seulement deux périodes, on pourra trouver un système d'intégrales normales dont le tableau des périodes sera

, o G oii D désigne un entier réel cl positif.

Ce théorème fait connaître immédiatement les expressions générales de k, l, m; on n'a eu effet qu'à substituer ]l= - dans les valeurs de k, l, m

données par les formules de Richelot, où figurent les fonctions 0 à deux variables pour les valeurs zéro des arguments. Pour une valeur donnée à l'entier D, k, l et m sont des fonctions uniformes de G et G' qui sont des constantes arbitraires; elles sont intéressantes, car ce sont des fonctions fuchsiennes, et l'on tire de cette remarque, entre autres résultats, le théorème suivant : Achaque valeur de l'entierD correspond une relation algébrique entre k, l et m.

On voit que, dans la question proposée, il y a un nombre entier D jouant un rôle essentiel. Ce nombre peut être défini d'un mot : c'est le degré de la transformation rationnelle transformant l'intégrale hyperelliptique en une intégrale elliptique. Notons que le cas particulier D = 2 correspond h un cas traité, il y a longtemps, par Jacobi, celui où m^=kl.

Il faudrait parler maintenant du problème inverse, c'est-à-dire montrer comment, la relation (2) étant donnée, on pourra reconnaître s'il y a une intégrale correspondante n'ayant que deux périodes. Malheureusement mes efforts ont échoué devant cette question extrêmement difficile; certainement la question devient facile si l'on se donne le degré D de la transformation, ou, ce qui revient au même, en revenant au prol)lème initial, le degré de

IV'qiialion al^'él)ri<nio à l;u|ii('llc satisl'ait l'intégrale; maison n'a pu réussir jusqu'ici à li\c'r uno lirnik- supéi-it-uro do ce degré. Nombreux sont d'ailleurs, eu Analyse, les |)r()l)lèmesde ce genre où un certain nomin-e entier, inconnu a priori, jonc |c lolc essentiel. Pour en revenir au .Mémoire qui nous occupe en ce nioinent, citons le tliéorènic suivant :

5; une intégrale abèlienne de pvcniière espèce, relative à la relation y- = R(.r) ( [{( r) fle'si fanant un polynàme du cinquième degré], a seulement deux périodes, il y aura nécessairement une seconde intégrale jouissant de la même propriété.

On i)eut ajouter à l'énoncé précédent qu'il y aura, en général, seulement deux intégrales ne possédant que deux périodes. Dans certains cas particuliers cependant, il peut arriver qu'il y ait une infinité d'intégrales ayant seulement deux périodes (21).

J'ai donné deux exemples de cette circonstance singulière : l'un est relatif à la courbe du second genre

j-' = jr(.r — i){x — a)-

(a désignant une constante quelconque), pour laquelle l'intégrale de première espèce

■(i — ml)(x — a)-h<i — m}:-)y

dx.

où X désigne une racine cubi(juc imaginaire de l'unité et m représente une quantité réelle convnensurahle quelconque, a seulement deux périodes; l'autre exemple est relatif à la courbe du troisième genre

y-^x^-\- ax' -+- b,

qui possède aussi une infinité d'intégrales de première espèce avec deux périodes; en elFet, l'intégrale

( m -t- i) \fb — {m — i) x- \/x^-i- ax^ -h b

n'a que deux périodes si m est une quantité réelle commensurable.

Dans une Lettre à M™' de Kowalewsky, qui n'a pas été publiée, M. Weierstrass s'était aussi occupé de la réduction des intégrales abéliennes aux intégrales ellipti(|ues. Dans un Aïémoire sur ce sujet, paru après la publication de mon travail, .M""^ de Kowalewsky fait mention des rechercbes de

M. Weierslrass. L'illustre géomètro do Berlin traite du cas général de la réduction des intégrales de genre quelconque aux intégrales elliptiques, tandis que je me suis occupé spécialement des intégrales de genre deux, mais il pousse la réduction moins loin. Ainsi, pour le Tableau des périodes (|ii(' j'ai donné plus haut, le théorème de M. Weierslrass indique seulement un nombre commensurable quelconque, au lieu de la fraction jr (50) :

la différence est importante, car, au point de vue où je me suis placé, cet entier D joue un rôle essentiel. C'est pour moi aussi une satisfaction de penser que mes recherches sur ce sujet ont attiré l'attention de M. Poincaré, qui a étendu les travaux de M. Weierslrass el les miens.

La lecture d'un ^Mémoire de IM. Darboux a appelé mon attention sur un tout autre Chapitre de la théorie des équations différentielles du premier ordre. Dans son Mémoire sur les équations différentielles du premier ordre et An premier degré, M. Darboux a fait connaître un ihéorème extrêmement remarquable, d'après lequel on peut former l'intégrale générale de ces équations, quand on en connaît un nombre suffisant de solutions particulières algébriques. La méthode employée par l'éminent géomètre peut, sous certaines conditions, être étendue aux équations du premier ordre de degré quelconque (58). Cette extension se rattache à diverses questions concernant la théorie des surfaces el des courbes gauches algébriques; je me suis borné au cas où chaque solution représenle l'inlerseclion complète de deux surfaces. Il y aurait intérêt, je crois, à approfondir davantage la question.

La théorie des fonctions hyperfuchsiennes m'a encore conduit à une classe étendue el intéressante d'équations différentielles du premier ordre dont l'intégration peut être obtenue à l'aide de ces transcendantes; mais ces applications seront mieux à leur place dans l'exposé de mes travaux sur les fonctions hyperfuchsiennes et hyperabéliennes.

Équations d' ordre supérieur. — J'ai étudié tout d'abord (21) une classe d'équations analogue à celle de Briot et Bouquet : ce sont les équations du second ordre de la forme

où /est un polynôme, et je me suis proposé de rechercher dans quels cas elle admettra des intégrales uniformes. L'élude de ce problème peul être poussée jusqu'au bout; je commence par démontrer un théorème analogue à celui dont nous parlions plus haut pour le problème de Briot el Bouquet : Le qenre de la relation précédente doit être zéro ou l'unité. Nous examinons

successivement ces deux liypotlii-scs; c'est dans le cas où le genre est éjj;iil à zéro que la discussion dcinande le plus de soins. Trois cas peuvent se présenter : ou toutes les intégrales de l'équation sont uniformes, ou lùcn une seule série d'intégrales est uniforme, celles-ci se déduisant li-s uni's «les autres par l'addition «l'une constante ii la variable a", ou bien enlin il n'y a pas d'intégrale uniforme. Toute intégrale uniforme est une fonction rationnelle de jt et de e"^, a désignant une constante. L'examen du cas où le genre est égal à l'unité est beaucoup plus facile. Toutes les intégrales de l'équation proposée ne sont pas, dans ce cas, uniformes; il ne peut y avoir «|ue celles (jue l'on déduirait d'une première intégrale uniforme par le changement de X en X plus une constante : cette intégrale est doublement périodique. En résumé, l'équation ne peut admettre d'autres intégrales uniformes que des fonctions rationnelles de x et de cf^, et des fonctions doublement périodiques. Nous montrons comment on peut reconnaître s'il en est ainsi et trouver en même temps ces intégrales uniformes. Considérons maintenant l'équation plus générale

/"étant un polyn«Hne. Il est bien élémiMitaire (ju'une réduction facile transforme celte équation en une équation du premier ordre; mais nous voulons garder l'équation sous cette forme et étudier le cas où l'intégrale générale de cette équation est une fonction uniforme de x. Dans le cas précédent

où le terme en -<.- manquait dans l'équation, les propriétés de la courbe nl-

d-v ■ gébriquc représentée par la relation entre y et -^^ jouaient un rôle essentiel. On pressent ici qu'il y aura une dépendance entre l'équation différentielle que nous venons d'écrire et les propriétés de la surface algébrique «lu'on peut regarder comme représentée par celte relation. Aussi l'étude actuelle est-elle intimement liée à mes recherches sur les surfaces algébriques; nous allons donc, pour le moment, nous borner aux généralités, et nous reviendrons sur ce sujet dans le Chapitre réservé aux fonctions algébriques de deux variables indépendantes.

Pour l'équation de Briot et Bouquet entre j et -r-, j'ai donné plus haut,

avec quelques détails, un raisonnement qui permet d'établir, a priori, que le genre de la courbe ne peut pas dépasser l'unité. Peut-on étendre ce raisonnement ;i l'équation actuelle? Supposons que l'intégrale de l'équation précédente soit une fonction uniforme de x avec le seul point oc comnu-

point siiigulior ossonticl. Désignons par Y, Y' et Y" ce que deviennent v, sa dérivée première v' et sa dérivée seconde t", quand on remplace x par .v-h h, h désignant une constante quelconque. A tout système de valeurs de V, y et )'" ne correspond qu'un système de valeurs de Y, Y' et Y", et inversement : nous pouvons donc dire que la surface algébrique

admet une transformation hiunifornie en elle-même, dépendanl d'un paramètre arbitraire h. 3Iais c'est ici que va apparaître la différence profonde entre l'équation de Briot et Bouquet et celle que nous étudions maintenant; et nous allons avoir la véritable raison de cette différence : elle est tout entière dans ce fait que, pour une courbe, une transformation biuniforme est toujours birationnelle , tandis qu'il en est autrement pour une surface. C'est là un point, à mon avis, capital, et il permet de partager la question en deux parties bien distinctes, suivant que la transformation précédente est ou non birationnelle (71 ).

En supposant la transformation birationnelle, voici le résultat auquel on arrive relativement à la nature de l'intégrale générale : celle-ci est une fonction doublement périodique (^ou dégénérescence d'une telle fonction^, ou bien les coordonnées Y, y' , y" d'un point quelconque de la surface (3) s'exprimeront en fonctions uniformes quadruplement périodiques {ou dégénérescences de telles fonctions) de deux paramètres a et c, et l'intégrale générale s'obtiendra en faisant, dans l'expression dey.

Il = a.r -T- X. (' z= b.r -\- 3,

a eZ 3 étant deux constantes arbitraires, et a et b deux constantes convenables.

Nous parlerons plus loin du problème de reconnaître sur l'équation différentielle elle-même si celle-ci a une intégrale générale uniforme avec une substitution correspondante birationnelle; c'est un point qui est lié à la théorie des surfaces algébriques.

Si maintenant, sans nous préoccuper de la transformation biuniforme dont il vient d'être parlé, nous partons directement de l'équation proposée, pouvons-nous reconnaître sur celle-ci si son intégrale générale est uniforme? La chose semble facile au premier abord; on ramène d'abord l'équation à une équation du premier ordre, en posant -j- = p et considérant p

comme fonction de j. On peut appliquer à cette équation les principes développés par Briot et Bou([uet dans leur Mémoire classique; pour éliminer

{ 2j ; iino picmitTc sorif de (lifriciillrs, supposons nu-iiie i\m\ dans I'cIikIl' des siniïularités do celle é(|iiation, on puisse toujours se trouver ramené au cas. à la fois général et sinij)le, spécialomenl étudié par ces géonii'tres et qu'on peut appeler une singularité régulière, en eiii|)Ioyant la terni inoloii;ie de la théorie des é(|iialions linéaires. Quand l'équation du premier ordre aura été complètement discutée, on aura à revenir à ré(|uatioii initiale, c'està-dire poser

dy . ^

l.a grande difficulté est de reconnaître si v ainsi définie est une fonction uniforme de .r. Il est facile de reconnaître si, dans le voisinage de clia(|in' \:\\Qy\r e(fvcti<.ement atteinte par la variable .r, la fonction >- est iinifoinie; mais cela ne fait pas nécessairement, quand il en est ainsi. (|iie la fonction vsoit réellement une fonction uniforme. Il iicnl. |Kir cxeniple. v avoir des trous dans la portion du plan (simple ou multiple ) décrite par la variable. r; (|uaiid celle-ci icvii-nl au point de départ, après avoir contourné une lacune, la fonction V peut ne pas reprendre la même valeur. Il y a là une difficulté considérable qu'il paraît bien difficile de lever, mais (]u'il était important de mettre en évidence. Nous disons alors que la fonction v est à apparenn uniforme.

Les conditions pour que l'intégrale générale d'une équation soit à apparence uniforme consistent en relations, de nature algébrique, entre les coelficientsde l'équation; au contraire, les conditions exprimantquc l'intégrale est une fonction uniforme se traduiront en général par des relations transcendantes entrcles coefficients de r équation différentielle . A prendre d'ailleurs la question dans toute sa généralité, les circonstances les plus diverses peuvent se présenter: ainsi l'intégrale générale peut être une fonction uniforme à espace lacunaire; mais le domaine dans lequel est déterminée la fonction peut être variable avec l'intégrale que l'on considère. .Nous avons donné des exemples de cette circonstance remarquable.

Nous avons spécialement considéré le cas oii l'équation a la foiine v"=R(v,v'), R étant rationnelle en y et y'. Il nous a paru curieux de montrer que v pouvait se mettre sous la forme d'un quotient de deux fonctions à apparence uniforme, n'ayant pas de pôles; on a ainsi une sorte de généralisation des fonctions Al ou des fonctions 0 de la théorie des fonctions elliptiques, qui peuvent, comme on sait, se tirer directement de l'équation diflerentielle du second ordre

y" = ay^ -t- hy^ -t- cy ■+- d.

( •-îC' ) Dans les équation?; qui préccdoiit, la variable indépendante no figure pas explirilenieui. l'renous maintenant l'équation plus générale

(ir d'y\

ny ci'y\

oii / est un polynôme en y, y' ely". Un problème avait été traité pour les équations du premier ordre, que l'on devait songer naturellement h étudier pour les équations d'ordre supérieur. Ce problème est celui dont un éminent géomètre, que nous avons eu déjà l'occasion de citer, M. Fuchs, a commencé l'étude, et sur lequel M. Poincaré a donné de si remarquables résultats; il est relatif à la classe d'équations différentielles dans lesquelles les points critiques sont fiœes, c'est-à-dire indépendants des constantes arbitraires figurant dans l'intégrale générale. On sait qu'en général il n'en est pas ainsi, c'est-à-dire que, pour une équation prise arbitrairement, les points critiques varient d'une intégrale à l'autre; la condition indiquée délimite donc une classe d'équations, et celle-ci a été étudiée, pour le premier ordre, par M. Fuclis d'abord, et ensuite par M. Poincaré qui a porté cette tbéorie au |ilus liant point de perfection.

.I"ai donc tenté cette étude pour l'équation du second ordre ci-dessus écrite. 11 semble au premier abord que l'extension des raisonnements faits pour une équation du premier ordre va être facile; il n'en est rien. On peut bien commencer à suivre les modes de raisonnement employés par M. Poincaré; la fin du raisonnement n'est malheureusement plus applicable. Nous nous trouvons toujours en présence du même fait; une certaine transformation biuniforme n'est pas nécessairement birationnelle, et c'est ce qui vient changer du tout au tout le caractère de cette théorie. J'ai dû ici, comme plus haut, circonscrire la question au cas où la transformation est birationnelle; j'en reparlerai plus loin.