IV. — Équations aux dérivées partielles

Dans la théorie des fonctions d'une variable, il y a de nombreux exemples où la fonction se trouve presque complètement définie, par la nature de ses singularités. Un exemple qui restera classique se trouve dans les œuvres de Riemann. Dans quelques pages très remarquables, surtout si l'on se reporte à répo(|ue où elles ont été écrites {Beitrdge ziir Théorie der durch Gaussche Reihe F(a, |3,y,x) darslellbaren Functionen), le grand géomètre traite à un point de vue tout nouveau la série hypergéométrique; Riemann

ilctiiiil les fonclidiis liv|ici',^fotin'lci(Hi('s |i;ir leurs (rois |)()iiil> criliiiiics cl lc> i'X|>(»saiils iclalils à ces |i()iiits, cxposiiiits entre les(|uels est assignée une relation eonvenalile. Le problènie de Hieniaiin pent-il être étendu an\ fonctions de deux variables indépendantes? Telle est la (|nestioii à la(|uelle je réponds coni|)lèteinent ("2(J); je nie suis pioposc de montrer (|ue certaines (onctions de deux variables indépendantes peuvent être déterminées paileurs points criti(|ues et les exposants coirespondants; mais ici les points singuliers ne sont plus en nombre limité, et il y aura une infinité de valeurs des variables j: et \-, (]Mi seionl pour la l'umiion des positions singulières.

Je pose le problème comme il suit : Soit t\j^-, j) une fonction de deux variables indépendantes illimitées x et y jouissant des propriétés suivantes. Tout d'abord il existe entre quatre déterminations de la fonction i\ne relation linéaire et homogène à coefficients constants. Dans le voisinage de toute valeur a île a-, et ^ de y ne coïncidant pas avec une des valeurs o, I et 3C, et déplus dillerentes entre elles, la fonction est bolomorpbe par rapport à .r et à v; a étant une valeur quelconque dill'érente de o, r et 3c, trois des brandies de la fonction ont, dans le voisinage de :r = o. v = a, les formes suivantes linéairement indépendantes

A et b, étant deux constantes, et les P étant des fonctions bolomorplies dans le voisinage de ar ^ o, y ^ a. Pareillement dans le voisinage de a7 = i , y ayant une valeur différente de o, i et 3c, on aura trois déterminations analogues, en remplaçant seulement dans la troisième expression x par

•r — I et substituant une nouvelle constante b^ à b,. Enfin, pour.r = -^ = :c, lin a trois déterminations

.1—'' •'[{,(.('', y), .r'-''^'B.,(.r', y), .r''->->''.-^-\*''.' Rj^r',,»-),

K|, \\.. et Rj étant liolomorpbes dans le voisinage de a^' = o, y = x.

Nous aurons de même des déterminations analogues, quand, faisant varier.r dans le voisinage d'une valeur distincte de o, i et ac, on donne à v des valeurs voisines de ces dernières, les divers exposants étant représentés par les mêmes lettres accentuées, et nous posons de suite //, = b,, b'., = b^, />;= A, A' = 63.

Knfin, pour .r = j)' = a. on a les delenninations linéairement indépen-

«lantes

Nous établissons que la fonction Y{x,y) est dt-teiminèe par les conditions prcccdentcs : je veux dire que, Y{ac,y) étant une première fonction satisfai- ■<ant à ces conditions, toute autre fonction jouissant des mêmes propriétés s'exprimera linéairement au moyen de trois déterminations de F linéairement indépendantes. La fonction dont nous venons d'établir l'existence peut être mise sous forme dintéiirale définie; considérons, en effet, les intéiçraies

^ (il — \)''>-' {il ~ vY'^-' {il — j;)''-'dii,

gel h désignant deux des cinq quantités o, i, j, a; et oc; ces intégrales ne sont que diverses déterminations de notre fonction multiforme Y(x,y).

Si l'on fait dans l'intégrale précédente g'=i, h = x, on obtient une expression liolomorphe par rapport à a- et à y dans l'intérieur des cercles avant pour centres respectifs a: = o, j = o et un rayon égal à l'unité : on ])eut la développer en série procédant suivant les puissances croissantes de r et V. Je retrouve ainsi la série remarquable découverte auparavant par y\. Appell et donnée par lui comme extension au cas de deux variables de la série bypergéométrique de Gauss; M. Appell avait représenté la série précédente par une intégrale double.

La fonction F satisfait à un système de trois équations linéaires simultanées du second ordre, et c'est même à ce système que j'arrive d'abord. Ces équations simultanées admettent trois solutions communes linéairement indépendantes; M. Appell les avait aussi obtenues. Les résultats précédents s'étendent d'ailleurs d'eux-mêmes à un nombre quelconque de variables; on peut ainsi obtenir des séries hypergéométriques d'un nombre quelconque de variables.

Le problème de Riemann, dont je donnai, le premier, dans ce qui précède, une extension au cas de deux variables, a depuis fait l'objet de divers travaux, parmi lesquels je dois citer les belles recbercbes de M. Goursat.

Avant de quitter les systèmes d'équations linéaires, je signalerai une Note que j'ai publiée en commun avec M. Appell (26), et dans laquelle on montre que le théorème établi pour les équations linéaires à coefficients doublement périodiques peut être étendu à certaines équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles, dont les coefficients sont des fonctions dep variables à 2p groupes de périodes conjuguées.

Un autre sujet de recherches sur les équations aux dérivées partielles m'a été fourni par une équation du premier ordre. Il ne semble pas qu'il y ait aujourd'hui dans ce domaine si labouré grand sujet d'études; leur inté-

( ^9) i,'ratiiiii est considoroo comiiu' un (ail acquis à la Science, parce qu'un sail la ramentM' à l'intégralion d'un systènio (l'f(|uations dillercnlielles ordinaires. Kn fait, ce second problème étant loin d'être résolu, il y :> grand inlérél à étudier des classes d'équations aux dérivées partielles, dont quelque solulion puisse s'exprimer à l'aide de transcendantes t-onnues. (l'est ce (|ue j'ai essayé de faire; nous avons déjà eu plusieurs fois à citer le Mémoire de Briot et Bouquet sur l'intégration des équations ordinaires ii l'aide des fonctions doublement périodiques. Une question analogue peu! se poser pour les équations aux dérivées partielles de la forme

./ Ou ôii\

oii /"est, bien entenilu, un polynôme : je veux parler du cas où cette é(|Mation admettrait comme intégrales des fonctions uniformes qnadruplemenl périodi(|ues de a- et v (3'») et ((54). Nous commençons par élablir le tbéorème suivant qui est fondamental pour notre étude, et dont la démonstration exige quelques soins : «étant une fonction uniforme qnadruplemenl périodique de x et j', soit /(w, r, (r)= o la relation algébrique existant

, , . , .- ,, du . du . • , ; • •

entre u et ses dérivées partielles v =^ ^ e{ w ^ ^- A un point arbitraire

de la surface y ne correspond qu'un seul système de valeurs de x etj,

abstraction faite, bien entendu, de multiples de périodes. Je montre ensuite

comment on peut, de la seule équation diiïérontielle donnée, déduire un

système de deux équations aux différentielles totales, donnant la solution

quand elle existe. Os deux équations aux dilTérentielles totales sont de la

forme

dx-^V (m, »',"■)</« -i- R {u, v,w)dt,',

dy^ Pi(", c, iv)du -+- Ri(m, f, iv)rfc,

OÙ les P et R sont des fonctions rationnelles de u, v et w, celles-ci étant liées par la relation/= o. Il n'y a plus alors qu'à discuter ce système; c'est un point dont nous avons fait une étude approfondie et sur lequel nous ri'viendrons.

Passons maintenant aux équations aux dérivées partielles du second ordre; je me suis uniquement occupé jusqu'ici des équations linéaires. Signalons d'abord une étude dont un extrait seulement a été publié (81). On connaît la transformation célèbre qui porte le nom de Laplace, et par la- (|uelle le grand géomètre intègre les équations linéaires ordinaires pour les(|uelles les coefficients sont des fonctions linéaires de la variable indé-

( 3o) peadanto; la transformation do Laplaco s'étend d'olle-mêmc aux équations linéaires aux dérivées parlicilos du second ordre, pour lesquelles les coeflieients sont des fonctions linéaires des deux variables indépendantes. On a alors à intégrer une équation ditîerentielle ordinaire du premier ordre et du premier degré dont l'intégration, impossible en général, peut cependant être effectuée dans des cas étendus. C'est sous forme d'intégrale double que se présentent dans cette question les intégrales de l'éciuation, et ici un point fort important est à signaler. Il est très avantageux, pour tirer tout le parti possible de la méthode, de ne pas se borner à la signification usuelle de l'intégrale double, mais de prendre une telle intégrale avec le sens plus ^'énéral que lui a donné M. Poincaré en considérant les deux variables comme des variables complexes, et en choisissant convenablement le contiluutm d'intégration. Nombreux sont les types d'équations qui se trouvent ainsi intégrées; citons, entre autres, l'équation suivante

(\^) A^-^ + aB-t — 3- H- C -T— ; -+- D -T hE^--i-F;=o,

O.v- oj: ov ay- o.v dy

dans laquelle A, B, C représentent des constantes, tandis ([ue D, E, F sont des fonctions linéaires quelconques de x et j-.

Un des points les plus importants de la théorie des équations aux dérivées partielles est la détermination des intégrales par des conditions aux limites. Si l'on considère une équation linéaire du second ordre, comme celle qui est écrite plus haut, mais où les coefficients sont des fonctions (juelconques de ce et de j, il résulte du théorème général de Cauchy sur l'existence des intégrales qu'une surface intégrale est en général déterminée quand on l'assujettit à passer par une courbe donnée et à avoir en tous les points de cette courbe des plans tangents donnés. Les idées essentielles pour la solution du problème sous cette forme ont été indiquées par Kiemann, et elles viennent d'être magistralement développées par M. Darboux dans ses belles Leçons sur la théorie des surfaces. Mais on peut se placer à un tout autre point de vue; l'équation classique de la théorie de

la chaleur et du potentiel

a montré depuis longtemps qu'une intégrale d'une équation linéaire aux dérivés partielles du second ordre peut se trouver déterminée, quand on donne la succession de ses valeurs sur le bord d'un contour fermé, pourvu qu'elle soit continue, ainsi que ses dérivées à l'intérieur de ce contour. Ce

i^i'ino lie (lt'leriiiiii;ilioiis pi'iit-il s'ctciidrc à une t'(|ii;i(iiiii liiit'aire qiu-lrinuiiii' (lu socoiul onlrt', U'ilt- (|iio rc'(|ualioii (E), les cocnicifiUs étant des ronctious <]iu'lct»ii(|iu's do ,r et dey? Il y a ici une première dislinclion à l'iiiie suivant le si^Mic de

dans la région du plan (-r,)') que l'on étudie. Si eette expression nesl pas constamment négative dans cette région, il y aura en général une infinité d'intégrales satisfaisant aux conditions indiquées; il pourra mérne en être encore ainsi dans une région où ce discriminant est négatif. Mais voici la proposition que l'on peut établir (83 ) :

Soit (■Va,r„) un point pour le([uel le discriminant est négatif; on peut délimiter autour de ce point un certain domaine tel que, C désignant une courlte fermée quelconque tracée dans ce domaine, il ne puisse exister (liMix intégrales, uniformes et continues dans l'aire limitée |)ar C, et prenant sur cette courbe la même valeur.

l-a question, surtout intéressante, est la proposition réciproque, je veux dire la démonstration de l'existence et la détermination d'une intégrale donnée par ses valeurs sur un contour C. Nous y parvenons en nous servant d'une métbode d'approximations successives, qui me parait assez importante pour que j'indique ici son principe. On ne diminue pas la généralité de la ([uestion en se bornant à l'équation

â^ii d-ti , du du

OJ'- ay- (/.r oy ''

Partons donc de cette équation et mettons d'abord zéro dans le second membre ; nous intégrerons l'équation restante Am = o, à l'aide de la condition aux limites : soit m„ la fonction ainsi trouvée. Continuant notre approximation, nous mettrons «„ dans le second membre à la place de w, et nous formerons une fonction Uy satisfaisant à celte nouvelle équation et s'annulanl sur le bord ; nous procédons ainsi indéliniment et obtenons île cette manii're une suite indéfinie u.,, . . ., w„, . ... La série

donne la solution du problème propose.

Le théori'Uie général qui précède est relatif à une équation linéaire du second ordre quelcont|ue. Il y a une classe d'équations linéaires se rapprochant plus spécialement tle ré(|ualion de Laplacc, et pour lesquelles cer-

taines facilités se présentent dans la solution du problème dont nous venons de parler (80) : ce sont les équations auxquelles on est conduit quand on égale à zéro la première variation d'une intégrale double dont l'élément

l'sl de la Forme

^, / ()ii dit\ ,

/"clant une forme luiadratiiiue homosène en i/, -^> -r- dont les coefficients ' • ^ a.r ()y

sont des fonctions quelconques de .r et j, la variation de u sur le contour il'intégration étant supposée nulle; ces équations peuvent toujours se ramener par un changement de variables et de fonction à l'équation

d.r- dy- ' •/ ' '

(jui a fait l'objet de bien des recliercbes. Au point de vue qui nous occupe, il faut citer un remarquable 31émoire de M. Scbwarz, qui a été le point de départ de notre travail (85). Nous montrons, en particulier, comment les belles méthodes employées par le géomètre de Gôttingne dans l'étude de l'équation de Laplace peuvent, sous certaines conditions, être étendues à l'équation précédente; signalons l'extension du pi'oeédé nilernc. qui joue encore ici un rôle important.

DiaXIKMK CIIAlMTHi:.

ETl DE ALr.ÉRHlQUE ET AlUTIl.MÉTIUl K DES TIlANSl OHM \TIONS ET DES GHOLl'ES.

La théorie des formes et des transforiiiafions apporte de précieux secours à la tliéorie des fondions et des é(|nations diiïérentielles ; c'est ainsi que j'ai été conduit à ni'occuper des reclierches aritliniéti(|nes et alîïéhriques qui suivent.

I. — Formes algébriques, groupes hyperfuchsiens et hyperabéliens.

L'étude aiillinietique des formes algébriques forme un (Chapitre iai)ilal de la théorie des nombres. Dès que je fus entré dans cette élude, je ne tardai pas à voir l'intérêt qu'elle pourrait présenter en donnant des exemples étendus de ces groupes discontinus sur lesquels les recherches de M. Poincaré venaient d'appeler si brillamment l'attention. A ce point de vue, les formes binaires réelles, telles que Gauss les étudie dans un Ouvrage célèbre, ne pouvaient pas me conduire au but. Il en est tout autrement des formes quadratiques binaires à indéterminées conjuguées dont .M. Ilermite avait, il y a longtemps, montré l'intérêt dans des questions d'un loiil aiilre ordre, notamment dans l'extension aux quantités complexes de la théorie des fractions continues arithmétiques. Nous entendons par forme (|uadrali((ue binaire à indéterminées conjuguées une ex|)ressi(in de la forme

où rï et c sont des quantités réelles, h et b„ deux quantités complexes conjuguées, X et y désignent deux indéterminées avant respectivement pour conjuguées x^ et v„. Je me suis proposé ( M ) de faire l'élude arilhmélique P. ">

(34) ilo cotte l'orme, en siip|iosanf que les coefficients soient des nombres entiers {b étant un entier complexe de Gauss ) et (lue la forme soit indéfinie

{/>/,„— ac>o).

l.a méthode qui ramène l'étude arillinieticiue d'une l'oiiue léelle indétinie à la réduction continuelte d'une forme définie dépendant de certains paramètres arbitraires peut s'étendre aux formes quadratiques à indéterminées conjuguées, et cette extension est le point de départ de mon étude sur les formes binaires indéfinies. La forme définie que nous sommes conduit ;» associer à la forme indéfinie donnée ne renferme qu'un pai'amètre (complexe) arbitraire z, et il sufTit de donner à ce paramètre toutes les valeurs complexes de module inférieur à l'unité. Les conditions de réduction de cette forme sont susceptibles d'une interprétation géométrique remarquable, à laquelle nous devons d'avoir pu effectuer sans peine la réduction continuelle : elles expriment que le point, dont l'affixe est z, doit être à l'intérieur d'un polygone limité par des arcs de cercles orthogonaux au cercle de rayon un.

En effectuant la réduction continuelle de la forme définie associée, on obtient, sur le plan où est représenté le paramètre complexe :-, un réseau indéfini de polygones et ce réseau ne recouvre qu'une seule fois la surface du cercle de rayon un. On passe d'un polygone à un autre par une substitution linéaire de la forme

'' Cs-i-D

Ces substitutions forment un groupe fuchsien ; il est isomorphe au groupe des substitutions linéaires transformant la forme donnée en elle-même. Les considérations précédentes donnent alors les substitutions fondamentales de l'un et l'autre de ces groupes. J'ai développé entièrement les calculs pour la ïorme f^ xx^ — "^-yy» \ il y a dans ce cas (|uatre substitutions fondamentales pour le groupe correspondant.

Après avoir montré comment on peut construire un polygone fondamental du groupe, il était intéressant de compléter l'étude de ses substitutions (82). Celles-ci sont, en général, hyperboliques, c'est-à-dire que. pour une forme prise arbitrairement, il n'y a pas de substitutions elliptiques: quant aux substitutions paraboliques , la condition nécessaire et suffisantipour leur existence est que le discriminant de la forme soit une somme de deux carrés. Dans son beau Mémoire sur les fonctions fuchsiennes et l'Arithmétique, M. Poincaré a donné une généralisation bien remarquable des

(■(|ii;tliiins iMO(liil;iiics. l'ji ;i|i[ili(|ii;inl le iiK'iiir (iidic d'idées ;iii\ roiictioiis tïiclisiiMiiU's provi'iiaiil d'iiiu' l'orme qiia<lrati(|ue hinaiic à iiuléleimiiiécs iniiiiii,'ué('s, on est condiiil sans aneune peine à une nouvelle ifénéralisalion de ces é(|iialioMS. (le résultat peut être ainsi énonci- : soient /" nue (orme (|uadrati(|ue hinaire indélinio et G le groupe luclisien conespoudant. formé par les substitutions à coenicients entiers transformant la forme eu elle-même. Considérons, d'autre part, une substitution transformant /en elle-même, dont les coefficients ne soient pas des entiers, mais seulement des nombres commensui'ables (réels ou complexes); à cette sul)slilnliiiii correspond une substitution de la forme

' cz+c/J'

a, ù, c, cl étant des entiers, mais le déterminant ad — hc étant ditl'érent de l'unité. Ceci posé, si F(:) désigne une fonction fuchsienue de groupe (i, //

V aura une relation algébrique entre V{z) et F( -^ — ^ ) ; ce sont là les équations ali^ébriques (|ui comprennent visiblement comme cas particuliers les équations modulaires, celles-ci correspondant au cas où la forme /se réduit à ixYo — i^oY-

Nous venons de parler de ces groupes dont l'étude générale a été faite par AI. Poincaré et qui ont été appelés par lui groupes fuclisiens. Un tel groupe est formé de substitutions linéaires fractionnaires qui transforment toutes en lui-même un certain cercle fondamental; de plus, il est discontinu, c'est-à-dire qu'étant donnée une valeur arbitraire de =. toutes ses transformées par les substitutions du groupe en diffèrent d'une quantité linie. Le premier exemple d'un tel i;roupe avait été donné |)aila liiéiirii' «les fonctions modulaires.

Après avoir lu le Mémoire de .M. Poincaré sur les groupes fuclisiens, je me demandai immédiatement s'il existe des groupes discontinus contenus dans le groupe linéaire à deux variables, c'est-à-dire dans le gi-onpe des -ubsliuitions relatives aux variables u et c de la forme

/ o' u -\- b' i' -h c' a" Il + b" i' -\- c" \

\ au -(- OC -)- C au + b\' -h c I

l'ii seul exemple d'un tel gron|ie. mais bien peu utile, s'olli-iil ii l'esprit, celui <lu groupe à quatre périodes, formé de quatre substitutions de la forme ( //, c, « -4- x, f -i- p). Aucun exemple analogue au groupe modulaire ne se |)résenlait, et il n'\ avait rien ii demander sui' ce point à la

( 36 ) lliéorio (les Ibnctions abolicnnes, (ont au moins sous sa forme classique. Par quoi, d'aillours, se trouverait remplacée ici la condition imposée aux substitutions du groupe fuclisien, de conserver un certain cercle? C'est alors t|ue la pensée de recourir aux formes quadratiques ternaires à indéterminées conjuguées vint me tirer d'embarras (44). Soit

/(.r,r, :,a-„. Ko. ^o)

une forme iniadrali(|iie ternaire iiuléfinie à indéterminées conjuguées; si

l'on pose - ^u, ~ = c. l'équation / — o représentera, dans l'espace à

(|nalre dimensions correspondant aux deux variables complexes u et c, une certaine surface il à trois dimensions. Cette surface 1 joue le rôle du cercle (le tout à l'Iieure, et j'appelai groupe /ivperfuc/isien tout groupe linéaire discontinu transformanl en elle-même la surface i. Au point de vue algébrique, la forme/ peut toujours être transformée, par une substitution linéaire, en la forme ±.(^xxa+ yya — ^^-o) ^t' P'**'" suite, la surfiice Z être ramenée à Vhypersphére, représentée par l'équation

Dans le cas des groupes fucbsiens, il n'y a pas, au point de vue du groupe, de distinction essentielle à faire entre l'intérieur et l'extérieur du cercle fondamental. Il s'en faut de beaucoup qu'il en soit de même dans le cas actuel; c'est seulement à l'intérieur de l'iiyperspbère que l'on pourra, en général, affirmer la discontinuité du groupe. Pareilles différences se rencontrent quand on veut distinguer en substitutions elliptiques et hyperboliques les substitutions précédentes. Celles-ci ont, en général, trois points doubles; dans le cas d'une substitution elliptique, un des points doubles esta l'inférieur de l'hypersphère et les deux autres à l'extérieur, et, dans le cas d'une substitution byperbolique, deux des points doubles sont sur la surface de l'hypersphère et le troisième à l'extérieur.

Les considérations (|ui précèdent sont purement algébriques; nous n'avons indiqué jusqu'ici aucun exemple de groupe hyperfuchsien : rien même ne prouve l'existence de tels groupes. Mais rappelons-nous maintenant l'étude arithmétique faite sur les formes quadratiques binaires à indéterminées conjuguées. Ces formes nous ont conduit à une classe de groupes fucbsiens; nous devions donc penser que les formes quadratiques ternaires à indéterminées conjuguées nous conduiraient pareillement à une classe de groupes hyperfuchsiens. C'est ce qui a lieu en effet, et nous avons

( 37 ) développé celle étude dans dillcii-iils Mémoires, (')I), (.")2 ) e( (53). Les coefficienls de la l'orme |iciivfiil, d'iine manière générale, élrc supposés des entiers compIcM's rmiiics avi'c les racines d'une équation du serond degré à coellicienls entiers et à discriminant négatif. Bornons-nous à parler du cas où ces entiers sont a -H bi. A la forme iru/c/i/iic/nous associons une Ibrme délinie o dé[)eri(lant de deux paramètres complexes ^ et yj, assujettis à rester à l'intérieur de l'iiypersplière de rayon un. C'est en ellecluant \ii ré- (lucilon continuelle de la forme o que l'on se trouve amené à partager l'intérieur de l'Iiypersplière en un réseau indéfini de polyèdres remplissant une seule fois son volume, et l'on passe d'un polyèdre à un autre par une sultstitution linéaire (fractionnaire ) elfectuée sur H et r,. Ces sultstidilions en nomltre intini forment un groupe : c'est un groupe livperfuclisien. Cigroupe sera compli-tement caractéi'isé par un de ces polyèdres. In point très important, résultant de notre étude, est que chacun de ces polyèdres (i un nombre limité (mais au moins un) de points communs avec la surface de r/ivpersp/icre. La véritable raison de ce fait est que zéro peut être représenté |)ar toute forme tertiaire indéfinie à indéterminées conjuguées. On sait, d'après Gauss, qu'il n'en est pas ainsi, en général, pour les formes ternaires réelles. .Après avoir donné ces exemples très étendus dégroupes liyperfuchsiens, nous sommes bien assuré de l'existence de tels groupes; mais il ne faut pas oublier que, dans tous ces exemples, le polyèdre fondamental a un ou plusieurs points communs avec la surface de l'hypersphère limite. Il existe cependant des groupes hyperfuchsiens pour lesquels le d(»maïue fondamental n'a aucun point commun avec la surface de l'Iiypersplière; nous en donnerons plus loin quelques-uns qui nous ont été fournis parla série bypei'géométrique de deux variables. Quant à la genèse générale des groupes hyperfuchsiens, on se rend aisément compte, après les travaux de .M. Poincaré sur les groupes fuchsiens, qu'elle constitue, comme chez ces derniers, un problème qui est uniquement d'ordre algébrique; mais, toute représentation géométrique faisant défaut, cette recherche directe serait tellement pénible qu'elle est réellement impraticable.

Parmi les généralités rcdalives aux grou|)es hyperfuchsiens, je signalerai la notion capitale des ordres de connexité. A chaque groupe fuchsien correspond un nombre /j que M. Poincaré appelle \q genre du groupe. On doit, dans la théorie des groupes hy|)erfuclisiens, distinguer deux nombres fondamentaux p, ei p.^, répondant aux annexions du preniiei' et du sei-ond ordre du groupe; quant au nombre />3, répondant à la contiexion du troisième ordre, il est égal à/;,. Voici la définition précise de ces nombres : soit 0 un |)oly('(lre fondamental du groupe; ce domaine -i (|iia(r<' dimensions

( 38 ) est limité par certains espaces à trois dimensions dont les points se correspondent respectivement deux à deux par les substitutions fondamentales du groupe, et devront, dans ce qui suit, être considérés comme confondus. C'est ainsi que nous disons qu'un espace à m dimensions {m<C, 4) contenu dans 0 est fermé, quand les points où cet espace rencontre la limite de o se correspondent deux à deux; un espace fermé peut nécessairement alors se composer de parties distinctes : nous ne considérons d'ailleurs que des espaces ne se coupant pas eux-mêmes. Un ou plusieurs espaces fermés à m dimensions constituent le contour d'un espace à (/n+ i) dimensions contenu dans o, quand, par ces espaces à m dimensions, on pourra faire passer un espace fermé à (m -h i) dimensions, dont ils limitent une partie. Ceci posé, si l'on peut imaginer dans o un nombre />,„ d'espaces fermés à m dimensions qui ne puissent pas constituer le contour d'un espace fermé h(m-\- i) dimensions, mais tel que tout autre espace fermé à m dimensions puisse constituer avec une partie d'entre eux ou avec tous le contour d'un espace fermé à (m -+- i) dimensions contenu dans o, nous disons que le domaine 0 a une connexion de m""'"" espèce d'ordre /),„-f- i ; en faisant w = i, 2, 3, on a les nombres dont il a été parlé plus baut et, comme je l'ai dit, p, est égal A Pi-

L'étude des groupes fucbsiens épuisait la recbercbe des groupes discontinus pour le cas d'une seule variable; c'est qu'en effet, dans ce cas, la seule substitution birationnelle étant la substitution linéaire, la tbéorie des groupes discontinus est contenue tout entière dans la célèbre théorie de !\I. Poincaré. I-e problème est bien plus étendu dans le cas de deux variables; ici les groupes linéaires ou hyperfuclisiens dont nous venons de parler ne forment que le premier terme d'une suite indéfinie. Il y aurait lieu de faire l'étude des groupes discontinus dont les substitutions sont birationnelles; c'est un problème que je n'ai pas encore approfondi dans sa généralité : j'y reviendrai quelque jour. Mais j'ai toutefois étudié un nouveau cas particulier, qui est, en définitive, un groupe quadratique, difféicnt par conséquent essentiellement du cas hyperfucbsien ; j'ai donné à ces groupes le nom de groupes hyperabéliens, et c'est encore |)ai' des considérations aritbméti([ues que j'ai été conduit à les envisager; c'est ce que je vais indiquer.

Laissons de côté maintenant les formes à indéterminées conjuguées et revenons aux formes réelles. Considérons (ôo) les formes quadratiques réelles à quatre variables et, parmi celles-ci, les formes indéfinies qui, mises sous la forme d'une somme algébrique de quatre carrés, présentent deux fois le signe plus et deux fois le signe moins. A une telle forme nous

( 39 ) associons une l'ornit' détinic rtiileinKinl ilcux païainèlres comploxfs cet r,: ici, dans ces paraniètics, les coeriicicnls tle \ — i doivent être supposés positifs. (>'esl encore la réduction continuelle de celte forme définie qui nous conduit au jjroupe cherché. L'ensemhie des deux <lenii-p!ans relatifs aux variahles ^ et y) se trouve subdivisé en un réseau infini de régions remplissant une seule fois cet espace à quatre dimensions, et l'on passe d'une région ii une autre par une substitution de i'iino ou l'anlrt' forme :

/. az,-h b a'rt -h b' \ Y ' cl + d' c'rt-i-d'J'

[c,rt, Ç, -7^ krr )•

(Jn voit que IDn a ainsi un lype de itnuipe tout à fait distinct du groupe liyperfiicbsien. et la dillérence n'est pas seulement dans la forme analyliijue de la substitution, mais aussi dans le fait qu'il y a deiir limites au lieu d'une seule au domaine naturel du groupe.