II. — Groupe de transformations

Sous la dénomination que je viens de transcrire, l'ilhisfre géomètre norvégien Sophus Lie a fondé, dans ces dernières années, une théorie entièrement neuve, qui est incontestablement appelée à jouer un rôle capital dans diverses parties du Calcul intégral. Au point de vue des généralités théoriques, M. Lie a laissé seulement à glaner aux lecteurs de ses beaux travaux; il n'en est pas de même })our ce qui concerne le champ des applications qui est extrêmement étendu. On verra plus loin que les points de vue de M. Lie m'ont été très utiles dans la théorie des surfaces algébriques; ils m'ont permis de même d'aborder une question fort intéressante concernant les équations dilférentielles linéaires (42) et (56).

Les analogies entre les éfjuations différentielles linéaires et les équations algébriques ont été depuis longtemps signalées. On n'a pas cependant, à ma connaissance, cherché à développer pour les équations linéaires une théorie analogue à celle qui a été donnée par Galois pour les équations algébriques. J'établis une proposition qui semble correspondre au théorème fondamental de Galois, et je suis ainsi conduit à la notion de ce que j'appelle le groupe de transformations linéaires correspondant à l'équation différentielle. J'emploie cette expression de groupe de transformations dans le même sens que

( .'.o ) .M. Lie; ii ne faut pas confondre ce groupe avec ce que l'on appelle généralement le groupe de l'équation linéaire. Soit une substitution linéaire effectuée sur m lettres ■»',, y.^, . . ., y,„

V,= On y, -f- «,2,1-2 + . ■■+a„„y„„ , V.,=; nr,, V, -t- -t- rt»,„ ■)■„,,

Y„,= rt«,i.l'l-î- -^ «,„mjm.

Supposons que les a soient des fonctions algébriques d'un certain nombre de paramètres arbitraires. Si, donnant à ces paramètres deux, systèmes de valeurs arbitraires, on obtient, en multipliant les deux substitutions ainsi formées, une troisième substitution qui soit de même forme que les deux premières, c'est-à-dire qui n'en diffère qu'en ce que les paramètres ont un troisième système de valeurs, nous dirons que la substitution (S) définit un groupe de transformations.

C.onsidère-t-on maintenant une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels et à intégrales régulières, dont r,, r^, . . ., y,,, désigneront un système fondamental d'intégrales, on a la proposition suivante qui est l'analogue du théorème fondamental de Galois dans les équations algébri- (|ues :

// existe un groupe G de transformations linéaires jouissant des propriétés sunantes :

Toute fonction rationnelle de x, (/e v,, Vj, . . ., v,„ et de leurs dérivées, s' exprimant rationnellement en foncti)n de x, reste invariable quand on effectue sur y,, Vo, . . ., y,„ les substitutions du groupe G.

A ce théorème il faut joindre sa réciproque :

Toute fonction rationnelle de x et de v, , y.,, ..., y,„, ainsi que de leurs dérivées, qui reste invariable par les substitutions du groupe G, est une fonction rationnelle de X.

La question se pose maintenant de la recherche des groupes de transformations linéaires algébriques, tels que G; c'est un problème qui n'offre pas de difficultés théoriques, mais les calculs présentent de grandes complications. Je les ai développés seulement dans un cas particulier d'ailleurs fort étendu; ce cas est celui où, en désignant par A,(/), A.,(/), . . ., Ar(/) les /• substitutions infinitésimales du groupe, le crochet (A,, A,va) <?ï*t ime fonction linéaire de A,, A. A,va i- Nous indiquons ainsi en particulier

Ions les j;i'oii|t('S iili^clii ii|iirs ilc (liiiislbiriialiuiis ii diii.v |)iiraiiii'lrcs. Ajoii-

loiis oiu'oro (l'mic iiiimit-rc jiéiirralc (|ii(' l'i'liidr du i^rdiipc de Iransloi'inatioii

d'une i'(|iialiuii liiu'aiie os( intiiiicineiit liée ii la reiliciTlic des pnlyiiAiiies

<Iy\ <ly,„ rf'"-' y. (l">-^ y,„ , .

•'Il V,. 1' v,„; ; -. ■ ■•> -7—. • • ■> ■ ,„•,-. •■ •. , „; , 1 (iiii se retiiddiii-

sent, à nu faetenr piés, ijuand (in ellVelne snr les v un ciiM'inhlr di' Milislit niions linéaires.

Plusienrs gronpes de liaiisidiiiialions iilïieiit iiii i;i;iiid iiiliTel !;é(iniétriquo; nn exemple des plus simples est donné par la Milisliliilinn linéaire

( :;, "77 -, )> où les coeftieients (t, b. c, d sont ré(ds et où ad //(.('sl pdsilif;

i-elte snlislilntion tianst'oiine en Ini-méme le demi-plan silné d'un eùlé de l'axe des (|nantités réelles, .l'ai voulu liouver(.JO)une siihstilnlion analogue, relative ii l'espaee, transformant en tdle-méme la portion de l'espace située lin même eolé d'un plan. A ee( elle!, j'ai i('mar(|ué (|ne la transformation d'un deini|)lan [r. y) l'cvenail à une substitution linéaire effectuée sur les varialdes \, V, de la forme (piadrarKjiH'

pareillemeiil, en pienani [lonr poini de (léj)art la forme à indéterminées conjuguées

où « ^ ,r + ly, toute substitution linéaire effectuée dans celte forme snr X et Y revient à une transformation iclative aux points (ar, r, :;) situés du même côté du plan 3 = o. Je croyais cette transformation nouvelle, (juand je me suis aperçu qu'elle coïncidait avec celle dont s'était occupé M. i*oincaré dans son Mémoire sur les groupes kleinéens, et (|u'il avait obtenue par une voie géométrique. La méthode que j'ai suivie donne immédiatement la généralisation du groupe modulaire : on obtient ainsi nn groupe discontinu dans lequel le demi-espace se trouve divisé en une inlinité de polyi'drcs ii faces spliériques; ce groupe provient des substitutions, ii coefTicienIs entiers complexes et de déterminant un, eirectuées sur la forme ci-dessus.

l'ne antre recherche se rattachant à la théorie des groupes est purement ai'illimélitjue(.'î3); elle trouve son origine dans l'étude de la transformation de fonctions abéliennes spéciales du genre trois, dont je parlerai dans la théorie des fonctions. l'aitons de la forme (|uadrali(|ue ternaire à indéterminées conjuguées

xy„ -t- x„ ^>' + zz^, I'. . ^ ^

ot considérons IVnsemblo des substitiilioiis à cocnk-uMits entiers complexes lormés avec les racines cubiques de l'unilé, reproduisant la forme précédente à un f;\cteui' constant près Â-, ce nombre sera nécessairement un entier réel, et, de plus, il doit être la noi'nie d'un nombre complexe formé avec les racines cubiques de l'unilé, c'est-à-dire un nomlue de la forme a^ ^ al) -h b-. Ces substitutions ne forment bien évidemment un i;roupe que si X- = i; nous désignerons ce groupe par C Je définis, comme é{|uivalenles, deux subslilulions S el S' correspoiidanl l\ la même valeur de /■, si l'on a

T élanl une substitution du groupe G. Le nombre /■ étant donné, une (|uestion Iri's importante se présente pour la théorie de la transformation des fonctions abeliennes à laquelle je faisais tout à l'heure allusion : c'est la dctcmiirxiiion du nombre des systèmes non éqith-alenls. Je la traite en supposant que k soit un nombre premier; le nombre cherché est égal à

Le groupe G joue encore le rôle essentiel dans le travail suivant (35) qui se rappoite h un point de vue sous lequel on ne considère pas habituellement la théorie des formes algébriques. Généralement, dans cette théorie, on suppose que l'on fait sur la forme une substitution quelconque. Quand il s'agit de la théorie arithmétique des formes à coefficients entiers, ce sont des substitutions quelconques à coefficients entiers que l'on emploie. Il peut arriver cependant que, pour certaines formes, la théorie arithmétique puisse être développée en faisant seulement sur les variables des substitutions linéaires formant un groupe spécial. Ainsi, dans ses recherches sur la transformation des fonctions abeliennes, !\L Hermile a été conduit à étudier certaines formes quadratiques réelles à quatre indéterminées dont la théorie peut être développée comme je viens de le dire. La considération du groupe (î conduit pareillement à isoler des formes qiuidratit/ues ternaires générales (à coefficients complexes) certaines formes parlieiilières.

Soit la forme quadratique ternaire

et désignons la quantité conjuguée de chaque coefficient parla même lettre accentuée; supposons qu'entre les coefficients de F existent les relations

a,b:^-\- b\a,-\- b^b\^o, a'^b.i-+- b'^ bi-+- b\a3^o, a, b\ -+- bz b\ H- bi a'j = o.

( Vi )

si l'on l'ait sur I' une siii)>linili(in linraiic a|)|)ai(('iiaiil an i;rou|)0(;, k-s (•(iflliriciits (11' la nDiivcllc loriiH' salisfcroiil aii\ iiirrni-s rclalions. On voit iloiu" qu'on peu! isoler, en (|nolquo sorte, les l'oiincs {•" des (ornies générales il trois indéterminées, el l'on devra les eoniparer entre elles par les substitutions du iironpe (!. On |teut alors se |)oser, sous ce point de vue, le |)rohlètne de l'éiinivalenee aritliniéti(|ne de ees l'ornies. avec les différentes questions (|ui viennent ii la suite.

DEPARTMENT OF MAT UMlVCR<;iTY OF TO)

TI{OISiKME cihiMini:.

TIIKOIUI-: DES FONCTIONS.

On (U'sigiio génoralt'iiKMil aujourd'hui, sous lo nom de thcoric des fonctions, la théorie des Ibiu-tious analytiques de variables eomplexcs ; c'est actuellement un des chapitres les plus importants de l'Analyse mathémati(jue. l'aile doit son brillant essor à la découverte de (|uel(jues propositions générales, parmi lesquelles se trouvent au premier rang les théorèmes de Cauchy sur les intégrales prises le long d'un contour. Ces lois générales des fonctions analytiques, appliquées à des fonctions spéciales, donnent souvent, avec la plus grande facilité, leurs |)iincipales propriétés; la tliéorie (les fonctions doublement périodiques en odVo un mémoi'aljle exemple. L'application de ces lois constitue une méthode .synthétique qui tend de plus en plus à réduire les calculs ; avec ce secours, bien des pi-obli'nns nouveaux peuvent être abordés, et des résultats auxquels avait conduit une longue série de transformations de calcul nous apparaissent souvent avec évidence. Nous avons en même temps le sentiment profond d'avoir la vraie raison d'une proposition particulière, (piand muis pouvons la rattacher à quelque théorème général? Poinsot disait (|u'il faut étudier les choses directement et en elles-mêmes; il voulait dire sans doute (|u'on doit chercher ii les lallarlicr le plus directement possible aux ]iriii(ipes généraux. La Science actuelle des fonctions souscrit pleinement ii cette pensée du célèbre auteur de la théorie des couples.. J'ai cité [dus haut les dottJ, fonctions doublement périodi(|ues ; la façon Riemann pose et résout, dans sa Dissertation inaugurale, le problème des intégrales abéliennes n'est pas moins digne d'être méditée, comme exemple d'une élude synlhéliqiie dans la théorie des fonctions.