I. — Théorèmes généraux

I.;i ihéorio des foiictioiiâ uniformes a fait, en iH^ii, l'oljjct d'un travail eousidérable de 31. Weierstrass (Mémoires de V Académie de Berlin, 1876); c'est à la suite de la lecture de ce Mémoire que je commençai à m'oceuper de la théorie générale des fonctions uniformes, dans la pensée de compléter (luelques-uns des résultats de l'illustre géomètre.

Mes premières recherches portèrent sur les fonctions entières (13); j'entends, avec M. Weierstrass, par fonction entière une fonction uniforme et continue dans toute l'étendue du plan de la variable z-, commee^et sin :;. Une question importante était jusque-là restée sans solution, celle du nombre des racines de l'équation qu'on obtient en égalant à une constante une fonction transcendante entière d'une variable. Il peut arriver, en désignant par G(::) une fonction entière, que l'équation G(:;) = rt, n désignant une constante, n'ait pas de racine. L'expression e^-f-a, par exemple, ne devient jamais égale à a. Considérons donc, d'une manière générale, une fonction G(^) ne devenant jamais égale ti a, pour une valeur finie de z. Je me suis proposé d'établir qu'il ne peut exister une seconde valeur finie b, différente de a, que ne puisse prendre G(r) ; en d'autres termes, il ne peut V avoir plus HCiine valeur finie que ne soit susceptible de prendre pour une valeur finie de la variable une fonction entière. Nous montrons, en effel, (lii'une fonction G (z) qui ne deviendrait jamais égale ni à a ni à h serait nécessairement une constante.

La démonstration de cette proposition olfre l'exemple bien curieux de l'introduction d'une transcendante spéciale dans une question concernant la théorie générale des fonctions. 3Ialgré bien des efforts, il m'a été impossible d'arriver par une voie plus élémentaire à une démonstration complètement rigoureuse du théorème énoncé.

La transcendante dont il s'agit est le rapports des périodes de la fonction elliptique considéré comme fonction du carré ,r = X-- du modèle k. Cette fonction w de .x- admet les trois points critiques 0,1 et oc, et le coefficient de i dans cette fonction mise sous la forme ordinaire des quantités complexes est toujours positif. Supposons maintenant, ce qui est évidemment permis, que les quantités a et 6 soient respectivement zéro et un. Nous remplaçons dans to {x), x par G(:;), et c'est l'étude de cette fonction de z, que nous montrons ne pouvoir être qu'une constante, qui nous conduit au résultat énoncé.

(ii'tic idiT lie lu siili>tiliiliiiii, (l;in> une li:ilisrciiil;iiil(' imiiiv en;!!!!!', (riiiic Ibnclion tli" :, doiil on voiil rliulier les propiiélés, ust souvciil récdiidc : flic nous a oiu-oro linidt' dans plusieurs auli'i-s oirconslanrcs, comme on le voira [dus loin. ï.es démonslradons aux<iU(dles on esl ain>i idiiduit jxmivimiI d'ahoi'd |)arai(ro détournées; je les crois au contraire au>si nalurelles <|iir possible. Ainsi, pour ce qui concerne le lliéorème précédriil, l'inversioii de la fonction (■>(v) donne naissance à une fonrtiou unif'onnr, delinic snilcment dans une moitié du plan, cl ne |iouvanl |irriidr-e, dans la réirimi en dehors de la(|uelle ou ne peut la proloiiij;er, ni la valeur zcro ni la valeur iiit : il est ilonc naturel de recourir à cette l'onction (|ui odVe un exemple île la circonstance dont ou se propose précisément de dcrnontrcr l'inipossiliiNlr pour les fonctions entières.

On |)eul énoncer un théorème aualoi;ue pour les lomiions uuiioi'mes/(; ) n'ayant dans toute l'étendue du [ilan «[ue des pôles, d'ailleiiis eu nomhrr (|uelcon(|ne, lini ou intini (taiii;; oll're l'exeniple d'une Icllc tonclion ). Tandis que, pour les fonctions entières G(; ), il ne priit v avoii' plus t\'i//ic valeur linie (|ue ne puisse prendre la fonction jKMir une valeur finie df la varialtle, nous a\(Jiis pour les lomiions /'( r ) le lliciiri'UU' siii\ant :

Jl ne peut y avoir plus de deux valeurs finies que ne /luissp prendre une telle fonction pour une valeur finie de la variable.

Uevenous aux f(Mn'tions entières. \ous n'avons examiné plus haut (|ue le cas oii les ('(jualions n'auiaienl pas de l'acines; la même (|uesliou se pose ensuite en supposant (jue les racines soient en nomhre limité. Nous montrons qu'il no peut y avoir plus d'une valeur finie a pour huiuelle l'équation G(-) = rt, G(;) étant une fonction entière, ait seulement un nomhre limité de racines, à moins que Gfs) ne soit un polynôme, ou, en d'aud'cs lermes ( lô),

a et h désignant deux quantités finies, G(;) est un polynôme si les écpialions

n 'ont l'une et l'autre qu'un nombre limité de racines.

La démonstiation de ce théori-me est délicate ; niuis ne pouvons en donner qu'une idée.

Nous nous sommes servi précédemment de la fonction cHi|iti(|ne uuidiilair'c; nous avons du ctnpioycr ici une transcendante un peu ilill'ercnle.

( |8 ) (|iuii(Hii' prt'M'iilaiil avec la premioro une graiulo analogie. Il existe une l'onction lo de la variahlc r n'ayant dans tout le plan que les trois points (*riti(|ues o. i et x, e( telle que. en faisant son inversion, on obtienne une l'onetion uniforme dans le demi-plan cl invariable pour les substitutions du groupe modulaire. Cela posé, en supposant que les quantités a et b de l'énoncé soient respectivement zcro et ii/i, je fais, dans la fonction oj(('), f = ('■(-), ol j'étudie celte lonclion de z

C'est cette étude (jui nie conduit au tbéorèmc que je viens d'énoncer; je montre, en elïet, que quand z se rapproche du point oo d'une manière (]uelconque, il y a une des déterminations de la fonction précédente qui est infiniment grande. De la relation inverse G(^) = t'(to), on conclut alors que le module de Ci(r.) augmente indéfiniment de quelque manière que :; se rapproche du point ce ; et de là se conclut que G(:;) est un poly-

nôme.

Si maintenant nous considérons, comme plus haut, une fonction /(z), uniforme dans tout le plan avec des pôles en nombre quelconque, nous démontrons ce théorème :

S/ ies trois équations

OÙ a, b, c sont trois constantes différentes, n'ont qu'un nombre limité de racines, /(z) est une /onction rationnelle de z.

Les théorèmes qui précèdent nous renseignent complètement sur les circonstances exceptionnelles dans lesquelles une équation transcendante peut n'avoir point une infinité de racines. Les méthodes suivies m'ont, de plus, donné facilement la solution d'une question extrêmement intéressante, à laquelle j'arrive maintenant.

M. Weierstrass, dans son célèbre Mémoire sur les fonctions analyli(|ues uniformes, partage en deux classes les points singuliers d'une fonction unil'orme : ce sont lespô'es et les points singuliers essentiels. Soit A un point singulier essentiel isolé de la fonction /(.r) (nous entendons par le mot isolé. qu'on peut décrire autour du point A comme centre, un cercle ne comprenant à son intérieur d'autre point singulier essentiel que A). ,M. Weierstrass a montré que, dans le voisinage du point singulier A, la fonction s'approche aniani (|ue l'on veut de toule valeur donnée, c'est-à-dire que, élant donnés

( ll) I

lieux iKiiiihics z cl i aiisM [n'iils (|ii'(m v<Miilia, oii pciil (ioiivit ii riiilçi-iciir «lu l'i'iclf ayaiil A pour cciitro et : pour rayon un poiiil pour locjui'l le iiio- <lul(' i]c/(.r) — a soit uioiudro (pio s, a dcsignaul une constante (|uel- (• Mi([ue. Ce tliéorèmc ne nous apprenait rien sur les valeurs exactes de la fonction dans le voisinaj^e du point singulier; j'ai réussi à montrer ipi'il y a toujours dans le voisinage de A un nombre infini de points pour lesquels /"(.i) devient rigoureusement égal à a, une exception pomanl seulement se produire pour deux l'oleurs particulières de a.

De ce théorème résulte une classification pour les points singuliers essentiels isolés d'une fonclion J\x). On peut les partager en trois classes :

1° La fonction /(a-) peut prendre sans exception toutes les valcuis i|uc l'on voudra dans le voisinage de A.

2° Il peut y avoir une valeur exceptionnelle que la fonction ne prendra pas dans le voisinage de A.

3** ZJfKa- valeurs exceptionnelles peuvent enfin se rencontrer.

C'est ici le lieu d'énoncer un théorème sur les courbes algébriques, au- (|uel nous avons déjà fait allusion dans le Chapitre I : Toutes les transformations hianiformes d'une courbe en elle-même, ne possédant que des singularités essentielles isolées, sont nécessairement des transformations birationnelles .

On connaît l'importance de l'admirable théorème de M. \A'eierstrass sur la décomposition des fonctions entières en facteurs primaires; c'est là certainement le point capital dansle^Iémoire que nous avons cité plus haut. Je me suis proposé (20) d'étendre ce théorème aux fonctions uniformes G{z), continues pour tous les points du plan, à l'exception de ceux qui sont situés sur un cercle C; la fonction peut avoir sur ce cercle une infinité de points singuliers essentiels distribués d'une manière quelconque. Nous considérons donc une suite indéfinie de quantités A se rapprochant indéfiniment du cercle C; l'extension du problème de Weierstrass, c'est-à-dire la formation d'une fonction holomorphe (sauf sur la circonférence C) admettant les points A pour racines se fait assez aisément. Toutefois, dans le cas actuel, la décomposition en facteurs primaires des fonctions G(-) présente une indétermination, qui lui donne un caractère tout autre qu'à la décomposition des fonctions entières. Citons l'exemple suivant qui se rattache à la théorie des fonctions modulaires; soit l'expression générale des racines donnée par

a, h, c, d étant des entiers réels satisfaisant à ad — Ac = i ; le rayon du P. 7

ccrclo est ici og;il à l'iiiiito. On pourra preiulic

^<=' = nB-n'^' "^ " = OT

Dans ce produit infini, (/, /j, r, (/prennent toutes les valeurs entières satisfaisant à la relation indicjuée.

M. Weierstrass avait encore dans son .Alénioire donné la forme analvtique de toute fonction ayant un nombre fini de points singuliers essentiels et des pôles en nombre quelconque. Toute cette théorie peut, avec des modificalions bien simples, être étendue aux fonctions uniformes possédant un nombre fini n de coupures que j'ai supposées rectilignes (39). Tout d'abord, si une fonction est continue pour tous les points du plan en dehors des coupures, nous montrons qu'elle est la somme de n fonctions ayant chacune dans tout le plan une seule coupure. Une seconde proposition nous était nécessaire pour pouvoir arriver à la forme générale d'une fonction ayant /z coupures et des pôles en nombre quelconque : c'est le théorème relatif à la décomposition en facteurs primaires.

Nous montrons comment on peut former une fonction uniforme continue dans tout le plan, à l'exception d'une coupure, et admettant une suite infinie de racines se rapprochant indéfiniment de la coupure. Les deux propositions précédentes permettent d'étendre immédiatement aux fonctions uniformes affectées de coupures les diverses propositions données par y\. Weierstrass pour les fonctions n'ayant qu'un nombre limité de points singuliers essentiels. Les problèmes de ce genre peuvent être beaucoup étendus, et dans son grand travail sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes d'une variable indépendante, digne continuation des travaux de son illustre maître, M. Mittag-Leffler a pour ainsi dire épuisé la question; le savant géomètre de Stockholm veut bien reconnaître dans son Mémoire que j'ai, le premier, étendu la théorie des facteurs primaires aux fonctions ayant des lignes de discontinuité circulaires.

Nous arrivons maintenant ii une proposition générale d'une tout autre nature; elle est relative aux fonctions uniformes d'une variable liées par une relation algébrique. Deux fonctions uniformes d'une variable, ayant des points singuliers essentiels, peuvent être liées par une relation algébrique ; telles sont deux fonctions doublement périodiques. J'ai d'abord supposé (41) que les deux fonctions, uniformes dans tout le plan, avaient des pôles en nombre quelcon(|ue et un nombre fini de points singuliers essentiels.

Diins ci's roiidiliniis :

Si/ r.iis/f enliT as deii.v fondions une rrhilion (tlnvl)n<iiic. le genre de eeiir relation doit être zéro on un.

Celle l'oriiie (le l'éiioneé osl liop i oliciulc. cl vdici. smis s;i Inrine hi plus ij;L'iu''raIe, le tliéorèmo que j'étahlis :

Si entre deux fondions analytiques uniformes d'une variable existe une relation algébrique de genre supérieur à l'unité, ces fonctions ne pourront Uioir de point singulier essentiel isolé.

Nous entendons toujours par point singulier essentiel isolé un point essentiel tel que l'avons détini plus haut. Les deux fonctions précédentes devant nécessairement avoir ties points singuliers essentiels, sinon la relati(ui serait de genre zéro, il s'ensuit que ces points essentiels doivent, suivant l'expression des géomètres allemands, former une masse parfaite (eine perfedc Menge), ou former des lignes singulières. Le tliéorème qui vient d'être énoncé a précisément servi à M. Poincaré pour montrer qu'il existait des fonctions n'ayant pas de lignes singulières et ne possédant pas de points singuliers essentiels isolés; un tel exemple est fourni par les fonctions fuclisiennes de genre supérieur à l'unité et existant dans tout le plan. Je viens de parler des fonctions fuclisiennes; elles permettent, comme on sait, d'exprimer les coordonnées d'un point quelconque de toute courbe alsçélu'i(iue par des fonctions uniformes d'un paramètre, et ce résultat n'est pas une des moins belles conséquences de la tbéorie que l'on doit à M. Poincaré. Peut-on espérer d'exprimer, d'une manière plus simple que cet auteur, les coordonnées d'un point d'une courbe algébrique quelconque par des fonctions uniformes? Le tliéorème qui nous occupe permet de répondre négativement à cette question, et vient ainsi encore accroître Tinlérét de la découverte de l'éminent géomètre.

.l'ai donné du tliéorème énoncé plus baut deux démonstrations essentiellement dillérentes : la première s'appuie sur la tbéorie des fonctions fucbsiennes; la seconde consiste à démontrer d'abord le tbéorèmc pour une courbe byperelliptique; elle s'appuie seulement sur la proposition que nous avons précédemment donnée, relativement à la valeur d'une fonction dans le voisinage d'un point singulier essentiel, et l'on passe ensuite aisément au cas général (7<S). Celte seconde démonstration, quoique plus élémentaire, est beaucoup plus artificielle, et, comme je l'ai déjà dit tout à l'beure dans une circonstance analogue, il parait plus pbilosopbique, pour démontrer l'impossibililé en (|iH'slion, de s'adresser précisément aux fonctions

uiiitbrmes réalisant cetlo expression des coorilonnées d'une courbe algébrique à l'aide d'un paramètre.

On ne peut guère espérer trouver des théorèmes généraux sur la forme des fonctions analytiques non uniformes, conçues dans toute leur généralité. J'ai considéré (6) une fonction analytique (uniforme ou non uniforme) d'une variable complexe :, n'ayant dans toute l'étendue du plan ou de la sphère que trois points singuliers; pour toute autre valeur de la variable, celte fonction reste finie et continue, et elle est uniforme dans toute région du plan à contour simple, ne contenant aucun de ces trois points.

Telle serait, par exemple, une intégrale d'une équation différentielle linéaireavec trois points singuliers. Onpeut trouver un développement de la/onction, valable pour tous les points du plan, quelque soit d'adleurs le chemin suivi par la variable. En supposant, comme il est permis, que les trois points critiques soient o, ? et oo et en désignant par w le rapport des périodes de Fintégrale elliptique considérées comme fonctions du carrré z = k- du module, le développement trouvé procède suivant les puissances entières et positives d'une expression linéaire fractionnaire très simple en w, de telle sorte que sa fonction/(:;) peut se mettre sous la forme

/( = ) = lA„(^f

Oiii

a, p, Y et 0 désignant des constantes convenables. Les déterminations multiples de co, quand z décrit un chemin quelconque, nous donnent les déterminations multiples de la fonction. J'avais commencé par traiter la question suivante, qui, quoique très facile, n'est pas sans intérêt : soit/(3) une fonction der n'ayant à l'intérieur d'un cercle ayant l'origine pour centre d'autre point singulier que l'origine; on peut trouver un développement en série de la fonction valable pour tous les points du cercle, et quel que soit le chemin suivi par la variable. Ce développement procède suivant les puissances positives et entières d'une expression linéaire fractionnaire en logs.