II. — Fonctions hyperfuchsiennes et hyperabéliennes

Nous avons défini plus haut les groupes que nous avons appelés hyperfuchsiens; nous devons nous occuper maintenant des fonctions hyperfuchsiennes, c'est-à-dire des fonctions restant invariables par les substitutions d'un groupe hyperfuchsien. .Mais, avant de nous occuper de ces fonctions

irntic manière «rénéi-ale, nous allons exposer les recherches (|iii nous ont (•oiuluità un j)reniier exemple de fonctions iiypcrfuchsiennes.La théorie des lonclions ellipti(|ues avait donné le ^>remier exemple d'une fonction uniforme d'une variahie, ne chauLfeant pas pour un groupe d'une infinité de sulislilulions linéaires non perniutahles, faites sur celte variahie : je veux parler de la fonction modulaire, c'esl-à-dire du module considéré comme fonction du rapport des périodes.

La question se posait de trouver des fonctions de deux variahics indépendantes qui puissent élrc considérées comme les analogues des fonctions modulaires. Il est clair qu'un tel prohième ne peut, de sa nature, être entii'rement déterminé; il s'agissait d'indiquer au moins un exemple.

On pourrait croire, au premier ahord, que la théorie des fonctions ahéliennes est susceptible, d'une manii-re générale, de conduire à de telles fonctions : on reconnaît facilement (|u'il n'en est rien.

Prend-on, par exemple, les fonctions ahéliennes du premier genre, elles conduisent à un svstème de trois modules, fonctions de trois variahles indépendantes. Ces fonctions se reproduisent pour un groupe d'une infinité de substitutions faites sur les variahles; mais ici ces substitutions ne sont plus linéaires. Ainsi donc, laissant nécessairement de côté le cas de deux variables, on passe immédiatement à des fonctions de trois variables, et la forme linéaire des substitutions a disparu.

C'est en étudiant un cas particulier des fonctions ahéliennes du genre trois que j'ai trouvé une extension cherchée. Considérons la relation algébri(|iic de genre trois entre c et «

i-^^ a{it — I ) ( « — •*■)(" — .'■ )

et l'intégrale abélienne de première espèce attachée à cette courbe

Les périodes de l'intégrale \\ , considérées comme fonctions de x et v, satisfont à un système de trois équations linéaires simultanées aux dérivées partielles, ayant trois solutions communes linéairement indépendantes. Soient w, w', w" de telles solutions. Si l'on pose

les valeuis de x et )' résultant do cette inversion sont des l'onctions uniformes de II et V.

Toiles sont les fonctions de deux variables indépendantes, qui ofTrentune grande analogie avec les fonctions modulaires; elles offrent un type essentiellement noiaeait de fonctions uniformes de deux variables indépendantes.

Os fondions ne sont pas définies pour toute valeur de u et <•. En choisissant convenablement les trois solutions w, xr', \v'\ nos fonctions. r et t ne sont définies, si l'on pose u = u + iu", r:= v' -h iv", que pour les valeurs de // et (• satisfaisant à l'inégalité

(D) 2v'-h ll'--h II'- <o.

Si nous désignons par le mot domaine ï) l'ensemble des valeurs de u et (vérifiant l'inégalité précédente, on peut dire que les fonctions j" et v ne peuvent pas être étendues au delà du domaine D.

Ainsi, de même que la fonction modulaire n'est définie que pour les valeurs de la variable situées dans un certain domaine (c'est habituellement la partie du plan située au-dessus de l'axe réel), ces transcendantes ne sont définies que pour le domaine D. De plus, il existe un groupe de substitutions linéaires pour lesquelles les fonctions considérées restent invariables; ces substitutions sont en nombre infini, et deux quelconques d'entre elles ne sont pas permutables. Nous avons donc un exemple de fonctions transcendantes uniformes de deux variables, obtenues de la manière suivante : soit un système d'équations linéaires simultanées aux dérivées partielles

irz= ap -i- bq -+- cz, s = a,p-hb,q-hC,z, t =z a.2p -i- b,q -h c^z ,

OÙ les a, h, c sont des fonctions algébriques de deux variables indépendantes j:- eiy. Ces équations ne peuvent avoir plus de trois solutions communes linéairement indépendantes; supposons qu'elles existent efifectivement, et désignons-les par w,, co^, co.,. Les cas où les équations

ou C.)^

donnent pour x et v des fonctions uniformes de u çl v conduisent à des fonctions uniformes de deux variables, analogues à ces fonctions uniformes d'une variable, obtenues par l'inversion du quotient de deux solutions d'une é({uation linéaire du second ordre, et sur lesquelles >I. Fuchs a le premier a|)pelé l'attention.

Eclairé par l'exemple précédent et après avoir acquis la notion générale

lit' uiDiipi' li\ |)('rriK'lisi('ii, l'oiiime je l'ai ox|)li(|U('' au ilciixiènic (;iia[)i(n', jr pus traiter le [X'dhlèuie tténéral des i'onclious li\ |)eil'uclisienues. (!(iiiuue il a etédit, le i^ioupe \y,w iiy|i()tlièse est disronlinii ;i l'intéiieur d'une livpersplii'i'e l'oudaiiieiilale; on peut alors loruier dos l'onelions unilornies à rintérieur de l'hypersplière et se reproduisant quand on elleclue sur les variables une snhslilulion (|neleon(|UC du groupe : ce sont \e^ fonctions hyperfuc/isiennes. J'en lais l'élude dans l'Iiypotlièse où le domaine Ibndamenlal du tjroupen'a aucun point commun avec l'hypersplière ou a seulement avec elles un nombre limité de points communs.

Nous montrons d'abord qu'// existe entre trois/onctions hypcrfuclisienncs une relation a/i^éhriqiie. Ce théorème, facile à établir quand le domaine fondamental n'a aucun point commun avec l'hypersphère, l'est beaucoup moins dans la seconde hypothèse. Dans ce dernier cas, nous avons dû rechercher comment se comporte la fonction dans le voisinage d'un système de valeurs des variables indépendantes correspondant à un sommet. Soit M = a, f = [3 un tel point; la réponse à celte question est dans le liiéorème suivant : La fonction hyperftichsienne est indéterminée pour Il ^ a, r= [i, et elle est une l'onction doublement pério(li(|(ie de la limite

arbitraire du quotient 7—-^- Ce résultat obtenu, l'étude des fonctions peut

se poursuivre aisément, sans qu'on soit arrêté par la présence des systèmes de valeurs singulières.

Toutes les fonctions hyperfuchsiennes correspondant à un même groupe peuvent s'exprimer rationnellement à l'aide de trois d'entre elles, liées d'ailleurs par une relation algébri(|ue.

Dans l'exemple que nous avons donné plus liaul, les fonctions uniformes pouvaient s'obtenir par l'inversion des rap|)orts des intégrales d'un svstème (S) d'équations linéaires simultanées. Toutes les fonctions hyperfuchsiennes peuvent être ainsi engendrées ; que l'on eonsidi-re en eil'et deux fonctions distinctes

formons les trois expressions

"' \/ du t)f ai- ôii ' "' "'' "' "'■

= ,, r.,, =3 peuvent être considérées comme des fonctions de x et y, et l'on démontre qu'elles satisfont à un système d'é(|uations linéaires telles que (S).

A cliaquo groupe liypcifïiclision correspond une surface algébrique /, ou niieuK une classe de surfaces algébriques qui se correspondent point par point. Ces surfaces présentent ce caractère bien remarquable, déposséder en général des intégrales de seconde espèce. On peut trouver l'expression du nombre de ces intégrales linéairement indépendantes, en entendant par là celles pour lesquelles aucune combinaison n'est égale à une fonction rationnelle des coordonnées. Le nombre />,, que nous avons déjà considéré dans la question des divers ordres de connexité d'un groupe byperfucbsien, joue ici un rôle essentiel : le nombre cberché est égal h p,, et le nombre des périodes de ces intégrales de seconde espèce est également représenté par p,.

On voit, par l'énoncé précédent, que la surface /jouit d'une propriété spéciale, et nous en pouvons conclure, relativement aux fonctions byperfucbsiennes, une conséquence qui, pour être négative, n'en présente pas moins un grand intérêt. Nous avons déjà rappelé que M. Poincaré a établi qu'à un groupe fuchsien général correspondait une courbe algébrique quelconque, ou, ce qui revient au même, que les coordonnées d'une courbe algébrique quelconque peuvent s'exprimer par des fonctions fucbsiennes d'un paramètre. Une question analogue se pose d'elle-même pour une surface, relativement aux fonctions hyperfuchsiennes ; ce qui précède nous montre qu'on doit y répondre par la négative. A un groupe byperfucbsien général ne peut correspondre une surface algébrique quelconque, puisque les surfaces correspondant à un tel groupe hyperfuchsien ont des intégrales de seconde espèce, propriété que ne possède pas une surface algébrique prise arbitrairement, comme nous le verrons bientôt.

La théorie des fonctions de seconde espèce s'étend aux fonctions byperfucbsiennes; on peut obtenir des fonctions uniformes $(«,*') qui se reproduisent à un facteur constant près quand on effectue sur les variables une substitution du groupe. Indiquons une application de ces fonctions de seconde espèce; soient

C étant une constante arbitraire, F, et Fo deux fonctions hyperfucbsiennes. Ces équations définissent une fonction y de x, qui satisfait, quelle que soit

la constante arbitraire C, à une équation du premier ordre/Lr, y, -^] = o,

/étant un polynôme. On a ainsi un type nouveau d'intégration d'une équation dillerentielle du premier ordre.

Arrêtons-nous maintenant sur une classe particulière de fonctions byper-

( 57 ) fuchsiennes; ce sont celles i|iii |iiovieiirieii( des séries livperiié()iiiflii(|iics lie lieux vari;il)les (Imil iKtus avons parle |)liis liant.

Dans son beau Mémoire snr l'inté^^Malion algéhiiiine de létinalion linéaire du second ordre, à la(|nelle salisfait la série liyperi;é()niélri(|ue de (Janss, M. Schwarz avait sij,Mialé incidemment un cas particulier remarquable, dans lequel l'inversion du (|uulient de deux intégrales conduisait à une fonction uniiorme; cette fonction, définie seulement à l'intérieur d'un cercle, rentre dans la classe des fondions fuclisiennes. J'eus alors la pensée de Iraiteiune (|uestion analogue relativement ;i la série Iiypergéométrique de deux variables.

Cette l'onction de .v et de v, qui dépend d'ailleurs de quatre arbitraires A, a, b, et h.,, salisfait à un système de trois équations linéaires aux dérivées partielles de second ordre, ayant trois solutions communes linéairement indépendantes. Désignant par w,, coj, co^ trois solutions distinctes

lie ce système, et considérant les équations — = «,— = c, mon but

a été de recberclier les cas analogues à ceux de M. Scbwarz, c'est-à-dire ceux où ces deux é(|uations donnent pour .r et j des fonctions uniformes de u et r. Les conditions trouvées sont d'une extrême simplicité : on trouve qu'en prenant deux quelconques des quatre quantités A, a. />, vt h.,, soit, par exemple, X et />,, la différence A + i, — i est égale à l'inverse d'un entier positif; et ensuite, en prenant trois (|uelconques de ces mêmes quantités, soit A, [xet^,, la dilTérence 2 — A— u. — b^ est encore égale à l'inverse d'un nombre entier positif. Les fonctions uniformes, auxquelles on est ainsi conduit, sont des fonctions liyperfuchsiennes.

Le cas particulier qui nous a donné le premier exemple de fonctions liyperfuclisienncs correspondait à >. = u. = i, = />^ = |. Dans l'exemple précédent, comme dans la classe étendue de groupes byperfucbsiens auxquels nous a conduit la théorie des formes quadratiques, le polvèdre fondamental du groupe avait un ou plusieurs sommets sur la surface de l'hyperspliiTc limite. Nous n'avions pas jusqu'ici donné d'exemple efTectif de groupe liyperfucbsien pour lequel le polyèdre fondamental soit tout entier à V intérieur Ak' l'hypersplière : trois exemples nous sont fournis par l'élude précédente; ils correspondent respeclivement à

/. = jjL= />, = ^2= 5, puis I, puis |.

Ils nous paraissent intéressants, car on peut les traiter complètement et donner les substilulions fondamentales de chacun d'eux. L'n cas plus particulier, et de nature dillérento, nous a aussi occupé (75); c'est un cas 1'. 8

limile aiialoii'iio aux cas où les fonclioiis fuclisioniu's, provenant tlt' la série IivpergéoméH'iqne, deviennent des fonctions ellipti(]ues. La valeur commune des quatre constantes est, dans notre exemple, éiçale à ', et, en prenant convenablement les intégrales, l'inversion donne des fonctions douhieinent périodiques séparément par rap[)ort à u et par rapport à c.

Après les groupes hyperfuchsiens, nous avons étudié dans le second Chapitre un autre genre dégroupes discontinus, que nous avons appelés hypernhcliens. A ceux-ci correspondent également des fonctions, et toutes les fonctions liyperaitéliennes correspondant à un même groupe peuvent s'exl>rimer rationnellement à l'aide de trois d'entre elles, qui sont d'ailleurs liées par une relation algébrique. A tout groupe hyperabélien, on peut faire correspondre un système de deux équations linéaires simultanées aux dérivées partielles ayant quatre solutions communes linéairement indépenilantes, mais liées par une relation quadratique. Les fonctions hyperabéliennes peuvent donc toutes être obtenues de la manière suivante : soit

/■ = as H- bp -+- cq + dz, t =;«[«+ b^p ^ c^q -\- c/, -;

(les a, h, c, d étant des fonctions algébriques de x et de v) un système de deux équations linéaires ayant quatre solutions communes w,, co,, co,, coj, linéairement indépendantes, mais liées par la relation quadratique