III. — Courbes algébriques planes rectifiables

IS. ],e Mi'inoiie 11 et la Note 12 ont pour objet la solution du proi)lèine suivant :

Déterminer toutes les courbes algébriques planes dont l'arc est une fonction : ]" algébrique; ■i'' rationnelle des coordonnées.

La première partie ne présente auenne dirtîeulté : il est clair que les courbes d'arc algébrique sont les développées des courbes algébriques planes; les courbes d'arc rationnel offvont plus d'intérêt, et j'arrive, en inappnyant sur des résultats de Laguerre, ;> cette proposition simple :

Les courbes algébriques planes dont l'arc s exprime rationnellement en fonction des coordonnées sont les caustiques par réflexion des courbes algébriques planes, pour des rayons inci'lents parallèles, et réciproquement.

La réciproque, toutefois, souffre une exception lorsqu'on peut mener à la courbe réfléchissante deux tangentes rectangulaires, de tous les points d'une droite normale aux rayons lumineux.

19. A titre d'exemple: les épicycloïdes ou hypocycloides algébriques dont l'arc est rationnel s'obtiennent en prenant, comme rapport du rayon du cercle mobile au rayon du cercle tixe, une traction iri'éductible, de dénominateur pair.

L'Iiypocycloide ii quatre rebroussements appartient à celte classe; j'établis qu'elle est la caustique par réflexion de l'Iiypocvcloîde à trois rebroussements pour des rayons parallèles à un des axes de symétrie de celle-ci.

Piiur une couilie d'arc rationnel, tie genre supérieur à zéro et d'ordre //, l'expression de l'arc, en fonction des coordonnées j-, >-. de son extrémité mobile, est de la forme

C(x,y) désignant lo proniior membre de l'équation d'une courbe adjointe (|neicon(|ne d'ordre n — 3, et ?(œ,y) le premier membre de {"équation d'une adjointe d'ordre n — i, passant par les points oiiC = o coupe la proposée.