IV. — Quartiques planes

20. On sait qu'il existe soixante-trois systèmes, simplement infini cliacun, de coniques quadritangentes à la courbe plane d'urdre quatre sans point singulier : je montre, dans le Mémoire 13, que deux de ces systèmes jouent, vis-à-vis lun de l'autre, deux rôles diirérenls selon la nature des coni(jues décomposées (couples de bitr.ngentes i (jirils renferment.

Dans les deux cas. — Toute cubique menée par les buit points de contact de deux coniques de systèmes ditierents coupe la quartique en quatre points nouveaux, qui sont les points de contact d'une conique quadritangente d'un troisième système; inversement, les douze points de contact de trois coniques, C,,Cj,C3, appartenant respectivement à ces trois systèmes sont sur une cubi(]ue, — .

Dans le premier cas. — Les trois coniques C,, Co, C, sont doublement tangentes à une même conique, et les six points de contact sont sur la cubique ï.

Dans le second cas. — Les trois coniques €,,€2,03, prises deux à deux, ont douze points d'intersection, parmi lesquels trois sont en ligne droite et sont situés sur la (uibique 1.

21. Ces résultats sont obtenus par une méthode purement algébrique, qui dérive de mes recherches sur la surface deKummer; on verra plus loin (n" 72) l'analyse d'un autre travail, où je rattache les courbes du quatrième ordre (ou de quatrième classe), à une intéressante surface du sixième descré, liée elle-même aux fonctions abéliennes de trois variables.