V. — Sujets divers

22. Le Mémoiro 14 donne une interprétation géométrique simple (le V équation modulaire pour la transformation ilu troisième ordre des fonctions elliptiques.

Soit une cubique plane unicursale quelconque; les quatre tangentes qu'on peut lui mener d'un point arbitraire la coupent de nouveau en quati'e points : le rapport anharmonique des droites qui joignent à ces ijuatre points le point double de la cubique et le rapport anliarmonique des quatre tangentes primitives sont liés par l'équation modulaire de la transformation du troisième ordre.

Cette équation est, en désignant par p et 7 les deux rapports considérés :

je vérifie directement ce résultat pour la cubique J"' -!- 3 À- xy- + ox''--\-y-^zo,

ce qui me donne, pour 0 et <7, ces expressions rationnelles, satisfaisant à l'équation modulaire ci-dessus :

L'équation modulaire entre c et ^, c'est-à-dire entre les /•- et k] de Legendre, est donc de genre zéro.

La Note 14 indique une interprétation géométrique différente pour l'équation modulaire générale, à l'aide des polygones de Poncelet.

23. Enfin, en appelant 50^/1/72?/^ doubles dans une série de polygones de Poncelet ceux des quatre polygones de la série qui sont repliés sur eux-mêmes, en excluant toutefois certains sommets bien défini-, j'établis (15) que :

Le centre harmonique des sommets d' un polygone quelconque de lu série par rapport à une droite donnée est un point Jixe, si cette droite contient deux sommets doubles.