I. — Formules analytiques

24. La première formule relative au théorème d'Abel, et qui revient d'ailleurs dans certains cas à une formule antérieurement connue, est établie, sous diiïérentes formes, dans les Mémoires 17 et 18; elle peut être présentée ainsi :

Soit C une courbe plane ou gauche; on considère une intégrale abélienne quelconque, I, appartenant à la courbe, et mise sous forme homoarène

et l'on coupe la courbe C par un système de surfaces

dépendant algébriquement d'un paramètre u :

La somme des intégrales I dont tes limites inférieures et supérieures sont respectivement les points d'intersection de la courbe C avec deux surfaces du système $, correspondant aux valeurs u^ et u du paramètre, a pour expression

il= r {lr)du,

Sr désignant la somme des résidus, par rapport aux zéros de S, de la fonction

{x' t — xl').

où oc, y, z, t désignent les coordonnées d'un point de C exprimées en H. 4

l'onction (ihêla/uchsienne pa.r exemi^e) d'une même variable; x' et /' sont les dérivées de a- et t.

La formule s'applique même au cas où les polynômes Q et S conlieiiiient le paramètre u.

Pour le calcul des résidus, il n'est pas nécessaire de connaître explicitement les expressions de x,y, -, / en fonction d'une variable; la formule n'introduit en effet que des éléments gcornétriqiies de la courbe C.

Une conséquence importante est la suivante :

La somme des intégrales I, dont les limites inférieures et supérieures sont respectivement les points d'intersection de la courbe C avec deuœ surfaces quelconques de même ordre, est nulle, si, parmi les surfaces du faisceau déterminé par les deux surfaces sécantes, il en est une, Z, qui passe par tous les points de la courbe C rendant l'intégrale infinie : quand un point est un infini d'ordre h pour la quantité sous fe si^ne f, la surface 1 doit avoir au même point, avec C, un contact d'ordre h — i .

Parmi d'autres corollaires analogues, s'appliquant, en particulier, aux intégrales de seconde espèce, on peut en signaler un, que j'ai d'ailleurs établi (20) par une métbode élémentaire :

La somme des i-aleurs que prend une fonction rationnelle des coordonnées, homogène et de degré zéro Q(.t, y, z) : \(x, y, ::), aux points communs à une courbe plane f = o et à chacune des courbes d'un faisceau ponctuel, reste constante, si les courbes du faisceau qui passent res- |)ectivenient parles points d'intersection des courbes f^ o, V = o, rendant Q : \ infini, ont en chacun de ces points, avec f, un contact d'un ordre au moins égal à la différence des ordres des contacts entre la courbe f et les courbes V et Q au même point.

Si la courbe Q = o ne passe pas par le point considéré, l'ordre de son contact avec/sera regardé comme égal à — i.

Des propositions de même nature s'appliquent à l'espace (18).

25. Sommes de Jacobi. — Une autre série de formules se rapporte à l'expression de sommes remarquables: étant données, en coordonnées cartésiennes, trois surfaces, d'ordres m, n, p, si l'on désigne par A

leur jacobien pt si Q(^, ^', :■) est un polynôme d'ordre m -r n -r- p — ] nu plus, [jouville et Clebscli ont montré que la somme

étendue aux points communs aux trois surfaces, est nulle, et Jacobi avait établi le tliéorème correspondant pour le plan. Or, du théorème de Jacobi, Clebsch a déduit une démonstration du théorème d'Abel dans le cas des intégrales de première espèce : cette liaison entre les deux propositions m'a fait penser qu'on pourrait sans doute, it l'aide de l'expression générale indiquée plus haut pour le théorème d'Abel, arriver à évaluer la somme 1, lorsque le degré du polynôme Q dépasse m -h n -\- p — 4. C'est en effet ce que j'ai pu faire et j'ai donné une formule qui ramène la somme cherchée à une autre, étendue seulement aux points situés à l'infini sur la courbe d'intersection de deux des trois surfaces proposées.

Par exemple, si Q est d'ordre m -\- n -i-p — 3, la somme cherchée a pour expression, en désignant par/= o, ç. = o, i/ = o les équations des trois surfaces primitives

.rQ

'[fw.-r.?yy

la nouvelle somme s'étendant aux points à l'infini de la courbe f= o, o = o. On voit ainsi que la somme 1 ne dépend que des ternies des degrés les plus élevés dans les polynômes Q, /. ç. et 'i; de plus, la manière dont elle dépend des coefficients du polvnome ■]/ est mise nettement en évidence. Il va sans dire qu'on obtientpourSdeuxautres expressions analogues en permutant/, o et •]/.

Si le degré de Q dépasse m -+- n -h p — 3, la formule est analogue, bien qu'un peu plus compliquée.

Enfin des formules de même nature expriment les sommes plus générales où Q est nnç fonction rationnelle : on comprendra l'intérêt de ces résultats, si l'on remarque que les sommes considérées s'introduisent quand on cherche à étendre le théorème d'Abel aux intégrales multiples.

C'est ainsi quej'ai été conduit, relativement aux intégrales doubles.

à des tliéorèiiies de même nature que ceux rappelés plus haut poulies intégrales simples; par exemple :

i" La somme algébrique des valeurs que prend une intégrale double abéhenne, appartenant à une sur/ace algébrique S, dans les polygones cun; lignes découpés sur cette surface par deux surfaces quelconques d'un premier faisceau ponctuel et deux surfaces quelconques d' un deuxième faisceau, est égale à zéro, s'il existe une surface 2, formée par l'ensemble d'une surface du premier faisceau et d'une surface du second, passant par tous les points de la surface primilive S, qui rendent l'élément de l'intégrale irfiiii; de plus 1 doit avoir avec S, e/i tout point de cette surface qui est un infini d ordre l pour l'élément de L' intégrale, un contact d'ordre l — i .

2" Lu somme algébrique des valeurs que prend une intégrale double abéhenne appartenant à une surface algébrique, S, dans les polygones découpés sur cette surface par deux surfaces quelconques d'un premier faisceau tp, -t- n $2=^ o, et deux surfaces quelconques d'un deuxième faisceau W^ -+- vW., = o, est une fonction entière du paramètre u, et une fonction rittuinnelleet logarithmique du paramètre c, si la surface $0 = o du pr-emier faisceau passe par tous les points de S qui rendent l'élément de l'intégrale infini.

Si la surface ^''0 = 0, du second faisceau, satisfait également à la même condition, la somme précédente est une fonction entièr-e des deux paramètres u et v.

La plupai't des résultats géométriques qui suivent sont des applications de ces formules ou propositions.