III. — Propriétés angulaires

27. Elles se rattachent à la notion d'orientation dans le plan, due i\ Laguerre : deux systèmes de « droites ont même orientation lorsque la somme des angles que font les n droites avec un axe fixe est la même pour les deux systèmes, à un multiple près de -.

Je donne à ce sujet (23, 2i) un théorème fondamental :

Pour qu'un système de n droites, variable algébriquement, garde une orientation fixe, il faut et il suffit que, lorsqu'une ou plusieurs droites du système viennent à passer par un des points cycliques du plan, d'autres droites du système, en même nombre, passent au même instant par l'autre point cyclique.

Voici (|uelques conséquences :

Les systèmes de tangentes menées d'un point à deux courbes de

même classe ont même orientation si le point est foyer d'une des courbes du faisceau tangentiel déterminé par les deux premières, et réciproquement.

Cette propriété définit d'une manière simple le lieu des foyers des tourbes d'un faisceau tangentiel, déterminé par deux courbes A et B, de classe/? : si l'on joint un point du lieu aux n foyers réels de A et aux /( foyers réels de B, les deux systèmes de droites ont même orientalion. On retrouve ainsi, h un point de vue différent, des courbes remarquables rencontrées par M. Darboux. De plus :

Le ceittre harmonique, par rapport à un point du plan, des n foyers réels d'une eourbe. variable dans un faisceau tangentiel, décrit un cercle.

28. A cet ordre d'idées se rattache un problème intéressant :

Trouver, si elles existent, toutes les courbes algébriques, telles que le système des tangentes qu'on peut mener d'un point à l'u/ie d'elles ait une orientation fi.ie, indépendante de la position du point dans le plan.

.le montre que ces courbes sont celles qui n'ont pas de foyer à distance finie; leur équation, en coordonnées tangentielles rectangulaires, est

(«-+ ^'-)fu-n {", <', »■) = F„((/, r),

/],. et F„ étant des polynômes homogènes quelconques, de degré marqué par l'indice. Dans celte catégorie rentrent toutes les hypocycloides algébriques obtenues en faisant rouler un cercle à l'intérieur d'un cercle plus grand; et, en particulier, l'iiypocycloïde à trois rebroussements, dont j'ai fait, à ce point de vue, une étude assez complète.

Si, par un point M du plan, on mène les tangentes à une de ces courbes, le centre harmonique des points de contact par rapport à I\I coïncide avec ce point.

29. Toutes ces propriétés d'orientation ne semblent pas pouvoir s'étendre à l'espace d'une manière simple; je citerai seulement deux résultats :

1° Soit un faisceau tangentiel de surfaces de classe n : il existe des

droites jouissant de celte propriété que l'orientation du système des n plans tangents, menés par l'une d'elles à une surface du faisceau, demeure fixe quand la surface varie; ces droites forment un complexe d'ordre in — \ .

La surface des singularités du complexe est le lieu des lignes focales des surfaces du faisceau; les droites singulières sont les tangentes de ces focales.

2° Si une surface algébrique a toutes ses focales à l'infini, c'està-dire si son équation en coordonnées tangentielles rectangulaires est du type

F«(«, ^', "■) — ("-+ i'- -f- ir-)/„^,(f/, i', n-, p) = o,

l'orientation des n plans tangents qu'on peut lui mener par une droite quelconque est la même que celle des^ plans, menés parla droite parallèlement à n directions fixes.