IV. — Arcs des courbes de direction

30. Les courbes de direction sont, d'après Laguerrc, les enveloppes de droites ayant un sens déterminé; leur équation générale, en coordonnées tangentielles rectangulaires, est u- + (>'- = R^(», c), R étant une fonction rationnelle de u et r.

L'arc d'une telle courbe s'exprime par une intégrale abélienne apparlenanl à la courbe; les formules du théorème d'Abel s'appliquent donc immédiatement à l'expression de la somme des arcs interceptés, par deux courbes quelconques de même degré, sur une courbe de direction fixe.

Le Mémoire 17, après quelques généralités sur les courbes de direction, contient la détermination des lignes de direction du troisième degré : ce sont les courbes représentées en coordonnées polaires, par les équations

p'cosSw^a'; p'cosJ6) = a';

l'application des formules générales donne ensuite, relativement aux arcs, de très nombreux résultats dont voici les plus saillants :

3 I . Sur une courbe de direction n'ayant que des asymptotes distinctes , non isotropes, la somme algébrique des arcs interceptés par deux courbes quelconques d'un même degré est égale à la somme des segments que ces courbes interceptent sur les asymptotes de la proposée.

Ce Ihéorème s'applique, par exemple, aux courbes

où n est un entier non négatif.

Sur une courbe de direction d'ordre in. admettant comme point multiple doj-dre n, à tangentes distinctes, chacun des deux points cycliques du plan, la somme des arcs interceptés par deux courbes quelconques d'un même degré est égale à la somme des arcs que ces courbes interceptent sur n cercles, liés invariablement à la proposée.

Ce ilernier théorème, lorsque les courbes sécantes sont deux droites, généralise une des propriétés fondamentales du cercle, celle de la mesure des angles :

La somme algébrique des arcs interceptés sur la courbe de direction précédente par les deux côtés d'un angle est proportionnelle à la grandeur de cet angle et indépendante de sa position dans le plan .

32. Parmi les courbes de direction, il en est de particulièrement remarquables : en cherchant, en effet, à déterminer les courbes algébriques sur lesquelles l'arc est une intégrale abélienne de première espèce, j'ai trouvé que ce sont les courbes de direction n'ayant pas d'autre point à l'infini que les points circulaires; il faut et il suffit, de plus, qu'en chacun de ces deux points multiples, suivant la terminologie connue d'Halphen, la courbe ne présente que des cycles dont la classe surpasse l'ordre ('). Par exemple, si les tangentes aux points

(' I Un acte est, d'après Halphen, l'ensemble des branches d'une courbe qui correspondent, en un point de celte courbe, à une même valeur de la variable auxiliaire, à l'aide de laquelle les coordonnées s'expriment d'une manière uniforme aux environs du point considéré.

Vordre du cycle est le nombre de points confondus avec l'origine du cycle dans le

circulaii'cs sont distinctes, cliacune d'elles devra être tangente d'inlloxion poiii' la hranclie correspondante.

Sur une de ces courbes remarquables, deux courhcs quelconques d'un mâne degré interceptent des arcs dont la somme algébrique est nulle.

On ne rencontre |)as de coarl)e de cette nature avant le sixième degré; la plus simple a pour équation polaire p' = a'cos3co, les

courbes

p" = a" cos«t.)

appartiennent à la même catégorie, si n désigne un entier impair,

supérieur à 3, ou une fraction de la forme -^^ — ^> oétant entier, positif

et supérieur ;i l'entier positif y.

La courbe p'' = a' cosSco est de genre m/?,- son arc est donc l'intégrale elliptique de première espèce correspondante : W. Roberts avait déjà observé que l'arc s'exprime par une intégrale elliptique de première espèce, mais sans remarquer que cette intégrale appartient à la courbe.

.33. Le Mémoire 17 contient quelques propriétés relatives aux centres de gravité des arcs des courbes de direction; en voici une, à titre d'exemple :

Les arcs interceptés sur une courbe de direction pur deux courbes quelco/u/ues d'un même degré ont une somme algébrique nulle, et le centre de gravdé des arcs posuifs coïncide avec celui des arcs négatifs, si la courbe de direetwn considérée n'a pas d'autres points à l'infini que les points circulaires, et si elle ne présente, en chacun d'eux, que des cycles dont la classe surpasse le triple de l'ordre.

Ce théorème s'applique, en particulier, aux courbes p"= a" cos«co, si n est un entier impair, égal ou supérieur h 5.

nombre total des points d'intersection de la courbe et d'une droite différente de la tangente au cycle; si cette droite est la tangente, le nombre des points d'intersection confondus avec l'origine du cvcle est égal à la somme de l'ordre et de la classe de ce cvcle. H. "^ ' 5

Dans un aulri; ordre d'idées, les courl)CS de direclion donnent lien ii ce théorème :

Toute ligne de courbure plane, non mulliplr, d'une swface algébrique est une courbe de direclion, lorsque l'angle, nécessairement constant, sous lequel son plan coupe la surface n'est ni nul ni droit.