V. — Aires sphériques

34. Voici les denx résultats fondamentaux sur cette question (18) :

Soient deux surfaces quelconques de même ordre p. et deux autres surfaces de même ordre q : la somme algébrique des -^.pq aires que ce système découpe sur une sphère de rayon R est égale à iç,Vtd; p étant un coefficient dépendant utiiquement du système des quatre surfaces primitives, et d désignant la distance du centre de la sphère à un plan lié invariablement Cl ce système.

Un système, composé de deux surfaces quelconques de même ordre et de deux autres surfaces asymptoticjues entre elles, découpe sur une sphère des aires dont la somme algébrique reste fixe pour toutes les positions de la sphère dans l'espace : elle est égale au produit du rayon par un paramètre qui dépend uniquement des surfaces primitives.

Ce paramètre est d'ailleurs nul si les deux premières surfaces sont asymptoti(]ues entre elles, ou si les deux secondes, au lieu d'être asymptoticjues, sont asymptotes : par asymptotiques, j'entends des surfaces qui ont mêmes points à l'infini; par asymptotes, des surfaces qui ont mêmes points à l'infini et mêmes plans tangents en ces points.

35. On comprend, sans qu'il soit utile d'en donner des exemples, à (]uelles variétés d'applications se prêtent ces deux théorèmes généraux; par une méthode élémentaire (26, 27, 28) j'ai étahli des propositions de même nature, qui constituent l'extension à la sphère de la propriété si simple el si remarquahle que [trésente la circonférence de cercle pour la mesure des angles situés dans son plan : la dillerence (ou la somme) des arcs interceptés par les deux côtés d'un angle a sur une circonférence de rayon R est égale à 2Ra. Dans l'espace, ce

tliéurème n'est pas a[)[)lical)le sans moiiiticalion à la clilTércnce ties aires que découpe, sur une sphère, un angle solide ou un cône rencontrant cette surface suivant deux courbes fermées : la différence en question n'est pas seulement fonction du rayon de la sphère et de la forme du cône; mais il suffit, pour l'exprimer, d'introduire un nouvel élément, la dislance du centre de la sphère à un plan passant par le sommet du cône et lié invariablement à ce cône. Donnons l'énoncé exact de la proposition :

:}(i. Un cône déroupe, sur une sphère concentrique d(! rayon un, deux aires symétriques; appelons plan d'orientaiion du cône le plan mené par le sommet normalement à la droite qui joint les centres de gravité de ces deux aires, et module le produit de la distance des deux centres de gravité par la valeur de l'angle coni(|ue.

La différence des deux aires que découpe, sur une sphère de rayon |{, un cône, dont toutes les génératrices coupent la sphère, est égale à 2 oR^/, 3 étant le module du cane et d la dislance du centre de la sphère au plan d'orientation.

L'application aux angles polyèdres et aux cônes du second ordre donne des résultats intéressants.

Le plan d'orientation et le module d'un angle trièdre se déterminent simplement : il suffit d'élever au sommet, sur chacune des faces et vers l'extérieur du trièdre, une normale égale à l'angle de la face, et de composer comme des forces les trois longueurs ainsi obtenues; la résultante est égale au module du trièdre et perpendiculaire à son plan d'orientation. Une construction semblable s'applique à un angle polyèdre quelconque. Comme conséquences, un angle trièdre trirectangle dont le sommet est sur une sphère, et dont l'axe (intersection des plans bissecteurs) passe par le centre de la sphère, découpe sur celle-ci une aire égale à -R-\/3; dans les mêmes conditions, un trièdre dont les faces sont de Go° découpe une aire égale au sixième de la sphère totale.

'■M . Les mêmes formules permettent d'évaluer simplement sur la sphère une aire quelconque limitée par des arcs de petits cercles; il

suffit pour cela de savoir calculer la surface de la lunule comprise entre deux petits cercles, et je donne à cet effet une expression très

simple.

38. La valeur du module d'un cùne du second ordre me permet de calculer le différence des aires découpées sur une sphère par une quadrique; on arrive ainsi à des résultats curieux et inattendus.

Soit M^=-i- Nv- + ?z-= K l'équation d'une quadri(|ue rapportée à son centre et à ses axes; appelons module correspondant au plan principal :; = o la valeur absolue de la quantité

et définissons de même les modules correspondant aux deux autres plans principaux.

Deux de ces modules sont réels, le troisième est imairinaire.

Supposons maintenant que la quadrique coupe une sphère de rayon H suivant deux courbes fermées ; le cône du second ordre qui passe par cette inte/section. et dont le sommet est intérieur à la sphère, a son are intérieur normal à un des plans principaux de la quadrique; soit II ce plan.

La différence des deux aires découpées par la (juadrique sur la sphère a pour valeur •îpRr/, p désignant le module correspondant au plan II; et d la distance du centre de la sphère à ce plan.

Dans le cas d'une quadrique de révolution, le plan II est toujours celui de l'équateur; et si la méridienne est une parabole, je montre que :

La différence des deux aires que découpe sur une sphère un paraboloide de résolution est égale à /j-R/J, p désignant le paramétre de la parabole méridienne : cette différence est donc indépendante des positions des deux surfaces dans l'espace, pourvu toujours que le paraboloide coupe 1 1 sphère suivant deux courbes fermées.

39. Les pinceau.T de droites donnent lieu à une formule analogue aux précédentes. Appelons ouverture du pinceau le double de l'aire

découpée sur une sphère de rayon un par le faisceau dos droites menées du centre de la sphère parallèlement aux droites du pinceau : la somme algchrique des deux aires que découpe un pinceau sur une sphère est le douhie produit du rayon par l'ouverture et par la distance du centre de la sphère au plan de symétrie des deux points focaux du pinceau. De même, la somme algéhrique des deux aires découpées sur une sphère, par un pinceau de droites parallèles à un plan, est égale au produit du rayon par un coefficient constant, qui ne dépend que de la nature du pinceau.

On déduit de là des propositions intéressantes relatives à la somme ou à la différence des aires (|ue découpent sur une sphère certaines surfaces réglées; ainsi, pour un conoïde, cette somme est le produit du ravon par un coefficient qui ne dépend que de la forme du conoide. et c'est là une généralisation directe du théorème de la mesure des angles.