VI. — Aires ellipsoïdales

40. Divers géomètres ont essayé d'étendre aux aires, sur l'eilipsoide. les propriétés classiques si simples et si élégantes des arcs d'ellipse, mais aucun résultat net n'avait été ohtenu. Les tentatives les plus heureuses ont été celles de Jellelt et de Lebesgue, que nous

allons résumer.

Appelons, sur l'ellipsoïde, fiarallelc. d'axe D et d'angle cp, le lieu des points de la surface où la normale fait un angle 9 avec une droite D issue du centre: un parallèle se compose de deux boucles fermées, symétriques par rapport au centre, et l'aire ellipsoïdale comprise entre elles est Vam- du para II le.

Jellett et Lebesgue ont moniré que tout parallèle dont l'axe est un des axes de rellipsnïde a une aire exprimable par les fonctions elliptiques; de plus, si Us angles 9, 9', 9" de trois parallèles, ayant respectivement pour axes les trois axes a, h, c de la surface, vérifient les relations

-tan£;o=: -î-iango'^ ^ tango",

les différences de leurs aires deux à deux s'expriment algébriquement :

c'est une extension directe du théorème de Fagnano pour les arcs d'ellipse, mais elle est encore engagée, on le voit, dans des formules algébriques.

41. Voici maintenant ce que j'ai ajouté à cette théorie : Le théorème de Fagnano est un cas particulier d'une proposition plus générale et plus élégante, connue sous le nom de riii'.ouK.Mr. dk GuAVES. Sur une ellipse E,, extérieure et homofocale à une ellipse E, on prend un point queleonque C, par lequel on mène les deux tangentes à E ; soient T et T' leurs points de contact : l'excès de la somme des longueurs de ces tangentes, limitées au point (] d'une part et aux points T et T' d'autre part, sur l'arc de l'ellipse intérieure compris entre les points de contact, est constant.

C'est précisément ce théorème de Graves que j'ai étendu, pies(|nf mot pour mot, aux aires ellipsoïdales, et cela sous la forme suivante :

S/tr un ellipsoïde K,, extérieur et /lo/ziofort// à un ellipsoïde E, o/i prend une conique quelconque C, dont le plan passe par le centre, et l'on circonscrit à cette conique et à E unedéveloppahle; soient T et T' les deux boucles de la courbe de contact de la développai de et de l'ellipsoïde intérieur : l'excès de l'aire de la développahle. limitée à la conique C d' une part et aux boucles T et T' d'autre pari . sur l'aire ellipsoïdale comprise sur E enlie ces deux mêmes honrles, est constant.

L'excès constant s'exprime simplement par les fonctions elliptiques. Soient

,.2 y-i -■! j^.l yl .2

les équations des ellipsoïdes E et E, : introduisons les fonctions de Weierstrass correspondant aux racines

3b'-c- ia'c'- 'ia-b-

étant posé

p rr a- b- -+- a- c- -!- b'- C'^ ;

l'excès constant a pour valeur

u étant le plus petit argument positif défini par l'équation

un I =; T

Toutes les démonstrations ont pour base mes formules sur les sommes de Jacobi (n° 25).

Si l'on observe que les deux bouclesT etT'constiluent un parallèle, on en déduit l'expression générale de l'aire d'un parallèle.

42. Le lliéorème de Jellett et Lebesgue est un cas particulier du mien; on l'obtient en prenant successivement, pour la conique C. les trois coniques principales deE,.

43. On peut trouver sur l'ellipsoïde d'autres aires réductibles aux fonctions elliptiques.

En premier lieu, soit une spbère de centre /, m, n et de ravon K, extérieure à l'ellipsoïde; circonscrivons à ces deux surfaces une développable : l'aire comprise sur l'ellipsoïde, entre les deux boucles de la courbe de contact avec la développable, est égale, à une quantité algébrique près, à

OÙ i> est le plus petit argument positif défini parpt- — i = — — —, et 0 la racine positive de l'équation

Dans le cas où la splière a son centre sur un des axes de l'ellipsoïde, Oa; par exemple, j'arrive à l'expression complète de l'aire ellipsoïdale correspondante

/? , ,. , /P , O'i lï' ^if

/p a- f (7,iro-(ï'y

/ désignant l'abscisse du cenlre de la splière et iv étant le plus petit argument positif défini par

En second lieu, si l'on appelle zone ellipsoïdale la zone limitée sur un ellipsoïde par deux coniques, le long de chacune desquelles on peut (circonscrire à la surface un cône de révolution, l'aire d'une telle zone s'exprime elliptiquement, ('.ette expression résulte du théorème suivant :

Soient r, , ; , les coordonnées, dans le plan des .vz, du sommet d'un cône

de révolution circonscrit à l' elliusoïde —, -+- -rr -+- —, — i =o(a>/'">r-);

l'excès de l'aire latérale de ce cône, limité à son sommet et à la conique de contact, sur l'aire de la ca'otte ellipsoïdale compriie à son intérieur, a pour expression

X„ éiant l aire du demi-ellipsoïde, et u le plus petit argument positif défini, en fonction des coordonnées x^,z^ du sommet, par les relations compatibles

L'aire latérale du cône est algébrique et s'obtient aisément. Comme conséquence :

Les aires de deux zones ellipsoïdales ont une somme ou une différence exprimable algébricpiement lorsque les quatre plans qui limitent ces zones touchent un ellipsoïde homothéliquc à l ellifisoïde proposé.

Dans le cas où l'ellipsoïde devient un paraboloïde elliptique, les zones ont une aire exprimable rationnellement (31, .'Î2) de la manière la plus simple.