VII. — Arcs des courbes algébriques

44. L'arc d'une courbe algébriqui; (]uelconque n'est pas une intégrale abélienne appartenant à cette courbe, de sorte que la somme algébrique des arcs interceptés sur elle par une série de courbes mo-

biles ne pourra s'exprimer à l'aide des formules du théorème d'Abel : mais il en seia autrement si. en tenant compte de l'équation delà courbe mohde, on peut faire disparaître le radical dans l'élément d'arc de la courbe fixe.

Le théorème très général suivant résume cette théorie (33) :

Sou £ une courbe algébrique, intersection totale ou partielle de deux surfaces, /= o, 9 = 0, sur aucune desquelles elle n'est multiple et qui ne se touchent pas le long de la courbe ; posons

On coupe la courbe z par des sur/aces ayant pour équation F^-<l>-(A'-hB=+C-2) = o,

F et tl> désignant des polynômes quelconques en x,y, z,t; la somme algébrique des arcs compris sur la courbe £ entre deux surfaces de ce système, obtenues en faisant suivre une loi de variation quelconque aux coefficients des polynômes F et $, est une fonction rationnelle des valeurs initiales et finales de ces coefficients.

C est également une fonction rationnelle des coefficients des deux surfaces f et o, pourvu toutefois que l'équation de la projection de ^ sur un plan ait ses coefficients rationnels par rapport à ceux des deiLx surfaces.

L'intérêt de ce théorème est que les logarithmes, qui figurent en général dans les formules du théorème d'Abel, disparaissent; il ne peut y avoir d'exception que si toutes les surfaces

passent par un même point à l'infini de la courbe £, et si ce point est un point du cercle isotrope ou un point de contact de la courbe et du plan de l'infini.

Enfin, une formule simple donne, dans tous les cas, l'expression de la somme des arcs considérés dans le théorème général.

45. De là se déduisent de très nombreuses conséquences, dont on va citer les plus simples.

A une courbe algébrique gauche C, d'ordre n, on mène les tangentes qui foui un angle donné avec un axe fixe et l'un fait ensuite varier cet angle : la somme algébrique des arcs parcourus surC parles points de contact est à chaque instant égale à zéro.

On mène à C les plans normaux qui touchent une sphère, et l'on fait varier le rayon de celte sphère, son centre demeurant fixe : la somme algébrique des arcs parcourus sur C par les points d'incidence des plans normaux est égale à in fois la variation du rayon, ou à 2(n — "i) fois cette variation si C rt v points à l'infini sur le cercle isotrope.

Dans CCS deux énoncés, on suppose que la courbe C ne touche pas le plan de l'infini.

A une courbe algébrvjue ne touchant pas le plan de l'infini en un point du cercle isotrope, on mène les plans normaux qui touchent une sphère, cl l'on fait varier le centre de cette sphère, son rayon demeurant fixe : la somme algébrique des arcs parcourus sur la courbe par les points d'incidence des plans normaux est à cha(\ue instant égale à zéro.

La deuxième proposition, appliquée à l'ellipse et à des sphères (ou cercles) ayant le même centre que celte courbe, est une des formes du théorème de Fagnano; dans toute sa généralité elle constitue donc une extension de ce théorème et peut s'énoncer ainsi :

Les huit pieds des normales qu'on peut mener à une ellipse, tangcntiellement à un cercle intérieur à la dé>.eloppée, se groupent deux à deux de manière à déterminer sur l'ellipse quatre arcs, dont la somme algébrique est égale à quatre fois le rayon du cercle.

46. Dans le cas particulier des courbes planes, j'ai cherché à généraliser le théorème de Graves sur les arcs d'ellipse; ce théorème, cité plus haut, peut recevoir un autre énoncé : les quatre points de contact d'une ellipse, avec les tangentes communes à celte conique et à un cercle extérieur, se groupent deux à deux de manière à déterminer sur l'ellipse deux arcs, dont la somme algébrique est égale à celle des longueurs des tangentes communes.

Sous cette forme, j'ai reconnu (34, 36) que la proposition s'étend

sans nindi/icat ion h un e courbe plane (|uelconque, par une démonstration tout élémentaire :

Les points de contact d'une courbe plane C, de classe v, avec les 2v tangentes communes à celte courbe et à un cercle, se groupent deiuc à deux de manière à déterminer, sur C, v arcs, dont la somme algébrique est égale à celle des longueurs des tangentes communes.

Les tangentes communes sont supposées limitées au cercle d'une part et à la courbe d'autre part.

47. Le Mémoire 33 contient de nombreuses propriétés des arcs des cubiques gauches ou planes, des biquadratiques sphériques, de la leinniscatc de BernouUi; par exemple :

Étant donnée une cubique gauche, on considère un quelconque des cônes du quatrième ordre, w, qui ont leur sommet en un point de la cubique et qui passent par les 8 points de cette courbe oii la tangente est isotrope. Le cône ^ admet 63 systèmes de cônes du second ordre, de même sommet, qui lui sont inscrits, c'est-ci-tlire le touchent suiiunt ] génératrices : deux cônes inscrits d'un même système interceptent sur la cubique gauche quatre arcs dont la somme algébrique est rationnelle.

Deux cercles passant par le centre d'une lemniscate interceptent sur cette courbe deux arcs égaux, si leurs centres sont sur une même conique, ayant pour foyers les foyers de la lemniscate.

Citons encore un théorème général :

Sur la courbe d'intersection de deux surfaces algébriques, on considère les points où les deux surfaces se coupent sous un angle donné, et Von fait ensuite varier cet angle ; la snumie algébrique des arcs décrits sur la courbe par les points considérés s'exprime rationnellement, en fonction de la tangente de l'angle rariable et des coefficients des surfaces primitives.