I. — Surfaces cyclides

48. Les cvclides sont les surfaces du quatrième ordre qui ont pour ligne double le cercle isotrope à l'intini; elles sont l'objet, dans le Mémoire 37, d'une étude (\étA\\\ée , parement géornctriqiie. qui complète les beaux résultats donnés antérieurement par 3L^L Moutard, Darboux et Laguerre.

L'idée principale de ce Travail est l'introduction des groupes de sphères par rapport à une cyclide: on sait qu'une cyclide admet une série simplement infinie de quadriques inscrites, V, et que, par la biquadratique commune à la cyclide et à une spbère quelconque, passent quatre cùnes, dont chacun est circonscrit à une surface V. Les sphères auxquelles répond ainsi une quadrique T. donnée, sont dites appartenir au groupe V de spJières, et cette notion entraine de nombreuses propriétés (^'). Une même sphère appartient à quatre groupes.

Toute tangente à une quadrique V coupe la cyclide, ainsi que l'a montré M. Darboux, en quatre points dont la détermination dépend de deux équations du second degré; les quatre points se divisent donc en deux couples et je dis que les deux points d'un couple sont conjugués dans le SYSléme V; enfin, un cercle bilangent à la cyclide appartient au

(>) Depuis la publicalion du Mémoire 37, qui remonte à i-88J, j'ai reconnu, au cours de mes éludes sur la surface de Kummer, qu'aux sphères d'un même groupe par rapport à une cyclide, la transformation de Lie fait correspondre des droites qui appartiennent à un des complexes du second ordre, en nombre simplement infini, dont la surface de Kummer est la surface de singularité. H n'est donc pas étonnant que la notion de sphères d'un même groupe m'ait donné d'intéressants résultats géométriques; ceux-ci d'ailleurs, pour la plupart, n'auraient pu se déduire des propriétés connues de la surface de Kummer et des complexes du second ordre correspondants.

groupe V si ses deux points de contact sont conjugues dans le système V.

'i9. Cela posé, voici (|uelques-unes des nombreuses propositions établies dans le Mémoire 37 :

Le lieu des centres des sphères de rayon nul apparu nai)! à un même i^roupe est une cyclide fiomofocale à la proposée.

Les hiquadralif/ues communes à une cyclide et aux sphères d'un même f;roupe ont une de leurs lignes focales sur la cyclide, lieu des centres des sphères de rayon nul du groupe.

Toute sphère passant par un cercle hitangenl du groupe \ appartient au groupe V de sphères.

Les sphères d' une même série doublement tangentes à une bu/uadratupie sphericfue tracée sur une cyclide, et simplement tangentes à cette surface, la touchent sunant une ligne de courbure.

Les axes des cercles d'un même groupe ^^ bitangents à une cyclide. touchent une quadrique U, homofocale aux quadriques déférentes de la cyclide.

Les plans perpendiculaires en leurs milieux aux droites joignant deux points d'une cyclide conjugués dans le système \ enveloppent la (juadrique U du théorème précédent .

Les quadriques \ et U ont mêmes directions principales et les longueurs de leurs axes parallèles sont im'ersemenl proportionnelles.

.")0. J'appelle cubique principale d'une cyclide le lieu des centres îles (|ua(lii(jues \" inscrites; de nombreux tbéorèmes se rattaclientà cette courbe. Ainsi :

Si une section plane a un axe de symétrie, cet axe est une corde de la cubique principale; le plan mené par l'axe normalement au plan de section passe par un point fixe 0 de la cubique.

Réci|)roquement : Un plan quelconque P issu de 0 coupe en outre la cubique en l et m; le plan mené par l et m normalement au plan P rencontre la cyclide suivant une courbe qui admet Im comme axe de symétrie.

Les plans des courbes a deux axes de symétrie qu'on peut tracer sur ta