I. — Surfaces hyperelliptiques

73. L'Académie des Sciences avait proposé, comme sujet |)oui- le Prix Bordin en 1892, la question suivante :

Applications de la théorie générale des /onctions abéliennes à la (iiurnétrie.

- Gl -

Le Mémoire (60) que j'ai envoyé au concours à obtenu le prix; on me permettra de citer in extenso le Rapport de M. Poincaré sur ce travail :

Si l'on exprime les coordonnées d'un point d'une courbe algrébriquc de genre i par des fonctions elliptiques, l'introduclion de ces transcendantes met en évidence bien des propriétés de ces courbes qui auraient pu échapper au chercheur s'il n'avait possédé que les seules ressources de l'Algèbre. C'est là une source importante d'applications des fondions doublement périodiques à la Géométrie. Il peut paraître naturel de généraliser cette méthode et d'étudier, par des procédés analogues, certaines catégories de surfaces. On avait cependant jusqu'ici peu travaillé dans cette voie; aussi, en y pénétrant, les analystes pouvaient-ils être assurés dy rencontrer une ample moisson de découvertes.

C'est ce qui a décidé l'Académie à mettre la question au concours; son attente n'a pas été trompée; un seul Mémoire, il est vrai, a été déposé au Secrétariat, mais les résultats qui y sont démontrés sont d'une très grande importance et conduisent à la solution de plusieurs problèmes intéressants. Les surfaces hyperelliptiques, c'est-à-dire les surfaces telles que les coordonnées d'un quelconque de leurs points peuvent s'exprimer par des fonctions quadrupleuienl péi iodiiiues, sont de deux sortes. 11 peut arriver, en elTet, qu'à chaque point de la surface corresponde un seul point du champ hyperelliptique, ou bien plusieurs points de ce champ. Les surfaces de la première classe sont celles de M. Picard; mais on connaît depuis longtemps une surface de la deuxième classe à laquelle est attaché le nom de Kummer.

La plus grande partie du Mémoire est consacrée à la théorie de la surface de Kummer ; bien que cette surface ait déjà fait l'objet des travaux d'un grand nombre de géomètres allemands, l'auleur a découvert beaucoup de propriétés nouvelles dont quelques-unes s'énoncent fort élégamment. Il s'attache surtout à l'étude des courbes tracées sur la surface. On sait quelles difficultés ])résente la classification des courbes gauches et, en particulier, de celles qui sont tracées sur une surface donnée. Cette question, abordée par noire regretté confrère Halphen, lui avait inspiré un Ouvrage justement admiré de tous les géomètres, et couronné autrefois par l'Académie de Berlin.

Le problème a été résolu complètement par Halphen pour quelques surfaces, pour celles du second degré, par exemple. Grâce à l'emploi des fonctions abéliennes, l'auteur du Mémoire fait pour la surface de Kummer ce qu'Halphen avait fait pour les quadriques. Il étudie en outre, avec de grands détails, les surfaces inscrites dans celle de Kummer, les relations de la surface de Kummer avec sa réciproque, les surfaces adjointes à celle de Kummer. Quatre Chapitres sont consacrés à l'étude des surfaces de M. Picard et des courbes que l'on peut tracer sur elles. Le plus important est celui où se

trouve élablie la liaison enlre les fonctions liypereliiptifiues el les surfaces adjointes à une surface liyperelliptiiiue donnée.

Revenant enfin aux surfaces hyperellipliques de la deuxième classe, l'auteur étudie celles qui sont telles c|u'à chacun de leurs points correspondent deux couples d'arguments, et il montre que ces surfaces correspondent point par point à celle de Ruminer.

En résumé, le Mémoire qui est soumis au jufremenl de l'Académie contient l'étude complète de plusieurs surfaces intéressantes et de leurs relations avec les fonctions abéliennes; c'est là une conquête très précieuse pour la (jéométrie, et qui ne sera pas non plus inutile à l'Analyse pure, puisqu'elle nous aidera à nous représenter d'une manière plus concrète les projjriétés de ces transcendantes. La Commission a donc été unanime à proposer de décerner le prix Bordin à l'auteur du Mémoire portant pour épigraphe :

Pendent opéra inlerrupla.

l/autcur de ce Mémoire est M. Himbert.

7i. M. Picard, dans un article de la Kevue générale des Sciences (3o décembre 1H94), où il passe en revue les progrès récents de la théorie des surfaces, a consacré quelques lignes à mon travail couronné, et voici comment il s'exprime à propos des surfaces hyperel-

liptiques :

Dans un Mémoire extrêmement intéressant, couronné il y a deux ans par l'Académie, M. Ilumiiert a approfondi l'étude des surfaces précédentes et établi des théorèmes d'une rare élégance. Parmi les résultats relatifs aux surfaces adjointes, citons au moins celui qui concerne les adjointes d'ordre „; — 3 : le nombre de ces adjointes linéairement distinctes est égal au genre des sections planes de la surface diminué d'une unité. Signalons encore que le genre numérique P est égal à — i, et est, par suite, distinct du genre géométrique. M, Humbert étudie aussi des surfaces remarquables d'ordre /mit. ayant pour lignes doubles les arêtes d'un tétraèdre, qui sont jusqu'ici les surfaces de moindre degré correspondant à des fonctions hyperellipliques non réductibles aux fonctions doublement périodiques. D'après ce que j'ai dit plus haut, il resterait à voir s'il existe de telles surfaces pour les degrés sLv et sept: il est bien vraisemblable que huit est le degré minimum.

M. Humbert s'est aussi occupé, dans son Mémoire, de la surface de Kummer, qui se rattache aux fonctions quadruplemenl périodiques, mais ne rentre pas dans la famille précédente : car à un point arbitraire de la surface correspondent deux valeurs des paramètres, aux périodes près; il fait une étude très complète des courbes tracées sur la surface et des propriétés des surfaces passant par ces courbes.

Ces extraits rendent inutile une analyse détaillée de mon Mémoire (60), aussi me borncrai-je à mentionner les points les plus importants.

75. Surface de Kununer. — J'adopte la représentation paramétrique de M. Weber, dans laquelle les coordonnées d'un point de l;i surface sont proportionnelles à quatre fonctions tlièta du second ordre, paires, et à caractéristique nulle, .l'établis un tliéorème fondamental :

L équation de la courbe complète, d'ordre 4/', commune à la surface et à une surface algébrique d'ordre p, s'obtient en annulant une fonction thêta normale paire, d'ordre ip, à caractéristique nulle, et réciproquement.

Les courbes tracées sur la surface de Kummer sont toutes de degré pair, et le long d'une courbe quelconque (d'ordre 2^), on peut circonscrire à la surface une surface (^de degré/?), ne la coupant pas en debors de la courbe.

Cette dernière propriété est curieuse; je ne connais, pour la posséder aussi, que les cônes du second ordre (42).

Je donne, pour représenter les 16 points et les iG plans singuliers, un algorithme nouveau, particulièrement simple, qui m'est utile dans toute la suite du Mémoire.

La classification des courbes d'un degré donné, 4m ou 4'" — -, t''acées sur la surface, est résumée par ces théorèmes :

Les courbes d'ordre ^m se répartissent en 32 familles :

1° L'nefamUle, ini- -\- i fois infinie, dont chaque courbe est l'intersection complète de la surface et d'une surface générale d'ordre m;

2" Une famille, im-—'5 fois infinie, de courbes passant par les i Gpoints doubles, et dont chacune est l'intersection de la surface avec une surface d'ordre m -+- 1, passant par quatre des 16 coniques de la surface;

3° Trente familles, zm- — 1 fois infnie chacune, de courbes dont chacune passe par % points doubles et constitue l'intersection de la surface avec une surface d'ordre m -f- r . passant par deux coniques.

Les coiubcs (F ordre l\m -\- 2 se réparlissenl aussi en 3 2 familles : 1" Seize familles. ■Aur -^ -mi fois infinie chacune, de courbes dont chacune passe paru points doubles situés dans un même plan, et constitue l'intersection de la surface avec une surface d^ ordre m + \, passant par une des iG coniques;

2.'^ Seize familles, -inr -\- om — i fois infinie chacune, de courbes dont chacune passe par \o points doubles, et constitue l' intersection de la surface avec une surface d'ordre m -+- 2, passant par trois coniques qui ont en commun un point singulier.

J'étudie ensuite avec détails les courljes de degrés l\, (] et S qu'on peut tracer sur la surface de Kummcr; je citerai seulement un résultat :

La surface de Kummer admet li^) familles, trois fois infinie chacune, de surfaces inscrites du troisième ordre, à quatre points doubles; les quatre points doubles, situés sur la surface de Kummer, sont les sommets d'un tétrardre, dont les six arêtes touch'nt la surface en sir nouveau v points.

Celte propriété est intéressante, car, a priori, les tétraèdres inscrits par leurs sommets et circonscrits par leurs arêtes à une surface donnée, sont en nombre doublement infini; ici, nous trouvons un nombre triplement infini de tels tétraèdres.

76. Surfaces /lyperelliptiques générales. — Ce sont celles pour lesquelles les coordonnées d'un point sont des fonctions abéliennes de deux paramètres u, v, telles qu'à un point ne réponde, aux périodes près, qu'un couple d'arguments. La liaison entre les fonctions tliéla et les surfaces adjointes résulte de ce théorème :

Si les coordonnées d' un point d'une surface S, de degré n, sont proportionnelles à quatre fonctions thêta, de caractéristique nulle, d'ordre h, avant en des points u, ,v,;u.,, Co, ... des singularités communes g,, Co, .... les surfaces adjointes, d'ordre n -h q — l\, découperont sur la proposée le système linéaire de courbes

'/./J(ll, v) +l,6„{lt, v) -h. . .= 0,

les 0 étant des fonctions thêta de caractéristique nulle, d'ordre lui. avant

rn (t//^, (v) f(i singiilarilé adjointe deiqai,) ( ' ). l\i'ciproquemenl , (aille cdiirhc de ccNc nature est sur une adjointe d'ordre n -h q — \.

La surface unique d'ordre ti — (, adjointe à S, coupe celle-ci, en dehors des courbes multiples, suivant des conri)es unieursales, (|ne j'appelle unieursales singulières (courbes ausgezeiehnete de ^I. Noilier'); je montre que :

Les surfaces adjointes d'ordre n + q — '\, qui passent par les courbes unieursales singulières, découpent sur la proposée le système linéaire de courbes

OÙ les 5 sont des fonctions thêta de caractéristique nulle, d'ordre luj, ayant en Uf;, (•/( la singularité (q 7/,^, et réciproquement.

Les deux propositions précédentes entraînent de nombreuses conséquences géométriques; la suivante est relative auxuurfaces de contact :

Soit S une surface hyperelliptique d'ordre n. Les surfaces d'ordre n -t- rm — '\, adjointes à S, passant par les courbes unieursales singulières, et ayant avec la proposée, tout le long du reste de l'intersection, un contact d'ordre r — \ , se divisent en r' systèmes. Dans chaque système, les courbes de contact forment une série linéaire.

Les r courbes de contact de r surfaces d'un même système sont sur une adjointe d ordre n -f- rm — 4 contenant les courbes unieursales singulières.

Soit k un entier positif inférieur ou égal à r : par k — i courbes de contact appartenant à des systèmes quelconques et par les courbes unieursales singulières, on peut faire passer une infinité de surfaces adjointes, d'ordre n -+- km — 4, qui découpent en outre sur la proposée un des /* systèmes de courbes de contact.

Signalons encore ce théorème que, si les sections planes de S sont de genre p, le nombre des surfaces adjointes, d'ordre n -h q — \, linéairement distinctes, où q est > o, est toujours égal à

ry(^ — l)«H-r/(p-l) + i(5r — i)(7- 2)(r7 — 3). (') P'oir au n° G6 pour l'explicalion de ces symboles de singularités.

77. Parmi les surfoces hyperelliptiques générales, j'ai signalé des surfaces du huitième ordre; la plus simple se déduit aisément de la surface de Kummcr.

Supposons que les plans de coordonnées et le plan de l'infini forment, pour une surface de Kummer K, un létraédre de Roscnhain. c'est-à-dire que les faces et les sommets du tétraèdre soient respectivement des plans et des points singuliers de la surface. A un point X, Y, Z de K, faisons correspondre deux points x, y, z par les relations

X^ — > Y^ — > Z= — ; le point. r. y, ; décrit une surface du liuiyz zx y.v '

tième ordre, liyperelliptique, et telle qu'à un de ses points ne réponde

qu'un couple d'arguments abéliens, aux périodes près.

Les lignes doubles de la nouvelle surface sont les arêtes du tétraèdre

de référence; ses sections planes sont de genre neuf, etc.

78. Surfaces analogues à celle de Kummer. — Si ;i un point d'une surface hypereiliptique répondent deux couples d'arguments abéliens, je montre qu'elle est représentable point par point sur la surface de Kummer et j'indique la relation entre les fonctions thêta et les surfaces adjointes. Il y a, dans cette classe, des surfaces du (|ualrième ordre; je donne une méthode pour les obtenii' toutes, et je discute, à titre d'exemple, le lieu des sommets des cônes du second ordre qui passent par six points tixes : c'est une sur'fiicc dont la liaison avec les fondions abéliennes était déjà connue; j'en fais connaitre quelques propriétés nouvelles.

H. — Surfaces de Kummer elliptiques.

79. Parmi les surfaces de Kummer, la plus anciennement connue est la surface de l'onde, ou sa transformée homographique, le tèlraédroïde; on sait, depuis longtemps, que les coordonnées d'un point d'une telle surface s'expriment à l'aide de lonctions, doublement périodiques séparément par rapport à deux paramètres. Dans le Mémoire ()2, je détermine toutes les surfaces de Kummer qui jouissent de la même propriété, c'est-à-dire toutes les su/faces de Kummer elliptiques, et je les étudie au point de vue des courbes algébriques qu'on peut tracei' sur elles.

Une surface do Kuminor elliptique est déterminée, à une transformation li()niogra[tlii(|iie pri'S, si l'on se donne les périodes <les deux systèmes de fonctions elliptiques de la représentation et un nonihre entier, carré parfait. (|ue nous verrons apparaître tout à l'heure dans une théorie plus générale, et que j'appelle \'in\ariant. Le tétraédroïde correspond à l'invariant quatre; j'examine spécialement la surface d'invariant «e///, qui possède cette propriété caractéristique :

Sur une surface de Kummer elliptique, d'iruariarU neuf, les six points doubles situés sur une quelconque des coniques de la sur/ace se répartissent en deux groupes de trois, de telle sorte qu'il existe une conique inscrite au triangle formé par les trois premiers points et circonscrite au triangle formé par les trois derniers; — et réciproquement .

^F. 0. Bolza a retrouvé la même propriété dans un Mémoire des Math. Annalen; il a bien voulu, par une Note publiée dans le t. LI du même Recueil, reconnaître ma priorité.