III. — Fonctions abéliennes singulières

80. Soit (i, o), (o, i), (o-, h), {h, g') un système de périodes normales pour des fonctions abéliennes de deux variables : au cours de mes recherches sur les surfaces hyperellipliques, j'ai dû supposer que g, h, g' n'étaient liés par aucune relation à coejficients entiers du type

dans l'hypothèse contraire, la surface pouvait admettre d'autres courbes algébriques que celles obtenues en annulant des fonctions thêta, formées avec les périodes précédentes.

En appelant relation singulière entre les périodes, toute relation de la forme (i) où les entiers A, B, ..., E sont supposés sans diviseur commun, j'ai étudié dans les Notes 63 à71, et dans les deux Mémoires étendus 72 et 73, les fonctions abéliennes correspondantes, que j'appelle fonctions singulières.

81. Un premier résultat est que toute transformation, d'ordre «/i,

des périodes g, h, g , change une relation singulière en une autre, et que la quantité B- — 4AC— 4DE est la même pour toutes deux. J'appelle cette quantité l'infana^/ de la relation singulière, etj'établis ensuite cette proposition fondamentale (|ue :

Deux relations singulières de même imarianl peuvent être ramenées lune à l'autre par une transformation du premier ordre des périodes.

11 en résulte, pour les relations singulières d'invariant A, selon que A est du tvpe 4N ou du type '|N — i, les deux formes canoniques

o-__i,=0, g-h -y—gZ^O.

82. L'invariant est un nombre essentiellement positif ; s'il est carré parfait, une intégrale abélienne de première espèce correspondant aux périodes considérées est réductible à une intégrale elliptique, et réciproquement. Dans ce cas, que j'appelle le cas elliptique, Tinvariant étant n-, la relation singulière peut se ramener à nh — i = o. et le tableau des périodes au suivant :

C'est là une nouvelle démonstration d'un théorème célèbre, énoncé par M. Weiersirass, établi et complété par M. Picard.

J'étends ensuite un théorème de ]\I. Poincaré, qui, dans ma terminologie, s'énonce ainsi : S'il existe, entre les périodes, deux relations singulières, pour chacune desquelles l'invariant soit carré parfait, il existe une intinité de telles relations. Je démontre qu'il suffit, pour la même conclusion, que Vune des deux premières relations singulières ait son invariant carré parfait.