IV. — Fonctions intermédiaires singulières
83. En désignant toujours par (i, o), (o, 1), {g, h), {h, g ) un système de périodes abéliennes normales pour deux variables u et v.
j'appelle, à roxemplc de Briot et Bouquet et de M. Poiiicaré, fonciion intermédiaire toute fonction entière de u, v qui se reproduit, multipliée par une exponentielle e'"+i^''^', quand l'on augmente u et v d'une période.
Si les périodes ne vérifient pas de relation singulière, il n'y a pas d'autres fonctions inlermédiaires (à un facteur exponentiel près), que les fonctions thêta dérivées des périodes (i,o), (o, i), (g, h), {/i,g'); si, au contraire, les périodes sont liées par une relation singulière, que l'on peut toujours supposer ramenée au type a.g -h '^h -\- y g' = o, il existe des fonctions intermédiaires satisfaisant aux condilions
0{U -h g, l'-h/O =9(«, l>)e27;il-/«+*Yl-l+const.^ 0(«-4-/i, V + g') = 0(U, lj)e!"'[-A.ai<-(/+*3)i'l+const.^
où /et k sont deux entiers, que j'appelle les indices de la fond ion inlermédiaire singulière o{u, ^') ( ' ).
Toutefois, pour que ces fonctions existent, il faut et il suffit, ea supposant la partie imaginaire de g positive, que
il + ?ik > m od k\ '^- — 4 y.-j.
Le produit d'une fonction d'indices /, k par une fonction d'indices /', — k est wne fonction thêta, d'ordre /+ /'. On voit ainsi (]ue. dans le cas des fonctions abéliennes singulières, une fonction thêta peut se décomposer en un produit de deux facteurs qui ne sont pas, à un facteur exponentiel près, des fonctions thêta aux mêmes périodes.
Deux fonctions intermédiaires singulières, d'indices l, k et /', k' , ont un nombre de zéros communs, abstraction faite des multiples des périodes, égal à ili + ^ (//(■' + kl') -+- Q.y.-'^kk .
84. Les fonctions intermédiaires d'indices /, k sont fonctions linéaires et homogènes de/--f-j3^7+ ay^-- d'entre elles, dont j'obtiens aisément les développements en série d'exponentielles.
(') On a des équations analogues, bien qu'un peu plus compliquées, si la relation singulière est du type général.
et
85. J'appelle /(wc/Zo»,* intermédiaires normales d'indices /, fc, celles (|iii vérifient les relalions
V{ii + g, i- -h h) :=e07i/j.!>';t/i-/«,-/,r..i+7i'i-/."+/.T''i F(», r),
cl je dis que les entiers to, 0, to',0' forment la cdraclérisliqite de la fonction, exactement comme dans la théorie des fonctions llicta normales. Cela posé, en supposant Y = ' ' ;ii'i>^' qu'on en a le droit, c'est-à-dire en partant de la relation singulière a^+ [B/? + g-' = o, j'établis les tliéorèmes suivants :
i" Soit posc'j ^ /^ + ^^kl -^ a.k- . Les Cj fonctions normales, linéairement distinctes, de caractéristique (o. o, o, o), d'indices /, k, se répartissent en :
i(ô -i- i) fonctions paires, s'a/unilaiil pour six demi- périodes \
1 siot 1 impair.
4(ô — i) fonctions imj>aircs, s'nnnulanl pour dix demi-périodes ]
v(o + 2) fondions paires, s'annulani pour qualre demi-périodes \
\ si ô est pair et > , . '^ .
l ettiimpair.
\{n — 2) fonctions impaires, s' annulant pour douze demi-périodes ]
j (0 + 4) fonctions; paires \
\ si o et /.
et >
1 sont pairs.
I(i5 — 1\) fonctions impaires, s'anuulaut pouc seize demi-périodes ]
2" Les <j fonctions normales, linéairement distinctes, de caractéristit/iir (w, 0, oj', 0'), d'indices l, k, se répartissent en :
^„{o-\-\) fonctions i>aires ou impaires, s'an/iutant pour six demipériodes g( \ si ô est
impair.
1(5 — i) fonctions impaires ou paires, s'annutant pour dix demipériodes
lô fonctions /laires. s'annutant ]>our liuit demi-périodes
et \ sidest pair.
5Ô fonctions impaires, s'annutant pour' huit demi-périodes
Toutefois, si o est pair el k impair, pour les trois caractéristiques autns que (0,0,0,0) vérifiant les congrucnces
w-+-/w'=0'+0(/+P) = o (mocla).
il Y a
\{o -\- ?.) fonctions paires ou impaires, s'' annulant pour (jitalrc demi-périodes, et |{(5 — 2) fonctions impaires ou paires, s'annulanl pour douze demi-périodes.
86. On obtient ainsi des grou|)Cs intéressants de demi-périodes, annulant les fonctions intermédiaires normales paires ou impaires d'indices /, A-; si k est pair, ces groupes coïncidenl avec ceux qui annulent les fonctions tlièta normales d'ordre /, ayant même caractéristique que les fonctions considérées; si k est impair, on obtient de nouveaux groupes, que je caractérise, et dont je donne explicitement le Tableau, dans tous les cas.
87. En annulant une fonction intermédiaire, singulière, normale, paire ou impaire, on oI)tienl sur la surface de Kummer, représentée par le procédé de M. Weber, une courbe algébrique singulière, qui n'existe pas sur la surface de Kummer générale, et qui passe par certains groupes de points doubles de la surface.
J'établis deux formules importantes relatives au degré, d, et au genre, p, d'une courbe singulière :
/j= "(/^-^ iSA-Z-^aA-— s+2) — \,
en désignant par /, k les indices de la fonction normale correspondante, par 2^ le nombre de points doubles par lesquels la courbe passe simplement, et par — N un ternie soustractif, que j'explicite, et qui dépend des points multiples de la courbe proposée. Quand il n'y a pas de points multiples, N = o.
88. Inversement, si une surface de Kummer admet une courbe algébrique n'existant pas sur la surface générale, c'est une surface singubére, c'est-à-dire dérivant de fonctions abéliennes singulières : je le
démontre en m'appuyant sur un beau théorème de M. Appell, relatif aux fonctions intermédiaires en iîénéral.
Les théorèmes des n"* 85 et 87 contiennent évideniniont hi chissitication des courbes singulières d'un degré donné, qu'on peut tracer sur une surface de Kummer simïulière.
