V. — Équations modulaires

89. La question se pose naturellement de déterminer les radicaux qui donnent naissance à des fonctions ahéliennes singulières; oh, sous une autre forme, de trouver les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doivent satisfaire les constantes «,, a,, ..., a^, pour que les périodes des fonctions ahéliennes dérivées du radical \(.r — «, )(a7 — Oo). . .(iT —fl;.) soient liées par une relation singulii'ie, à'i/nanan! donné.

L'équation entre a,, ..., a^ est ce que je nomme Vcr/uation modulaire corrrespondant à l'invariant considéré; elle es i algébrique.

.l'indique pour la former de proche en proche, à partir des invariants cinq et huit, une niclliode géométrique qui repose sur les principes suivants :

90. Soit d'abord le cas de l'invariant cinq. On peut supposer |3 = t, y. = — i; poui' les indices /= i, X-:= i, on trouve, sur la surface de Kummer correspondante, une cubique gauche, passant par six points doubles d,, d.,, ..., d^. Désignons par P,, P^, ..., ?„ les traces, sur un plan n quelconque, des six plans singuliers de la surface qui passent pai' r/, : en projetant la cubique sur IL à partir de r/,, on obtient une conique, tangente à la droite Pf, et circonscrite au pentagone PiP.jPaP^Pj. Si l'on transforme ce résultat par polaires réciproques, en observant que la sui'face de Kummer est sa propre coirespondante dans dix corrélations, on établit (|ue la condïùon nécessaire et suJJ'isante pour (|ue la surface de Kummer soit singulière et d'invariant cinq est celle-ci :

Les six points doubles, situés sur une même conique, d'une surface de Kummer répondant à des fonctions singulières d'invariant cinq, sont tels

qii il c.vistc une coni(/iic fxissd/i/ par l' un i/'cu.i' et liisciitc ù un pcnhit^ofu' /ornicpar les cituj autres.

Soient iiloi's X, r/,, a.., r/.,, r/.,, «75 les ari^iiiiiciils des six jxiinls sur leur «■i)i)i(|ii('; la coiidilioii [irrcédciilc se (l'iidiiil aiial\ (i(|iicin('iil |iar la rrlalioii

V/(rt|— «3)(«,— rt4)(a,— «3)(«4— «5)

-4- V/(«1— fl2)(«3— «5)(«1— «ô)(«3— f'i)

A- Si\a^ — n4)((?3— «,)(«,— ff5){«3— «i) = 0,

(|tii est l'équation modulaire, ré|tondanl ii liiivariaiit ciiHi, [loiir le radieal sl{x — a, ){x — a.,){x — a.;f){x — a-.)(ic — a-,).

91. De mémo, dans le cas de l'invariant huit, en su|)[JOsant fi = o, a^— 2, ou trouve, sur la surface de Kummer, poui' les indices /^ ■^, k ^= \ , une série, simplement intinie, dcî Ijiquadratiques gauches passant par quatre points douhles. Une de ces l)iqnadrati([ues a un point (loul)le en un cinquième point singulier de la surlace, et en la projetant à partir de ce derniei', on arrive à ce résultat :

[a's six points doubles, situes sur une même conique, il' une surface ih Kununer répondant à des Jonctions singulières d'invariant huit, sont tel: (ju il existe une conique passant par deux d'entre eux et inscrite à un quadrilatère forme par les quatre autres.

Analytiqucment, on en conclut ([ue le ladical

\/x ( .r — «, ) { J- — rt, ) ( X — rt;, ) ( .f — «i )

donne naissance à des fonctions abéliennes singulières d'invariant huit si l'on a

= ((7.2 — «j )''(ffi — «:i)'"('^l«3+ OiC-.Y-

Ces deux résultats sont à rapprocher de celui donné au n" 7'J pour l'invariant neuf.

92. Des théorèmes analogues permettent de former l'équation modulaire dans tous les cas; pour simplifier, je citerai seulement celui (|ni s'applicjue îi un invariant de la forme 8N.