DEPARTMENT OF MATHF.MAT'CS UNIVERSITY OF TC

Soit A 11' plus petit entier dont le carré atteigne ou dépasse N: posons p = A- — N.

Pour la surface de Kummer répondant à des fonctions singulières d'iniuriant 8N, et à certains imariants inférieurs, les six droites suivant lesquelles les six plans singuliers passa n t par un même poin t double coupent un plan P, cjuelconque, jouissent de cette propriété : il existe, dans le planV, un svsléme p fois infini de courbes, de genre p et de degré 2 A, dont chacune passe par les sommets d'un quadrilatère formé par quatre des six droites et touche, partout ailleurs, ces six droites.

En traduisant analytiquement cette propriété, on obtient une relation entre les arguments des six droites, considérées comme tangentes à une même conique, c'est-à-dire Véquation modulaire pour l'imariantSy, avec certains facteurs étrangers connus d'avance, qui sont les équations modulaires pour des invariants [dus petits.

Un théorème analogue remplace les courbes de genre p par une seule courbe unicursale, ayant des points multiples d'ordre donnés en certains des points de rencontre des six droites deux à deux, ce qui permet de traduire analytiquement la propriété modulaire d'une manière bien plus aisée.

93. Par exemple, pour l'imariani douze, on exprimera que les six droites peuvent se répartir en trois couples A et A , B et B', C et C, de telle sorte qu'il existe une cubique, passant par les sommets des trois couples, ayant un point double au point d'intersection de A et de B. et touchant les droites A', B', C et C; on obtiendra ainsi, avec l'équation modulaire de l'invariant douze, celle, déjà connue, de l'invariant huit. Le résultat est le suivant :

Le radical \x(x — i)(x — k-)(x — l-)(x — m- ) conduit à des fonctions singulières d'invariant douze si l'on a

\Jk-—l^\Jl.'—f-[Jyl'k — lk'){m--—ll'kk') — ^mll'kk'] — m{kk'—ll'){l'k^lk')-,

en posant