VI. — Transformations singulières

94. Étant lionne un .^^yslèine de périodes (i.o), (o, i;, (g, h), {h, g'), que j'appellerai piu.s simplement (^, h, g'), le problème de la transformation, tel <iiir Ta p<»s'' M. Hermite, consiste à trouver tous les systèmes (G, H, G'), tels qu'une fonction abélienne quelcoiuiue. F(U, V), formée avec ces nouvelles périodes s'exprime rationnellenieni h l'aide des fonctions abéliennes,/(M, r), admettant les périodes primitives.

D'abord U et V doivent être linéaires en u, c :

(,) U=)."-^fAc, V = /.'(/ 4- p.'i-;

il faut et il suffit ensuite que, si l'on augmente u et v d'une de leurs périodes, U et V augmentent d'une des leurs ('). ce qui donne, en désignant para,, b,, c,, cl, des entiers :

l — ao-i-a,G-i-a,}i, ^j. = h„^ b^^G -^ b,li,

lg^^h = d,-i-ci:,G + d,U, ). /i-^fi5'=c„-î-c,G-h c.,H,

V g ^ IX' h = d,-^ d,n + d,G', 7.'h-^ix's' = c,-h cH-h c,G'.

Éliminons X, a, A', a', G, H, G'; il vient, en posant {ah)ij = a,hj - a, h,, g[(ac\,-^ (ac),,]-^ h[{bcU+ {bc),,-{adU-{ad),,-\ + g'i{db\^+{db),.;\ + {h-- gg'){{ab\,+ (ab),.^ -^ (c</)o3 -^ (crf)i-.= o.

Si g, h, g' sont pris au basard, les coefficients de g, h, g', h- — gg et le terme constant dans cette équation doivent être nuls : c'est l'bypotbèse qu'a faite implicitement M. Hermite, et dont il a déduit la tbéorie ordinaire de la transformation. Mais si g, h, g sont liés par une relation singulière, il existera d'autres transformations que celles de ^I. Hermite : je les appelle singulières, par opposition aux transformations de M. Hermite, que je nomme ordinaires.

( • ) Car à un système de valeurs de ;/, c doit correspondre un seul système de valeurs de U, V, aux périodes près.

9.-). La relation singulière étant, pinir siniplilicr, ramenée an type

g~h^/t + -/ff'—o,

les valeurs de (i, H, (î' et celles de X. la, A', a' sont données par les é(juations (:>.), où les a, //, c, d sont des entiers, lies nnii|ueirieiit pailes relations

{cd)„.,-r (cd)i, — 0, (rtc )„..,+ (rtc)i2 = X-, {dh),,+ (dû), ,= ■//{, (6c).,:, -f (Ac),,-(rtrt'),„- (««'),,= (3 A-,

/'désignanl un entier arliiti'aire.

96. Kn |iosant/= {ad)y.^-+- (ad),.^, je dis (|ue les entiers /et /?• sont \('.s i/ii/ices du la transformation considérée; des définitions analogues s'appliquent au cas où la relation singulière entre les périodes est supposée de la forme la plus générale.

J'appelle degré de la transformation le nombre des systèmes de valeurs de (u. v) (jui correspondent, par (i), à un système de valeurs de U, \, le tout aux périodes près; je démontre que le degré est la valeur absolue du déterminant ((J„/',c.>d,i), ou encore de la quantité o

Si l'on désigne par "■,, /t,, .... (1,, .... les parties imaginaires de g. II. . . . , G, . . . , on trouve que le (|n(itient (H^; — G, G', ) : (/r, — g,g\ ) a le signe de o : si donc on veut (|iie les systèmes de périodes considérés soient normaux, c'est-à-dire que H^ — G, G' et li\ — g^g\ soient négatifs, il faut que o soit positif.

'.)7. Une transformation d'indices /et /■ change une fonction thêta, d'oi'dre m, des variables U, V, aux périodes (G, H, G), en une fonction intermédiaire singulière de //, c, d'indice ml et i)d\ aux périodes

D'ailleurs G, H et G' sont liés comme g, h, g', par une relation singulière; la transformation ci-dessus change une fonction intermédiaire singulière de U, V, d'indices donnés, en une fonction intermédiaire

singulii'ic (If II. i . (1(111 1 j(^ p;ilciili' les indices en fonction des précédcnls ot de ceux de la transformation.

98. Réduction (/'ane transformation. — En faisant précédci' une transformation singniii're, d'indices / et ^■, (rune transformation oi'dinairc d'ordre un, on ne change pas les indices, et l'on peut ainsi donner à la transformation initiale une forme réduite : deux transformations r('(luit('S dillérentes ne sont pas réHiuctibles l'une ii l'autre par une transformation ordinaire du premier ordre.

Voici comment on (d)tient toutes les transformations réduites d'indices donnés, /et k, en désignant toujours par o la quantité positive /- — 3/7 -^ yX--. Soient : 0 un diviseur commun positif de /et de/-;

Co un diviseur couHnun positif de ^ et 7; c un diviseur positif de -7-^1 tel que les nonilji'cs p, —7' —g soient premiers entre eux.

On pourra toujours trouver un ou plusieurs entiei's, cL. en nombre limité, de module inférieur à Oc, tels que l'on ait

rrfo^^ o,

/ + S Ac,5

(inod 0).

La transformation réduite est alors :

Les périodes G, H, G' des fonctions abéliennes en U et V sont liées il g, h, g' par les formules suivantes :

rf.

4^.,/,c■,-(3/-.3/.)<f,-^ -^0 + -4TT[y/-'/.- ^^^di\

Dans ces finnuiles, r„,r,,r/„ sont des entiers non négatifs quelconques, véritiant les inégalités c„, r, < c., c/„< cO ; de pins la (|uan-

tjté^^^ti^' doit être entière, et, en valeur absolue, inférieure à cO.

Comme conséquence, on détermine toutes les transformalions singulières du premier degré. Elles sont comprises, à une transformation ordinaire près d'ordre un, dans les formules

i: -lu -y/.T,

les périodes G. H. G', de U, V étant liées à celles, g, h, g', de u, r par G = lg- -ihh, H = Ih - y/y=: kg ^ (/+ 3/.) A, G' = /./; ^ (/-^ ;3X-),ir'.

De plus, pour que la transformation soit du premier degré, il faut et il suffit que ses indices, /et h, vérifient la l'elation de Pell

l-^%ld-r--/l^

J"en déduis que toutes les transformations singulières du premier degré sont des puissances de l'une d'entre elles, T(,.

99. Une transformation du premier degré fait correspondre point par point deux champs liyperelliptiques, ou si l'on veut deux surfaces hvperelliptiques, s et S, liées respectivement aux périodes {g, h, g') et (G, H. G) : les deux champs, ou les deux surfaces, ont-ils les mêmes jiwdules ?

On doit répondre négativement à cette intéressante question.

Les surfaces 5 et S qui se correspondent par une transformation de la forme Ti;' ont mêmes modules; de mémi^ celles qui se déduisent de 5 par les transformations T|;''' oni entre elles mêmes modules; mais la transformation T„ ne changea en une surface de mêmes modules que si la forme /- -T- |iX/-i- Y^"- peut représenter le nombre — i. Dans le cas contraire, on obtient ainsi des couples de surfaces se correspondant point par point et n'ayant pas les mêmes modules : le théorème classique de Riemanii sur les courbes algébriques ne s'étend donc pas aux surfaces.

100. L'invariant le plus petit, non carré parfait, qui donne naissanc à ce cas reinaniuaMe est douze; j'indique dans ce cas une image "éométridue des deux systèmes de modules qui répondent aux deux surfaces :

Soit un hexagone circonscrit à une coni<iue cl tel (/ii.'il existe um courbe unicursale du quatrième ordre passant pur /esson/nie^s, et tangente auv côtes de l'hexagone : les rapports anharmoniques, t^ds à t-t^s, des six côtés, considérés comme tangents à la conique^ forment te premier système de modules; les rapports anharmoniques, irtns à trois, des six sommets, considérés comme situés sur r unicursale, Jorment le second système.