VII. — Multiplication complexe
101. Si une transformation, singulière ou non, fait correspondre deux systèmes de fonctions abéliennes aux mêmes périodes, je dis, par analogie avec le cas elliptique, que c'est une multiplication complexe.
Le problème de déterminer tous les systèmes de périodes de multiplication complexe n'a jamais été traité avec la généralité qu'il comporte, parce que les auteurs qui s'en sont occupés ont toujours admis que la transformation de correspondance est une transformation de M. Hermite, c'est-à-dire une transformation ordinaire. Le cas des transformations singulières, qui donne précisément naissance aux multiplications complexes les plus rcman[uables, n'avait jamais été abordé.
10-2. Les périodes {g, h, g') de multiplication complexe doivent vérifier quatre relations (A). (B), (C), (D), de la forme :
(A) g-a^-^sh{a,+ b,) + h-l}. -t- g{ch--d^) -^r h{l>,- d,) - d,= o,
(B) ffl,a,+ gff'a,-hh'lf,+ l>g'l'i + S'Ci-^''(lh-d,)- ff'd, -f/, = o. ( C ) gha, + sff'b, 4- li-'a,+ lig' h, - gc^ + h ( «„ - c.) + g' l'o - c„ = o, (D) h''a,+hg'{a,+ b,)-^g''-tj,+ h{a,-c,) H- A''(/'i - c„) - c, = o,
où les rt,-, bi. Ci, di sont des entiers, d'ailleurs quelconques.
Ces équations ne sont des identités (jue dans le cas de la nuiitiplication ordinaire. Je démontre que :
i" Les périodes g, h, g' de multiplication complexe sont toujours liées par une relation singulière, au moins;
2° Si les équations (A), (B), (C), (D)se réduisent à une seule, c'esl-à-dire si g, h, /^''sont doublement indéterminés, la relation entre g. II, ^' est singulii're ;
3" Si g, //, g sont simplement indéterminés, les relations entre g, /^ g sont deux relations singulières, en excluant un cas elliptique de multiplication complexe elliptique;
V Si g. II, g' sont complètement déterminés par les é(|uations (A), (B), (C), (D), il existe entre ces périodes une ou trois relations singulii'res.
103. Les multiplications complexes correspondant à chaque cas sont les suivantes :
104. Dans le cas où g, li, g' sont liées uiiiiiuement par une relation
singulière, supposée du type rj.g -+- ji/* +
lO
o, les multiplications
complexes sont données par les formules
U := p II — ■/■7V ; V nr :zcr« + (p H- po-) C,
p et C7 étant deux entiers (|uclconques. A un système (u, c) correspond, naturellement, un seul système (U, V); à un système (U, V) correspondent ( p- + ^^pa -+- %-[i- )"- systèmes (",*').
Les multiplications complexes de degré un, c'est-à-dire les Iransformalioiis hiraiionnelles en elles-mêmes de la surlace hyperelliptique (|ui répond aux périodes (^, /;, g'), sont données par les formules précédentes, les entiers p et i vériiiant la relation
p- -h pp!7 + ayo-- = ± I .
Ce sont, dans tous les cas, des puissances d'une seule d'entre elles, comhinée avec les transformations évidentes
U = ±: « + coiist . : \' =: ± !• + consl. lO.j. Dans le cas de deux relations singulières liant ,1,'. h, g , on
poii( nimcner ces relations aux formes
-/,2 „„' ,/. ag-^ ^ h H- y s' — M,
avec les conditions
les multiplications complexes sont données par
Il = [ p -hcag -i- (p'j — r) /i]ii-h[ y9 -h r g- -+- yj /i ] t', V — [— a5 + aca/i + (^7 — t)^''] « + [p — PO 4- tA -h ycr.A''] c,
p, C7, 0. T étant des entiers quelconques. Le nombre des systèmes (//, v) répondant à un système (U, V) est
[p'— PpQ -h xyO--hM{pa -pOa + rB) — d{z'- — (3c7r H- ayj'')]"-, et les multiplications de degré un s'en déduisent imméiliatement.
106. Dans le dernier cas enfin, g, h, g' sont liés par ti'ois relations, dont trois ou une sont singulières. S'il y a trois relations singulières, les formules de multiplication complexe sont analogues aux précédentes, bien qu'un peu plus compliquées.
S'il y a une seule relation singulière, en excluant encore des cas elliptiques de multiplication elliptique complexe, deux hypothèses sont à faire, selon que l'invariant correspondant à ia relation singulière est pair ou impair.
L'invariant étant pair, la relation singulière peut être supposée
du type
g = cg' (c>o),
et l'on a, pour déterminer h et g , deux relations de la forme
mh- H- 2 iihg' H- cmg'- -t- qg' + rli -f- s = o, nli- -h icinhg' -\- cng'- -\- erg' -i- qh -t-^'^ o,
où m, n, q, r, s, s sont des entiers. Ces deux équations, si l'on y regard»; /* et g' comme des coordonnées courantes, représentent deux coniques concentriques; pour qu'elles donnent pour /* et g' , et ensuite pour g, des valeurs formant un système normal de périodes, il faut et il sullit que les deux coniques se coupent en quatre points imaginaires et que les cordes communes (jui passent parle centre commun soient réelles. II. II
Les multiplications complexes correspondantes s'obtiennent sous
une forme assez simple.
L'invariant étant impair, la relation singulière peut être ramenée
au type
g = h->rcg' (<:->o);
Il et g' vérifient alors deux relations de la l'orme
inh- H- 2 nlig' -+- ( cm — i>)g"' ■+■ <Jg' + '/' -r s rri o, ( Il — m ) /r-T- 2 cinlig ' -i- en g'- -H (•/■"' -h ( <7 -+-/■)/'-+- .s' = o,
(|ui représentent encore deux coniques concentriques, assujetties aux mêmes conditions que les précédentes. Les multiplications complexes correspondantes sont explicitement données.
107. Dans ces deux derniers cas, il n'y a de multiplications complexes du premier degré que celles qui se déduisent de l'existence de la relation singulière entre g, h, g', et qui rentrent dès lors dans les l'ormules du n" 104; une seule exception a lieu pour les fonctions abéliennes dérivées du radical \x'-hi, fonctions qui se rattachent au deuxième cas, et dont les périodes sont liées par g ^= /i -h g . hmontre alors que les transformations birationnelles de la surface hyperelliptique correspondante en elle-même s'obtiennent eu combinant, avec les substitutions U =^ dz » -f- const. , V = =t: ^' + const. , les puissances des deux transformations
0)^ 'jj-
w désignant e ° . La puissance cinq de la seconde transformation est il'ailleurs la transformation unité.
