VIII. — Surfaces hyperabéliennes

108. Les formules qui donnent les périodes G, H, G', déduites de g, /i, g' par une transformation ordinaire du premier ordre, ne sont pas linéaires : >L Picard a observé qu'elles le deviennent si l'on fixe

la valeur de la quaiilitc li-~ gg', et il a ainsi ohlciiu un i;roupc de substitutions à deux vai'iablcs qu'il a noininé groupe hyperabélkn. Les fonctions hyin'rahélienncs sont celles (|ui denicuicnl invariables par les subslilutions du i,M'ou|)e, et comme trois d'entre elles sont liées par une relation algèl)ri(|ue, on arrive ainsi à la notion de surfaces liyperabélienncs : mais l'équation d'aucune surface de cette nature n'avait été explicitement obtenue. M. Bourget, dans sa Thèse de Doctorat, a étudié de plus près le groupe de AI. Picard et montré qu'il se réduit à cinq substitutions fondamentales; il a étudié aussi les sousgroupes (jui laissent invariables les modules des fonclions abéiiennes initiales.

D'après cela, les modules des fonclions abéiiennes qui vérifient une relation de la forme singulière, li- — gg' ^ d, sont liés par une équation donnant une surface hyperabélienne qui correspond à un sousgroupe du groupe complet de M. Picard. Dans le cas de d ^ 2, c'està-dire d'une relation singulière d'invariant huit, j'obtiens ainsi la surface liyj)erahelicnnc du (|uatrième ordre (69; :

.vy -+- z )' -I- .t;

Les coordonnées X, y, r s'expriment, à l'aide des fonctions thêta normales du premier ordre d'arguments nuls, par les formules

J'en déduis que l'on peut exprimer en fonction uniforme (hyperabélienne) de deux paramètres les se[)t quantités

7 / r /-^ ; /l-\-ii- lu'- — r-

où H et V sont arbitraires.