IX. — Surfaces remarquables du quatrième ordre

109. Les fonctions intermédiaires singulières m'ont conduit (68) à d'intéressantes surfaces d'ordre quatre.

Soit, par exemple, la relation singulière^ — Di;'=o; considérons

— Si —

les fonctions intermédiaires normales, de caractéristique (o, o, o, o) et d'indices il et ik, tels que

Huit de ces fonctions, linéairement distinctes, sont paires; quatre d'entre elles ont leurs développements de .AFaclaurin autour du point Il =z o, V ^= o, commençant par des termes du (|uatrième ordre.

La surface pour laquelle les coordonnées homogènes d'un point sont proportionnelles à ces quatre fonctions est d'ordre quatre, et possède quinze poi/i/s doubles qui correspondent aux quinze demi-périodes autres que ii = o, v — o.

On obtient ainsi des surfaces du quatrième degré à quinze points doubles, hvperelliptiques, dépendant de deux modules arbitraires et d'un entier D ; ce ne sont pas les surfaces les plus générales à quinze points doubles, car celles-ci dépendent de quatre modules ; les nôtres doivent dès lors satisfaire à une condition géométrique indépendante de D. J'ai pu trouver cette condition qui s'énonce ainsi :

Projetons la surface sur un plan à partir d'un des quinze points doubles, le contour apparent se compose, comme d'ordinaire, d'une conique et de quatre droites; pour les surfaces ci-dessus dèjinies. d existe une courbe de second ordre circonscrite au triangle formé par trois des droites, tangente à la conique et passant par les points communs à cette conique et à la quatrième droite.

J'obtiens des surfaces analogues en partant de la relation singulière o ~A — D^'=o, à l'aide des fonctions intermédiaires, de caractéristique (o, o, o, o), et dont les indices, 2/' et 2Â', vérifient

l"--^k't'—Dlc"'=i.

UU. Revenant enlin au premier cas, j'observe qu'il y a quatre fonctions impaires, de caractéristique (0,0,0, o), d'indices 2/ et aX: la surface pour laquelle les coordonnées d'un point sont proportionnelles à ces quatre fonctions est encore d'ordre quatre; elle possède deux groupes de seize droites formant une contiguralion remarquable : chaque droite d'un groupe rencontre en etVet dix droites de l'autre groupe.

X. — Fonctions à quatre paires de périodes, i 1 1 . Je traite, dans la Note 7i, le problème suivant :

Existe-t-il des fonctions uniformes, F(«, v), ayant pour paires de périodes (i.o), (o, i), {g. Il), {li\g'), h' étant différent de h; en second lieu, si h' = /i, est-il nécessaire que h'- — g, g', soit négatif, g,, h,, g\ désignant les parties imaginaires de g, h, g"l

112. Si hyi, il résulte d'un théorème célèbre de MM. Poincaré et Picard que l'on pourra, par une transformation convenable, ramener le Tableau des périodes à (r,o), (o,i),(G.H), (H', G'), où cette fois jj' H^ et, par suite, exprimer F(m, t') par un quotient de fonctions thêta. Mais la transformation employée n'est généralement pas du premier ordre, c'est-à-dire que les périodes du second Tableau n'entraînent pas celles du premier; l'existence et la forme précise des fonctions Y{u, r), admettant les périodes du premier Tableau, ne découlent donc pas immédiatement du théorème qui vient d'être

rappelé.

M. Appell a montré que g, h, h', g sont liés par une relation de la

forme

où les A. 15. . . ., E sont des entiers sans diviseur commun. Je montre que toute transformation, conduisant des périodes ^, A, A, g' à des périodes équivalentes, ne change pas la valeur absolue de la quantité AC + DE — BB'; si A est cette valeur absolue, on peut ramener les périodes à des périodes équivalentes G, H, Il G', liées par la relation