Mémoire sur les surfaces cyclides

(Annales de l'École Normale, 1. 1, 2 e série, p. 273; 1872.)

J'étudie sous ce nom, qui a été adopté par plusieurs géomètres anglais, MM. Casey, Salmon, etc., les surfaces du quatrième ordre qui ont pour ligne double le cercle de l'infini. Ce Mémoire contient la démonstration de plusieurs propriétés de ces surfaces, leur génération au moyen de coniques sphériques, les propriétés de leurs normales, etc.

27, Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphères dans le plan et dans l'espace.

'Bulletin de la Société philomathique, p. 69; séance du 9 mars 1872. — Annales „ de l'École Normale, a* série, t. I, p. 3a3 ; 1872.)

La théorie des relations métriques des groupes de points doit à un grand nombre d'illustres géomètres des formules fort importantes. Euler, Legendre, Lagrange, Carnot, Gauss, MM. Cayley, Sylvester, V. Staudt ont contribué successivement au développement de cette théorie. En me plaçant à un point de vue nouveau, qui a été jugé favorablement dans un Mémoire récent du Journal de M. Borchardt, j'ai démontré toutes les formules connues et en ai donné plusieurs nouvelles.

Comme application, j'ai résolu plusieurs problèmes de Géométrie, parmi lesquels je citerai les suivants :

Étant donnés trois cen les, construire un autre cercle qui les coupe sous des angles donnés. La solution complète de ce problème avait été annoncée, mais n'a pas été publiée par Steiner.

Construire un cercle admettant avec trois cercles donnés des tangentes communes de longueur donnée, ou admettant avec quatre cercles donnés des tangentes communes de même longueur, et les problèmes analogues relatifs aux sphères.

Ce travail se termine par la démonstration d'une relation identique entre les puissances d'un point par rapport à cinq sphères quelconques. Cette relation est homogène et du second degré; j'y avais été conduit d'une manière indirecte par mes études sur les cyclides.

28. Sur les théorèmes d' Ivory relatifs aux surfaces homofocales du second degré. (Paris, Gauthier-Villars, 1 872.)

(Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 187a.}

Ce petit Ouvrage de 84 pages est consacré a l'étude détaillée de plusieurs questions que l'illustre Jacobi n'a pas jugées indignes de son

attention et sur lesquelles il est revenu à plusieurs reprises, d'abord dans une Lettre à Steiner, publiée en 1 834 e * reproduite en 1846 dans le Journal de M. Liouville, ensuite dans un Mémoire publié après sa mort dans le Journal de 3/. Borchardt. Les théorèmes de Jacobi répondent à un désir exprimé dans Y Aperçu historique par l'illustre fondateur de la théorie des surfaces homofocales; ils constituent la généralisation évidente, l'extension à l'espace des propriétés métriques focales des coniques, c'est-à-dire de l'équation qui relie les distances d'un point quelconque de la courbe aux deux foyers. Ces propriétés peuvent, en effet, s'énoncer ainsi :

Il existe entre les distances d'un point d'une conique à ses deux foyers la même relation qu entre les distances d'un point variable d'une droite à deux points fixes de cette droite.

Jacobi montre de même qu'il existe entre les dislances d'un point de l'ellipsoïde à trois foyers pris sur la même focale la même relation qu'entre les distances d'un point variable d'un plan à trois points convenablement choisis, mais fixes, de ce plan.

Je démontre ces propositions et plusieurs autres nouvelles, el je les étends aux sphères doublement tangentes à l'ellipsoïde; j'étudie surtout la transformation par laquelle Ivory déduit des points d'un ellipsoïde les points correspondants de l'ellipsoïde homofocal. On sait qu'Ivory a déduit de celte théorie un beau théorème sur l'attraclion des ellipsoïdes. Le suivant, que j'ai obtenu, quoique d'un moindre intérêt, me paraît mériter d'être signalé.

Si l'on sait trouver l'attraction d'un ellipsoïde avec une loi d'attraction représentée par la fonction y(r), on pourra, sans nouvelle intégration, déterminer son attraction avec une loi d'attraction représentée

par la fonction ç(v/r 2 -+-a) , où a est une constante quelconque.

Si l'on développe celle dernière fonction suivant les puissances de a, les différents coefficients de ces puissances donnent de nouvelles lois déduites de la première et pour lesquelles on saura déterminer l'attraction.