Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes

et des systèmes orthogonaux .

(Annales de l'École Normale, 2* série, t. VII, p. 97-i5i, 227-261, 275-349; 1878.)

Ce dernier travail, très étendu, contient le développement et la démonstration des résultats contenus dans les Notes précédentes. Il constitue un résumé et une synthèse de tous mes travaux antérieurs sur les coordonnées curvilignes; à ce titre, je vais l'analyser d'une manière assez détaillée.

La première Partie contient l'exposition de mes travaux sur l'équation du troisième ordre dont dépend le problème des surfaces orthogonales. J'y montre que cette équation admet une intégrale du premier

ordre, et, en faisant usage d'une proposition de M. Bonnet, que je démontre d'une manière nouvelle, je prouve que Ton peut obtenir un système orthogonal contenant quatre fonctions arbitraires d'une seule variable et comprenant en outre une surface quelconque. Je détermine ensuite tous les systèmes orthogonaux dont une famille est formée de surfaces du second degré. Je prouve en général que, si les surfaces d'une des trois familles d'un système orthogonal ont chacune un plan de symétrie, tous ces plans de symétrie doivent coïncider, excepté dans un cas qui est nettement défini. Des considérations de même nature sont applicables aux surfaces anallagmatiques.

Cette Partie se termine par l'examen d'une question intéressante. On sait que l'on a un système double orthogonal formé de deux familles de surfaces telles que la somme ou la différence des distances de leurs points à deux surfaces fixes soit constante. Je cherche si Ton peut compléter le système et adjoindre aux deux familles une troisième, qui soit formée de surfaces coupant les premières à angle droit. Je démontre que cette troisième famille sera composée de surfaces du second degré, et j'indique comment on la détermine.

La deuxième Partie comprend l'extension des recherches précédentes aux systèmes orthogonaux à n variables. Je démontre que le paramètre de chaque famille devra satisfaire à deux groupes d'équations aux dérivées partielles du troisième ordre, appartenant à des types différents.

Les premières, au nombre de **""" l )\ n — 2 / ? son ^ analogues à l'équation du troisième ordre rencontrée dans le cas de trois variables. Les

autres, au nombre de i l> ~ 1 )\ f> "~" 2 ]i 11 -- ) > sont nouvelles. Quand

toutes ces équations sont satisfaites, la famille fait partie effectivement

d'un système orthogonal, et j'indique le moyen de déterminer les autres

familles.

Gomme application, je traite le cas où le paramètre de la famille u

est de la forme

X, dépendant Je la seule variable x t . On sait que, dans le cas de n = 3, l'étude de cette question a fait l'objet d'un beau Mémoire de M. Serret. Je montre que l'pn peut rattacher le système orthogonal si complète-

( aa)

ment étudié par M. Serrct, à un autre qui le comprend comme cas particulier, ce qui me donne les lignes de courbure d'un grand nombre de surfaces. En particulier, je fais connaître les lignes de courbure des surfaces tétraédrales de Lamé, représentées par l'équation

(ïHïMï)""

La troisième Partie contient l'extension de la méthode de Lamé aux systèmes à n variables. On y trouvera démontrées différentes propositions de Géométrie, relatives aux systèmes triples de surfaces se coupant suivant des lignes conjuguées. En particulier, j'y montre comment d'un système orthogonal à n variables on pourra en déduire plusieurs autres comprenant moins de variables.

Le Mémoire se termine par l'étude d'une question difficile que j'avais examinée d'une manière incomplète dans ma Thèse. Dans son Mémoire sur les systèmes orthogonaux isothermes [Journal de M. Liouville, t. IX, p. 317), M. Bertrand a fait connaître une belle propriété commune à tous ces systèmes. Chacune des surfaces qui les composent peut être divisée en carrés infiniment petits par ses lignes de courbure. La réciproque n'est pas vraie, et l'on connaît au moins un système, celui des cyclides, qui, sans être isotherme, jouit de la même propriété. La recherche des systèmes jouissant de la propriété signalée par M. Bertrand était donc beaucoup plus difficile que la question, déjà ardue, de la recherche des systèmes isothermes. D'ailleurs, des recherches récentes de M. Wangerin (voir n° 83) montraient que ces systèmes plus généraux pouvaient, en Physique mathématique, se prêter à (a généralisation des méthodes de Lamé pour l'intégration de l'équation du potentiel. J'ai donc cru qu'il était utile de reprendre cette recherche et j'ai été ainsi conduit a un assez grand nombre de systèmes orthogonaux, dont quelques-uns ont déjà été étudiés en Allemagne.