Sur un théorème relatif h la continuité des Jonctions

(Bulletin des Sciences mathématiques, 1™ série, t. III, p. 307; 187'!.)

Dans cet article se trouve établie une proposition qu'il est essentiel de démontrer si Ton veut exposer d'une manière tout a fait rigoureuse l'une quelconque des méthodes qui conduisent au théorème fondamental de l'Algèbre : Toute équation algébrique admet des racines réelles ou imaginaires.

Dans la première démonstration donnée par Cauchy de ce théorème, il est bien établi que, si le module du premier membre de l'équation a un minimum, ce minimum ne peut être que zéro; mais on peut contester et il me parait indispensable de prouver que, si une fonction continue de deux variables indépendantes reste au-dessus d'une certaine

limite et a, par conséquent, un minimum, il existe des valeurs des variables indépendantes qui lui font acquérir cette valeur minimum.

M. 0. Bonnet m'avait signalé celle difficulté; il l'avait levée, de son côté, pour le cas spécial du théorème de Caucby. Je puis aussi m'appuyer de l'autorité de M. Weierstrass, qui, dans son Cours, juge nécessaire de démontrer pour les fonctions d'une variable le théorème que j'ai abordé le premier, je crois, pour le cas de deux variables.

58. Réponse aux observations de M. Catalan du 4 juillet dernier.

(Comptes rendus, t. LXXl, p. 9.67; 2 5 juillet 1870.)

Dans ma Noie Sur la sur/ace des centres de courbure j'avais énoncé cette proposition qu'une équation différentielle n'a pas, en général, de solution singulière. M. Catalan ayant contesté cette proposition, j'en donne deux démonstrations différentes et je montre qu'une équation différentielle n'aura de solution singulière que si certaines conditions que j'indique sont satisfaites.