Sur la théorie clés fondions discontinues

(Annales de l'École Normale, a e série, t. IV, p. 57; 187 5. — Communications à la Société

mathématique en 1873, 187Î.)

L'objet de ce Mémoire esl au fond une étude des principes sur lesquels repose le Calcul intégral. Toute une école de géomètres a obtenu, un suivant les traces de Cauchy, une foule de résultais importants. Dans les études de ce genre on s'appuie uniquement sur quelques propositions extrêmement générales; il paraît donc nécessaire de faire une étude attentive des principes sur lesquels reposent toutes ces déductions et de les exposer avec toute la rigueur dont ils paraissent susceptibles. C'est la voie que paraît suivre M. Weierstrass dans le Cours malheureusement inédit qu'il professe depuis longtemps. Le travail que j'ai publié m'a surtout été inspiré par l'étude attentive d'un beau Mémoire de Riemann sur les séries trigonométriques. J'y montre comment les découvertes de ce grand géomètre établissent implicitement ce fait qu'il existe des fonctions continues n'ayant pas de dérivée pour une infinité de valeurs de x comprises dans chaque intervalle; mais je cite aussi un exemple tout à fait nouveau d'une fonction continue n'ayant de dérivée pour aucune valeur de la variable (■).

J'établis pour la première fois, d'une manière rigoureuse, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction continue ou totalement discontinue soit susceptible d'intégration.

J'ai essayé aussi d'apporter la plus grande précision dans l'étude de quelques propositions de la théorie des séries; je donne en particulier un exemple d'une série toujours convergente et continue, telle que la série des intégrales des termes soit toujours convergente, mais ne représente pas l'intégrale de la première.

(!) Depuis la communication de mon Mémoire à la rédaclion du Journal, j'ai appris, par un travail de M. du Bois-Reymond, que M. Weierstrass possède des exemples du même genre.

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