Sur la résolution de l'équation du quatrième degré

(Journal de M. Liouville, a" série, t. XVIII, p. ixo\ 187**.)

On sait depuis longtemps que la détermination des points communs à deux coniques dépend de la résolution d'une équation du quatrième ordre. Réciproquement on peut déduire la théorie complète des équations ou formes du quatrième ordre en les considérant comme dérivées de deux équations du second degré ou formes quadratiques ternaires. Ce point de vue, auquel on n'avait pas songé, me donne avec une extrême facilité tous les invariants et lescovarianls d'une forme binaire du quatrième ordre, et il conduit sans effort à toutes les méthodes connues de résolution de l'équation du quatrième degré.

Un résultat qui me paraît nouveau consiste dans l'expression très symétrique de la fonction la plus générale d 'une racine par une somme de quatre radicaux, tous parfaitement connus et complètement développés.

Comme application, je retrouve la résolution de l'équation du quatrième ordre au moyen des fonctions elliptiques, telle que Ta fait connaître M. Hermife.

63. Sur V intégration de V équation dx 1 -|- dy* = ds 2 vt de quelques équations analogues.

(Journal de M. Liouville, t. XVIII, p. a36; 1873.)

Les problèmes qu'il s'agit d'étudier, et dont quelques-uns ont déjà été résolus par M. Serret, consistent à exprimer des valeurs des incon-

nues satisfaisant a des équations différentielles, sans aucun signe d'intégration. J'indique la solution de cette question dans un grand nombre de cas particuliers.