Sur la théorie algébrique des formes quadratiques

(Journal de M. Liouville, *2 e série, t. XIX, p. 3 {7; octobre-novembre 1874.)

Je prends pour point de départ de cette étude algébrique des formes quadratiques une série de conlrevarianls, dont le premier seul, qui est la forme adjointe de Gauss, a été étudié avec des développements suffisants. Dans la première Partie je montre comment, à l'aide de ces nouvelles formes adjointes, on peut écrire la décomposition en carrés la plus générale , classer les formes quadratiques et établir en toute rigueur la proposition suivante :

Étant donnée une forme quadratique de n variables dont les coefficients sont des fonctions d'une arbitraire X, si, lorsque 1 a varié de 1 Q à a, , le nombre des carrés positifs de la forme a augmenté ou diminué de p % il y aura p racines réelles, égales ou inégales, comprises entre >. et X |f de l'équation en \ quon obtient en égalant l'invariant de la forme à zéro.

Le résultat de l'élimination d'une variable entre deux équations à une inconnue étant l'invariant d'une forme quadratique, le théorème précédent donne un moyen de reconnaître la réalité des racines de l'équation finale résultant de l'élimination d'une inconnue entre deux équations a deux inconnues. J'ai fait l'application de cette méthode à la démonstration du principe fondamental de la théorie des équations.

J'ai aussi appliqué l'étude des formes adjointes dont je viens de parler à la solution d'une important? question qui a été abordée dans ces derniers temps par plusieurs géomètres, MM. Weierstrass, Kronecker et Jordan, mais qui n'avait pas reçu de solution tout à fait complète quand j'ai remis mon Mémoire à M. Liouville. Le problème qu'il s'agissait de résoudre peut être énoncé ainsi :

Étant données deux formes f ç, reconnaître si, par une même substitution, elles peuvent être transformées en deux autres f , y'.

65. Sur la première méthode de Jacobi pour V intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

Comptes rendus, t. LXXIX, p. 1488, décembre 1874, et L LXXX, p. 160, janvier i8;5. — Bulletin des Sciences mathématiques, 1 e série, l. VIII, p. -iîy; 1875.)

Dans un Mémoire inséré aux Mathematische Annalen, M. Maver avait indiqué quelques cas exceptionnels dans lesquels la méthode de Jacobi paraît être en défaut. En suivant quelques indications données par M. Bertrand dans son Cours du Collège de France, je montre comment on peut modifier la méthode de Jacobi dans les cas exceptionnels signalés par M. Mayer.

66. Mémoire sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées partielles contenant un nombre quelconque de Jonctions et de variables indépendantes.

Comptes rendus, t. LXXX, p. 101 et 317; janvier-février 1875.)

Quand j'ai publié ce travail, j'ignorais que, quelques jours auparavant, M me de Kowalesky avait soutenu une Thèse sur le même sujet k l'Université de Gœltingue. D'ailleurs Cauchy avait aussi démontré l'existence de l'intégrale. Mes études ont été complétées et refondues d'après les idées de Cauchy dans le Mémoire que j'ai présenté ultérieurement à l'Académie (n° 79).